【摘要】本文以“引子”引出歐幾里得證明的疑點(diǎn)，指出歐氏證明原理不能對“再假設(shè)”證明進(jìn)行下去，對素?cái)?shù)中“可窮盡”“不可窮盡”現(xiàn)象不能作出科學(xué)解答；以素?cái)?shù)中三個(gè)不可理解性問題為切入點(diǎn)，找到了素?cái)?shù)中“可窮盡”“不可窮盡”現(xiàn)象的根本原因，應(yīng)用素?cái)?shù)的有效排除力原理對“為什么偶素?cái)?shù)可窮盡”“為什么個(gè)位數(shù)為5的奇素?cái)?shù)可窮盡”“為什么個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇素?cái)?shù)不可窮盡”諸問題作出了證明；對歐氏證明的疑點(diǎn)及其原因進(jìn)行了解讀、分析.

【關(guān)鍵詞】歐幾里得；素?cái)?shù)；可窮盡；不可窮盡；質(zhì)疑；證明點(diǎn)

一、引子——鈍夫的質(zhì)疑

這天，數(shù)學(xué)教授聰生與數(shù)學(xué)研究興趣者鈍夫一起討論素?cái)?shù)沒有窮盡問題.鈍夫請教說：“假設(shè)第48個(gè)梅森素?cái)?shù)為最后一個(gè)素?cái)?shù)，即素?cái)?shù)至此已窮盡.那你肯定不會認(rèn)同.但不知你如何來證明我的觀點(diǎn)是錯(cuò)的.”聰教授笑著說：“早在公元300年前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就已證明了素?cái)?shù)沒有窮盡問題.依照歐氏定理和你給出的假設(shè)，證明式子是‘k=2×3×5×…×第48個(gè)梅森素?cái)?shù)+1，k要么是素?cái)?shù)，要么是多個(gè)素因數(shù)相乘的積，k或其素因數(shù)都必定是‘集合之外的更大素?cái)?shù)，即是比第48個(gè)梅森素?cái)?shù)還要大的‘更大素?cái)?shù).因此，第48個(gè)梅森素?cái)?shù)之后素?cái)?shù)沒有窮盡.所以，你的觀點(diǎn)是錯(cuò)的.”鈍夫又誠懇地說：“聰教授，你剛才的證明也許是對的.我深信根據(jù)歐氏公式完全可求得比第48個(gè)梅森素?cái)?shù)還要大的‘更大素?cái)?shù).現(xiàn)我再假設(shè)，假設(shè)素?cái)?shù)至這個(gè)‘更大素?cái)?shù)已窮盡.毫無疑問，這個(gè)‘更大素?cái)?shù)不是續(xù)接第48個(gè)梅森素?cái)?shù)之后的下一個(gè)素?cái)?shù)，也即是說，第48個(gè)梅森素?cái)?shù)至這個(gè)‘更大素?cái)?shù)之間必定存在未知的若干個(gè)素?cái)?shù).據(jù)此，你如何將第48個(gè)梅森素?cái)?shù)至這個(gè)‘更大素?cái)?shù)之間的若干素?cái)?shù)，按照‘從小到大依次排列呢？假如你不能做到‘從小到大依次排列，那你如何使證明進(jìn)行下去呢？假如證明不能進(jìn)行下去，又怎能說對素?cái)?shù)沒有窮盡問題作出證明了呢？”鈍夫一連串推理式的連珠炮般的發(fā)問，使聰教授完全無言以對.接著，鈍夫?qū)⒆约旱馁|(zhì)疑及其因由細(xì)說了一遍.之后，一本正經(jīng)地說：“歐氏證明疑點(diǎn)多多，主要疑點(diǎn)在于：其一，素?cái)?shù)沒有窮盡主要體現(xiàn)在素?cái)?shù)隨著自然數(shù)的不斷擴(kuò)延而不斷擴(kuò)延，‘更大素?cái)?shù)之后還有比之更大的‘更、更大素?cái)?shù).如以求得‘集合之外的‘更大素?cái)?shù)的證明方法來證明素?cái)?shù)沒有窮盡問題，其證明方法不僅僅在于求得‘集合之外的‘更大素?cái)?shù)，同時(shí)還有一個(gè)續(xù)接證明下去的問題，即以第一次假設(shè)求得的‘更大素?cái)?shù)為依據(jù)提出再假設(shè)時(shí)，使再假設(shè)的證明進(jìn)行下去.但是，由于歐氏公式所求得的素?cái)?shù)只是‘更大素?cái)?shù)，而不是續(xù)接‘Pn素?cái)?shù)之后的下一個(gè)素?cái)?shù)，違背了其自身設(shè)置的‘從小到大依次排列這一條件，因此，歐氏證明在求得‘集合之外的‘更大素?cái)?shù)之后，不能對以第一次假設(shè)求得的‘更大素?cái)?shù)為依據(jù)而提出的再假設(shè)的證明進(jìn)行下去.可見，歐幾里得的證明，對素?cái)?shù)沒有窮盡問題并沒作出科學(xué)證明.其二，事實(shí)告訴我們，在沒有窮盡的素?cái)?shù)中，偶素?cái)?shù)于3起已窮盡，而沒有窮盡的是奇素?cái)?shù)；在沒有窮盡的奇素?cái)?shù)中，個(gè)位數(shù)為5的奇素?cái)?shù)于6起已窮盡，而沒有窮盡的是個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇素?cái)?shù).據(jù)此，可以說對素?cái)?shù)沒有窮盡問題的證明，應(yīng)當(dāng)包括對‘為什么偶素?cái)?shù)于3起可窮盡‘為什么個(gè)位數(shù)為5的奇素?cái)?shù)于6起可窮盡‘為什么個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇素?cái)?shù)不可窮盡諸問題的證明.不是單一的‘沒有窮盡問題的證明.其正確的證明方法，不僅可用于‘不可窮盡問題的證明，而且也可用于‘可窮盡問題的證明.然而，歐氏的證明方法除了可求得‘集合之外的‘更大素?cái)?shù)外，不能對素?cái)?shù)中‘可窮盡和‘不可窮盡問題作出科學(xué)的、正確的解答.僅憑此兩點(diǎn)質(zhì)疑就可得出結(jié)論：歐氏證明只能是求得‘集合之外的‘更大素?cái)?shù)的一種證明方法，對素?cái)?shù)沒有窮盡問題并沒作出科學(xué)證明.”最后，鈍夫十分自信而自豪地說：“鄙人之所以敢于對歐幾里得的證明提出質(zhì)疑，是因?yàn)槲艺业搅怂財(cái)?shù)中‘可窮盡和‘不可窮盡現(xiàn)象的根本原因，發(fā)現(xiàn)了其破解的證明方法.”

二、素?cái)?shù)沒有窮盡問題的內(nèi)涵及其證明點(diǎn)

不隱瞞地說，“引子”中的鈍夫就是筆者.筆者之所以敢于提出質(zhì)疑，是在于發(fā)現(xiàn)了歐幾里得沒有真正讀懂素?cái)?shù)沒有窮盡問題的內(nèi)涵，弄錯(cuò)了素?cái)?shù)沒有窮盡問題的證明點(diǎn).

筆者認(rèn)為，要對素?cái)?shù)沒有窮盡問題作出正確的證明，首先要弄清楚素?cái)?shù)沒有窮盡問題的完整內(nèi)涵和單一內(nèi)涵，在此基礎(chǔ)上，找準(zhǔn)其證明點(diǎn)，即：對素?cái)?shù)沒有窮盡問題要作出證明的，是求證素?cái)?shù)“集合”之外的“更大素?cái)?shù)”，還是對素?cái)?shù)中“可窮盡”“不可窮盡”現(xiàn)象作出科學(xué)解答？

1.素?cái)?shù)沒有窮盡問題的完整內(nèi)涵和單一內(nèi)涵

所謂“素?cái)?shù)沒有窮盡問題的完整內(nèi)涵”，是指素?cái)?shù)中各種“可窮盡”“不可窮盡”現(xiàn)象所反映出來的若干問題.

所謂“素?cái)?shù)沒有窮盡問題的單一內(nèi)涵”，是指“完整內(nèi)涵”中具體的、與之最直接的某個(gè)問題.

根據(jù)素?cái)?shù)中“可窮盡”和“不可窮盡”現(xiàn)象，筆者認(rèn)為，素?cái)?shù)沒有窮盡問題的完整內(nèi)涵應(yīng)包括“素?cái)?shù)為什么不可窮盡”“偶素?cái)?shù)為什么于3起已窮盡”“奇素?cái)?shù)為什么不可窮盡”“個(gè)位數(shù)為5的奇素?cái)?shù)為什么于6起已窮盡”“個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇素?cái)?shù)為什么不可窮盡”此五個(gè)問題；而素?cái)?shù)沒有窮盡問題的單一內(nèi)涵，具體是指“個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇素?cái)?shù)為什么不可窮盡”之問題.

2.素?cái)?shù)沒有窮盡問題的證明點(diǎn)

筆者認(rèn)為，不論是從素?cái)?shù)沒有窮盡問題的完整內(nèi)涵來看，還是從素?cái)?shù)沒有窮盡問題的單一內(nèi)涵來看，素?cái)?shù)沒有窮盡問題的證明點(diǎn)都不應(yīng)是求證素?cái)?shù)“集合”之外的“更大素?cái)?shù)”.而事實(shí)也證明這一點(diǎn).

事實(shí)1“沒有窮盡”外延的證明

為使人們真正讀懂素?cái)?shù)沒有窮盡問題的證明點(diǎn)不是求證素?cái)?shù)“集合”之外的“更大素?cái)?shù)”，筆者將歐氏證明原理的應(yīng)用延伸到對其他數(shù)沒有窮盡的證明.我們知道，在自然數(shù)這個(gè)家族中，自然數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)是沒有窮盡的.如果說，素?cái)?shù)沒有窮盡的證明，就是求得“集合”之外的“更大素?cái)?shù)”，那么，對自然數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)沒有窮盡的證明，同樣是求得“集合”之外的該類“更大數(shù)”.現(xiàn)依照歐氏證明原理作出證明.

例1對自然數(shù)沒有窮盡的證明.

設(shè)有限個(gè)自然數(shù)為n，那么，依照歐氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn

式中“P1，P2，P3，…，Pn”為自然數(shù)從小到大依次排列.K必定是多個(gè)自然數(shù)相乘之積.K或K的因數(shù)必定是“集合”之外的更大自然數(shù).因此，自然數(shù)沒有窮盡.此證.

例2對偶數(shù)沒有窮盡的證明.

設(shè)有限個(gè)偶數(shù)為n，那么，依照歐氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn.

式中“P1，P2，P3，…，Pn”為偶數(shù)從小到大依次排列.多個(gè)偶數(shù)相乘之積必定是偶數(shù).因此，K必定是“集合”之外的更大偶數(shù).所以，偶數(shù)沒有窮盡.此證.

例3對奇數(shù)沒有窮盡的證明.

設(shè)有限個(gè)奇數(shù)為n，那么，依照歐氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn.

式中“P1，P2，P3，…，Pn”為奇數(shù)從小到大依次排列.多個(gè)奇數(shù)相乘之積必定是奇數(shù).因此，K必定是“集合”之外的更大奇數(shù).所以，奇數(shù)沒有窮盡.此證.

顯然，以上諸例證明蒼白無力，難以令人信服.

本來，事實(shí)已清楚地告訴我們，自然數(shù)沒有窮盡是在于更大自然數(shù)之后還有比之更大的自然數(shù)，永遠(yuǎn)只有更大自然數(shù)，沒有最后的最大自然數(shù)；偶數(shù)沒有窮盡是在于更大偶數(shù)之后還有比之更大的偶數(shù)，永遠(yuǎn)只有更大偶數(shù)，沒有最后的最大偶數(shù)；奇數(shù)沒有窮盡是在于更大奇數(shù)之后還有比之更大的奇數(shù)，永遠(yuǎn)只有更大奇數(shù)，沒有最后的最大奇數(shù)；素?cái)?shù)沒有窮盡是在于更大素?cái)?shù)之后還有比之更大的素?cái)?shù)，永遠(yuǎn)只有更大素?cái)?shù)，沒有最后的最大素?cái)?shù).既然事實(shí)已告訴我們這樣一個(gè)結(jié)果，那么，以求得“集合”之外的該類“更大數(shù)”來證明該類數(shù)沒有窮盡問題，這是不是顯得沒有多大實(shí)際意義呢？！

事實(shí)2素?cái)?shù)沒有窮盡現(xiàn)象的證明

現(xiàn)依照歐氏證明原理分別對奇素?cái)?shù)以及四支個(gè)位數(shù)不同的奇素?cái)?shù)沒有窮盡問題予以證明，看其結(jié)果將會如何.

例1對奇素?cái)?shù)沒有窮盡的證明.

設(shè)有限個(gè)奇素?cái)?shù)為n，那么，依照歐氏公式得：

K=P1×P2×P3×…×Pn+2.

式中“P1，P2，P3，…，Pn”為奇素?cái)?shù)從小到大依次排列.K必定是多個(gè)奇素?cái)?shù)相乘之積.K或K的素因數(shù)必定是“集合”之外的更大奇素?cái)?shù).因此，奇素?cái)?shù)沒有窮盡.此證.

盡管在提法上“奇素?cái)?shù)沒有窮盡”比“素?cái)?shù)沒有窮盡”更為準(zhǔn)確，我想，恐怕數(shù)學(xué)界的老師們不會認(rèn)同筆者的證明吧.

例2對四支個(gè)位數(shù)不同的奇素?cái)?shù)沒有窮盡問題的證明.

先推測個(gè)位數(shù)為1的素?cái)?shù)沒有窮盡問題的證明結(jié)果.如將n個(gè)個(gè)位數(shù)為1的素?cái)?shù)“從小到大依次排列”集于“合”子相乘再加1個(gè)其他正整數(shù)，可推知，n個(gè)個(gè)位數(shù)為1的素?cái)?shù)，其積的個(gè)位數(shù)必定是1，唯有加上大于1、個(gè)位數(shù)為0的正整數(shù)，其K的個(gè)位數(shù)方為1，但K的素因數(shù)的個(gè)位數(shù)就未必是1.

再推測個(gè)位數(shù)為3，7，9的素?cái)?shù)沒有窮盡問題的證明結(jié)果.可推知，n個(gè)個(gè)位數(shù)為3的素?cái)?shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)是循著“9，7，1，3”次序變化的；n個(gè)個(gè)位數(shù)為7的素?cái)?shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)是循著“9，3，1，7”次序變化的；n個(gè)個(gè)位數(shù)為9的素?cái)?shù)相乘，其積的個(gè)位數(shù)是循著“1，9，1，9”次序變化的.由此可知，n個(gè)個(gè)位數(shù)為3，7，9的奇數(shù)相乘，其積加任何1個(gè)正整數(shù)，其K的個(gè)位數(shù)都是有變化的，其K的素因數(shù)的個(gè)位數(shù)同樣是有變化的.

可見，依照歐氏證明原理分別對個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇素?cái)?shù)沒有窮盡問題作出證明，不可能找到正確答案.從而證明歐幾里得對素?cái)?shù)沒有窮盡問題不能作出科學(xué)證明.

事實(shí)3對素?cái)?shù)中“可窮盡”現(xiàn)象分析的答案

近年科學(xué)研究表明，一些動物走向滅絕，不是這些動物繁衍能力出現(xiàn)了問題，而是人類大量捕殺所致，亦即人類對這些動物的捕殺量大于這些動物的繁衍生存量.筆者由此聯(lián)想到素?cái)?shù)沒有窮盡問題.自然數(shù)的不斷擴(kuò)延好比動物繁衍，被排除出去的自然數(shù)（即是合數(shù)的自然數(shù)，下同）的量好比人類對動物的捕殺量.很顯然，假如排除出去的自然數(shù)的量大于或等于自然數(shù)的擴(kuò)延量，那么，素?cái)?shù)必定窮盡，唯有在排除出去的自然數(shù)的量小于自然數(shù)的擴(kuò)延量的條件下，素?cái)?shù)才有可能沒有窮盡.而事實(shí)也正是如此.

經(jīng)分析，偶素?cái)?shù)之所以于3起已窮盡，是因?yàn)樗写笥?的偶數(shù)均為合數(shù)而全部被清除出素?cái)?shù)之外；同理，個(gè)位數(shù)為5的奇素?cái)?shù)之所以于6起已窮盡，是因?yàn)樗写笥?的個(gè)位數(shù)為5的奇數(shù)均為合數(shù)而全部被清除出素?cái)?shù)之外.即是說，兩者的被排除的量等于擴(kuò)延的量.

由此可推知，素?cái)?shù)沒有窮盡與一種排除力有著密切聯(lián)系.由此可見，素?cái)?shù)沒有窮盡問題的證明點(diǎn)，并不是尋求“素?cái)?shù)集合”之外的“更大素?cái)?shù)”的證明，而是尋求對素?cái)?shù)中“可窮盡”“不可窮盡”現(xiàn)象作出正確解答的證明，也就是求證將合數(shù)排除出素?cái)?shù)之外的這種排除力的證明.筆者正是以此作為破解的關(guān)鍵點(diǎn)，以素?cái)?shù)中三種不可理解現(xiàn)象為切入點(diǎn)，從中發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)中“可窮盡”和“不可窮盡”現(xiàn)象的根本原因，找到正確的證明方法.

三、素?cái)?shù)中“可窮盡”和“不可窮盡”現(xiàn)象的根本原因及破解思路

1.破題的切入點(diǎn)——素?cái)?shù)中三個(gè)不可理解現(xiàn)象

不可理解1如將素?cái)?shù)排除的量記為n[]P，那么，按照“n[]P1+n[]P2+n[]P3+…+n[]Pm”等式計(jì)算，素?cái)?shù)于自然數(shù)30起就應(yīng)窮盡.因?yàn)椋?0[]2+30[]3+30[]5>30.可事實(shí)告訴我們，素?cái)?shù)不但沒能于30起窮盡，甚至于3000030000之后都不可能窮盡.這是為什么？

不可理解21個(gè)偶素?cái)?shù)2可做到將大于2的偶數(shù)全部有效排除出素?cái)?shù)之外，使偶素?cái)?shù)于3起已窮盡，而無數(shù)多個(gè)奇素?cái)?shù)卻沒能做到將某個(gè)高位奇數(shù)起的奇數(shù)全部有效排除出素?cái)?shù)之外，使奇素?cái)?shù)于此窮盡，進(jìn)而使素?cái)?shù)也隨之窮盡.這是為什么？

不可理解33和5兩奇素?cái)?shù)可做到將大于5、個(gè)位數(shù)為5的奇數(shù)全部有效排除出素?cái)?shù)之外，使個(gè)位數(shù)為5的奇素?cái)?shù)于6起已窮盡，而7起的奇素?cái)?shù)不僅不能做到將個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇數(shù)于某高位數(shù)起全部有效排除出素?cái)?shù)之外，使之窮盡，甚至不能做到將個(gè)位數(shù)為1，3，7，9其中之一的奇數(shù)于某高位數(shù)起全部有效排除出素?cái)?shù)之外，使之窮盡.這是為什么？

筆者認(rèn)為，分析此三種不可理解現(xiàn)象，從中找出其根本原因，這正是破題的切入點(diǎn).

2.關(guān)于除數(shù)的分類

筆者研究結(jié)果表明，上述三種不可理解現(xiàn)象，與除數(shù)的有效排除作用有著密切聯(lián)系.這里說的除數(shù)，是指自然數(shù)中合數(shù)的約數(shù)（也叫因子）.從數(shù)學(xué)除法算式來說，合數(shù)的約數(shù)即是除數(shù).合數(shù)之所以是非素?cái)?shù)，是因?yàn)榭杀凰募s數(shù)（即除數(shù)）整除而排除出素?cái)?shù)之外.而這“除數(shù)”既有合數(shù)，也有素?cái)?shù).那么，真正起到排除作用的究竟是合數(shù)還是素?cái)?shù)呢？（換言之，誰才是“第一刀”將合數(shù)“捅死斃命”的“真正兇手”呢？）這是必須弄清楚的問題.現(xiàn)舉例分析.

以合數(shù)60為例，除1和60外，其可被2，3，4，5，6，10，12，15，20，30共10個(gè)數(shù)整除.在此10個(gè)除數(shù)中，2是將60排除出素?cái)?shù)的第一位除數(shù)，才是起到有效排除作用的除數(shù)，3與5是于2之后將60重復(fù)排除出素?cái)?shù)的除數(shù)，為重復(fù)排除的除數(shù)，而4，6，10，12，15，20，30此7個(gè)除數(shù)，雖對60可以整除，由于其本身也是可被2，3，5整除的合數(shù)，因此，就將60排除出素?cái)?shù)這點(diǎn)來說，實(shí)際上它們起到的是“零作用”，故為無關(guān)排除的除數(shù).筆者根據(jù)除數(shù)所起到的作用之不同，將除數(shù)分為三類：

之一，“有效排除的除數(shù)”，是指將某個(gè)自然數(shù)排除出素?cái)?shù)之外的除數(shù)中依序排在首位的非合數(shù)除數(shù).

之二，“重復(fù)排除的除數(shù)”，是依序排在首位除數(shù)之后的非合數(shù)除數(shù).

之三，“無關(guān)排除的除數(shù)”，是指除數(shù)中的合數(shù).

可見，在將合數(shù)排除出素?cái)?shù)之外中真正起到有效排除作用的是素?cái)?shù)，而且是排在前面的第一個(gè)素?cái)?shù).筆者將此稱之為“素?cái)?shù)的有效排除作用”.事實(shí)證明，素?cái)?shù)之所以不可窮盡，其原因是在于素?cái)?shù)將合數(shù)排除出素?cái)?shù)之外的過程中，并非是全部為真正意義上的有效排除，這當(dāng)中還存在重復(fù)排除和無關(guān)排除.正是重復(fù)排除和無關(guān)排除的存在，使得素?cái)?shù)有著不可窮盡的空間.

3.素?cái)?shù)的有效排除線及其作用意義

定義1素?cái)?shù)是指不能被小于等于該自然數(shù)平方根的素?cái)?shù)整除的自然數(shù).這是筆者根據(jù)對素?cái)?shù)的研究成果而下的定義.

筆者根據(jù)素?cái)?shù)產(chǎn)生條件之不同，將素?cái)?shù)分為“原生素?cái)?shù)”和“新生素?cái)?shù)”兩部分.2與3稱之為“原生素?cái)?shù)”或“自然素?cái)?shù)”.因?yàn)椋?，3這兩個(gè)數(shù)的平方根處于大于1小于2之間，不存在經(jīng)能否被其他素?cái)?shù)整除這個(gè)驗(yàn)證環(huán)節(jié)，是原本天生的素?cái)?shù).依序排在2，3之后的素?cái)?shù)稱之為“新生素?cái)?shù)”或“非原生素?cái)?shù)”.因?yàn)椋鼈兙?jīng)能否被2，3以及其他素?cái)?shù)整除這個(gè)驗(yàn)證環(huán)節(jié)，相對于2，3來說，是屬于新產(chǎn)生的素?cái)?shù).

定義2素?cái)?shù)的有效排除線是指一個(gè)素?cái)?shù)作為除數(shù)，將被其整除的自然數(shù)有效排除出素?cái)?shù)之外的起點(diǎn)線，亦是一個(gè)素?cái)?shù)起到有效排除作用的起始自然數(shù).

為精簡文字，本文將“起到有效排除作用的素?cái)?shù)”簡稱為“起效素?cái)?shù)”，“擴(kuò)延范圍”簡稱為“擴(kuò)圍”.

（1）素?cái)?shù)的有效排除線

素?cái)?shù)將被其整除的合數(shù)排除出素?cái)?shù)之外可分為有效排除和重復(fù)排除，而真正起到有效排除作用的是排在前面的第一個(gè)素?cái)?shù).那么，就具體到每一個(gè)素?cái)?shù)來說，其有效排除線該從哪個(gè)自然數(shù)算起呢？筆者根據(jù)“素?cái)?shù)是指不能被小于等于該自然數(shù)平方根的素?cái)?shù)整除的自然數(shù)”這一定義的規(guī)則，遵循自然數(shù)和素?cái)?shù)循序逐增的原理，將素?cái)?shù)的平方數(shù)定為該素?cái)?shù)的有效排除線，即為該素?cái)?shù)起到有效排除作用的起始自然數(shù).如素?cái)?shù)2，其有效排除線從2的平方數(shù)4算起；素?cái)?shù)3，其有效排除線從3的平方數(shù)9算起；素?cái)?shù)5，其有效排除線從5的平方數(shù)25算起，其余依此類推.

在此，需說清楚的，一個(gè)素?cái)?shù)將被其整除的自然數(shù)有效排除出素?cái)?shù)之外的起點(diǎn)線，雖是從其平方算起，但并非說，有效排除線起可被該素?cái)?shù)整除的所有自然數(shù)都算作其有效排除，還得看該素?cái)?shù)是不是依序排在除數(shù)中首位，如是方能算作其有效排除，否則算作其重復(fù)排除.如數(shù)45，可被素?cái)?shù)3，5整除，3是依序排在除數(shù)中首位，5是第二位，因此，雖5的有效排除線從25算起，但45被排除出素?cái)?shù)之外，不能算作5的有效排除，應(yīng)算作3的有效排除，算作5的重復(fù)排除.

在此，還需說清楚的，偶素?cái)?shù)2，因其是首位素?cái)?shù)，故其只存在有效排除，不存在重復(fù)排除.奇素?cái)?shù)3，因其是首位奇素?cái)?shù)，故對可被其整除的奇數(shù)，只存在有效排除，不存在重復(fù)排除，相反，對可被其整除的偶數(shù)只存在重復(fù)排除，卻不存在有效排除.2，3之后的所有新生素?cái)?shù)，對可被其整除的自然數(shù)，均有有效排除和重復(fù)排除之分.

（2）素?cái)?shù)的有效排除線的三個(gè)重要作用意義

意義1標(biāo)志著1個(gè)起效素?cái)?shù)于此線起要發(fā)揮有效排除作用

如，4是素?cái)?shù)2的有效排除線，那么，表明從數(shù)4起，素?cái)?shù)2對可被其整除的自然數(shù)要進(jìn)行有效排除；再如，9是素?cái)?shù)3的有效排除線，那么，表明從數(shù)9起，素?cái)?shù)3對可被其整除的奇數(shù)要進(jìn)行有效排除；又如，25是素?cái)?shù)5的有效排除線，那么，表明從數(shù)25起，素?cái)?shù)5對可被其整除、又不能被前素?cái)?shù)整除的自然數(shù)要進(jìn)行有效排除.余例不一一詳舉.

現(xiàn)將各個(gè)素?cái)?shù)的有效排除線數(shù)字連接為自然數(shù)擴(kuò)延線，并在擴(kuò)延線的有效排除線數(shù)字下面相對應(yīng)標(biāo)示出起效素?cái)?shù)（見圖1），可看出：

由素?cái)?shù)的有效排除線連

接形成的自然數(shù)擴(kuò)延線[]4→9→25→49→121→169→289→361→…

依序出現(xiàn)的起效素?cái)?shù)[]235711131719…

圖1

起效素?cái)?shù)在量上是隨著自然數(shù)的不斷擴(kuò)延而循著1個(gè)→2個(gè)→3個(gè)→4個(gè)→5個(gè)→6個(gè)→…的次序逐增.這就是起效素?cái)?shù)的循序逐增規(guī)律.

意義2對此線前的所剩留的自然數(shù)就是新生素?cái)?shù)的認(rèn)定

偶數(shù)2是首位素?cái)?shù)，其有效排除線是4，而第二個(gè)素?cái)?shù)3的有效排除線為9，可知在素?cái)?shù)3的有效排除線9前的自然數(shù)為4至8，經(jīng)素?cái)?shù)2的有效排除后，剩有5，7此兩個(gè)數(shù)，那么，5，7此兩個(gè)數(shù)便是新生素?cái)?shù).再比如，25是5的有效排除線，已知9起至25之前的自然數(shù)為9至24，經(jīng)素?cái)?shù)2，3的有效排除后，剩有11，13，17，19，23共5個(gè)數(shù)，那么，此5個(gè)數(shù)便是繼5，7之后的新生素?cái)?shù).余例略.

事實(shí)表明，對于素?cái)?shù)的平方數(shù)，可以這樣說，向前看，它是素?cái)?shù)的有效排除線；向后看，它是新生素?cái)?shù)認(rèn)定線.

意義3是合理設(shè)置自然數(shù)擴(kuò)延范圍及擴(kuò)延范圍單位的重要依據(jù)

4.張爾光素?cái)?shù)篩法

所謂“張爾光素?cái)?shù)篩法”，是指張爾光為求證素?cái)?shù)有效排除力而創(chuàng)立的將合數(shù)自然數(shù)有效排除出素?cái)?shù)之外的一種方法.

從圖2、圖3、圖4的證明中，可歸納出張爾光素?cái)?shù)篩法有以下特點(diǎn)：

特點(diǎn)1將素?cái)?shù)的平方數(shù)設(shè)定為“素?cái)?shù)有效排除線”和“素?cái)?shù)確定線”，準(zhǔn)確表達(dá)了該素?cái)?shù)與小于該素?cái)?shù)平方根的素?cái)?shù)之間的關(guān)系，表明所有新生素?cái)?shù)均是不能被小于其平方根的素?cái)?shù)整除的自然數(shù).

特點(diǎn)2科學(xué)設(shè)置起效素?cái)?shù)的擴(kuò)圍單位，使自然數(shù)擴(kuò)延的量與該起效素?cái)?shù)的有效排除的量的比率，成為求得素?cái)?shù)有效排除力的可靠依據(jù).

特點(diǎn)3起效素?cái)?shù)依照從小到大次序“登場”，體現(xiàn)了起效素?cái)?shù)循序逐增原理，且從排除結(jié)果中又可看到新生素?cái)?shù)的循序逐增規(guī)律.

特點(diǎn)4只篩去“前起效素?cái)?shù)進(jìn)行有效排除后所剩留的自然數(shù)乘于起效素?cái)?shù)之積（即這部分合數(shù)自然數(shù)）”，避免了重復(fù)排除、無關(guān)排除，準(zhǔn)確表達(dá)了起效素?cái)?shù)的有效排除.

5.素?cái)?shù)的有效排除力及證明方法

定義3素?cái)?shù)有效排除力是指素?cái)?shù)作為除數(shù)，將可被其整除的自然數(shù)排除出素?cái)?shù)之外的實(shí)際能力，是素?cái)?shù)有效排除的自然數(shù)的量占自然數(shù)總量的比率的反映.

素?cái)?shù)的有效排除力，可分單個(gè)素?cái)?shù)的有效排除力和整體素?cái)?shù)的有效排除力.求得單個(gè)素?cái)?shù)的有效排除力的方法是：應(yīng)用循序逐增原理，設(shè)定每個(gè)起效素?cái)?shù)的自然數(shù)擴(kuò)圍單位（以起效素?cái)?shù)依序連乘之積為擴(kuò)圍單位的自然數(shù)的量），然后驗(yàn)證每擴(kuò)圍單位被該起效素?cái)?shù)有效排除的自然數(shù)的量，擴(kuò)圍單位的自然數(shù)的量與被該起效素?cái)?shù)有效排除的自然數(shù)的量的比率，就是該起效素?cái)?shù)的有效排除力.整體素?cái)?shù)的有效排除力，即是單個(gè)素?cái)?shù)有效排除力相加總和.

現(xiàn)舉例對單個(gè)素?cái)?shù)的有效排除力進(jìn)行證明.

例證1求證素?cái)?shù)2的有效排除力.

已知2的有效排除線為4.第一步，設(shè)定2的自然數(shù)擴(kuò)圍單位.因2是首位素?cái)?shù)，故2的自然數(shù)擴(kuò)圍單位為2個(gè)自然數(shù)（見圖2）.

第二步，依次將2起的自然數(shù)跟起效素?cái)?shù)2相乘之積（即可被2整除的自然數(shù)）劃去（見圖2）；圖2

第三步，驗(yàn)證.從圖2看出，每個(gè)擴(kuò)圍可被2整除而有效排除的自然數(shù)為1個(gè).那么，得：

素?cái)?shù)2的有效排除力為1[]2×3=1[]6.

這個(gè)數(shù)字表明，從數(shù)4起，每2個(gè)自然數(shù)中，就有1個(gè)被素?cái)?shù)2有效排除出素?cái)?shù)之外.假設(shè)4起的自然數(shù)總量為1（即100%），那么，1[]2×100%=50%.表明從數(shù)4起，素?cái)?shù)2可將50%的自然數(shù)有效排除出素?cái)?shù)之外.

圖3

例證2求證素?cái)?shù)3的有效排除力.

已知3的有效排除線為9.第一步，設(shè)定3的自然數(shù)擴(kuò)圍單位.因2×3=6，故3的自然數(shù)擴(kuò)圍單位為6個(gè)自然數(shù)（見圖3）注：（圖中方框數(shù)是被前素?cái)?shù)整除的數(shù)）.

第二步，依次將經(jīng)素?cái)?shù)2有效排除后剩留的自然數(shù)跟起效素?cái)?shù)3相乘之積（即可被3整除的自然數(shù)）劃去（見圖3）.

第三步，驗(yàn)證.從圖3看出，每個(gè)擴(kuò)圍可被3整除而有效排除的自然數(shù)為1個(gè).那么，得：

素?cái)?shù)3的有效排除力為：1[]2×3=1[]6.

這個(gè)數(shù)字表明，從數(shù)9起，每6個(gè)自然數(shù)中，就有1個(gè)被素?cái)?shù)3有效排除出素?cái)?shù)之外.假設(shè)9起的自然數(shù)總量為1（即100%），那么，1[]6×100%≈16.6667%.表明從數(shù)9起，素?cái)?shù)3可將16.6667%的自然數(shù)有效排除出素?cái)?shù)之外.

例證3求證素?cái)?shù)5的有效排除力.

已知5的有效排除線為25.第一步，設(shè)定5的自然數(shù)擴(kuò)圍單位.因2×3×5=30，故5的自然數(shù)擴(kuò)圍單位為30個(gè)自然數(shù)（見圖4）.（注：圖中偶數(shù)略，方框數(shù)是被前素?cái)?shù)整除的數(shù)）

圖4

第二步，依次將經(jīng)素?cái)?shù)2，3有效排除后剩留的自然數(shù)跟起效素?cái)?shù)5相乘之積（可被5整除的自然數(shù)）劃去（見圖4）.

第三步，驗(yàn)證.從圖4看出，每個(gè)擴(kuò)圍可被5整除而有效排除的自然數(shù)為2個(gè).那么，得：

素?cái)?shù)5的有效排除力為：2[]2×3×5=2[]30.

這個(gè)數(shù)字表明，從數(shù)25起，每30個(gè)自然數(shù)中，就有2個(gè)被素?cái)?shù)5有效排除出素?cái)?shù)之外.假設(shè)25起的自然數(shù)總量為1（即100%），那么，1[]6×100%≈6.6667%.表明從數(shù)25起，素?cái)?shù)5可將6.6667%的自然數(shù)有效排除出素?cái)?shù)之外.

余例不一一詳舉.

為使人們能更好地理解素?cái)?shù)的有效排除力及其規(guī)律，筆者將素?cái)?shù)2至23的有效排除力匯制了一個(gè)表（見表1）.只要將表中各欄目數(shù)字做比較分析，就會發(fā)現(xiàn)三個(gè)規(guī)律.

表1素?cái)?shù)2至23的有效排除力的統(tǒng)計(jì)表

序號[]起效素?cái)?shù)[]有效排除線[]自然數(shù)擴(kuò)圍單位設(shè)定[]每個(gè)擴(kuò)圍

規(guī)律1素?cái)?shù)有效排除后自然數(shù)的“剩留的量”的續(xù)接規(guī)律.

從表1看出，素?cái)?shù)2的“剩留的量”1個(gè)，記作為“（2-1）”；素?cái)?shù)3的“剩留的量”2個(gè)，記作為“（2-1）×（3-1）”；素?cái)?shù)5的“剩留的量”8個(gè)，記作為“（2-1）×（3-1）×（5-1）”，其余依此類推.

“剩留的量”的續(xù)接規(guī)律可用下圖（即圖5）表達(dá)出來.

起效素?cái)?shù)[]2357P

自然數(shù)剩留的量[]（2-1）×（3-1）×（5-1）×（7-1）×…×（P-1）

圖5

規(guī)律2“本素?cái)?shù)有效排除”的量，正是上個(gè)素?cái)?shù)的“剩留的量”.

如素?cái)?shù)3，其“本素?cái)?shù)有效排除”的量，正是上個(gè)素?cái)?shù)2的“剩留的量”1個(gè)；素?cái)?shù)5的“本素?cái)?shù)有效排除”的量，正是上個(gè)素?cái)?shù)3的“剩留的量”2個(gè)；素?cái)?shù)7的“本素?cái)?shù)有效排除”的量，正是上個(gè)素?cái)?shù)5的“剩留的量”8個(gè)，余此類推.

根據(jù)此規(guī)律，又已知各個(gè)起效素?cái)?shù)的自然數(shù)擴(kuò)圍單位的量為起效素?cái)?shù)依序連乘之積，那么，可求得各個(gè)素?cái)?shù)的有效排除力定理：

素?cái)?shù)2的有效排除力為：1[]2

素?cái)?shù)3的有效排除力為：2-1[]2×3=1[]6

素?cái)?shù)5的有效排除力為：（2-1）×（3-1）[]2×3×5=2[]30

素?cái)?shù)7的有效排除力為：（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7=8[]210

其余依此類推.

依照循序逐增原理和相對應(yīng)的原則，素?cái)?shù)的有效排除力定理可表達(dá)為：

素?cái)?shù)的有效排除力定理表明：素?cái)?shù)越小，其有效排除力越強(qiáng)；素?cái)?shù)越大，其有效排除力越弱.

1×（2-1）×（3-1）×（5-1）×（7-1）×…×（P的上個(gè)素?cái)?shù)-1）[]2×3×5×7×11×…×P

素?cái)?shù)有效排除力總和=1[]2+2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7[SX）]+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上個(gè)素?cái)?shù)-1）[]2×3×5×7×…×P.

根據(jù)各素?cái)?shù)的有效排除力定理，可求得整體素?cái)?shù)的有效排除力總和定理，即：

規(guī)律3“自然數(shù)的量”大于“被有效排除的量”，而“被有效排除的量”大于“剩留的量”.其定理為：

2×3×5×…×P>{[2×3×5×…×P]-[（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P-1）]}>[（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P-1）].

此定理從一個(gè)側(cè)面證明了素?cái)?shù)沒有窮盡的問題.

6.對素?cái)?shù)中“可窮盡”和“不可窮盡”問題的證明

證明1對素?cái)?shù)沒有窮盡問題的證明.

首先，將自然數(shù)整體（包含于某高位數(shù)起的自然數(shù)整體）設(shè)為1，那么，擴(kuò)圍的“自然數(shù)的量”可表達(dá)為“1=”.“1-1=0”等式告訴我們，要做到將于某高位數(shù)起的自然數(shù)全部（即100%）有效地排除出素?cái)?shù)之外，整體素?cái)?shù)的有效排除力也必須達(dá)到1（即100%）.

根據(jù)上面求證到的“素?cái)?shù)有效排除力總和定理”可推知：

1×2×3×5×7×…P[]1×2×3×5×7×…×P>1[]2+2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上個(gè)素?cái)?shù)-1）[]2×3×5×7×…×P.

“整體素?cái)?shù)的有效排除力總和<1×2×3×5×7×…×P[]1×2×3×5×7×…×P”表明，自然數(shù)于某高位數(shù)起不可能被素?cái)?shù)全部有效排除出素?cái)?shù)之外，所以，素?cái)?shù)不可窮盡.此證.

此證明跟“1>1[]2+1[]4+1[]8+…+1[]2n”證明的原理極相近.

證明2對“偶素?cái)?shù)可窮盡問題”的證明.

已知偶素?cái)?shù)2的有效排除力為1[]2，設(shè)3起的偶數(shù)總量為自然數(shù)總量的1[]2，那么，得：1[]2-1[]2=0.

所以，偶素?cái)?shù)2的有效排除力可將大于2的偶數(shù)全部有效排除出素?cái)?shù)之外，使偶素?cái)?shù)于3起窮盡.此證1.

證明方法2已知自然數(shù)自4起，每2個(gè)自然數(shù)中有1個(gè)偶數(shù)，記作1[]2，又知偶素?cái)?shù)2的有效排除力為1[]2.那么，得：1[]2-1[]2=0.所以，偶素?cái)?shù)2的有效排除力可將4起自然數(shù)中的所有偶數(shù)全部有效排除出素?cái)?shù)之外，使偶素?cái)?shù)于3起窮盡.此證2.

證明3對“個(gè)位數(shù)為5的奇素?cái)?shù)可窮盡問題”的證明.

已知素?cái)?shù)5的自然數(shù)擴(kuò)圍單位為30（即2×3×5=30）個(gè)自然數(shù)，從6起每30個(gè)自然數(shù)中，個(gè)位數(shù)為5的自然數(shù)共有3個(gè)，表為3[]30.其中，可被3有效排除的1個(gè)（見前文圖3），表為1[]30，可被5有效排除的2個(gè)（見前文圖4），表為1[]30.那么，得：3[]30-1[]30+2[]30=3[]30-3[]30=0.

所以，素?cái)?shù)3和5可將6起的個(gè)位數(shù)為5的自然數(shù)全部有效排除出素?cái)?shù)之外，使個(gè)位數(shù)為5的奇素?cái)?shù)于6起窮盡.此證1.

證明方法2已知經(jīng)素?cái)?shù)2，3的有效排除后，從25起每30個(gè)自然數(shù)中剩有個(gè)位數(shù)為5的奇數(shù)為2個(gè)，記作2[]30，又知素?cái)?shù)5的有效排除力為2[]30.那么，得：2[]30-2[]30=0.

所以，素?cái)?shù)5可將經(jīng)素?cái)?shù)2，3有效排除后剩留的個(gè)位數(shù)為5的奇數(shù)，全部有效排除出素?cái)?shù)之外，使個(gè)位數(shù)為5的奇素?cái)?shù)于6起窮盡.此證2.

證明4對“奇素?cái)?shù)不可窮盡問題”的證明.

將于某高位數(shù)起的奇數(shù)整體設(shè)為1[]2.如要做到將某高位數(shù)起的奇數(shù)全部有效地排除出素?cái)?shù)之外，奇素?cái)?shù)的有效排出力總和須等于“1[]2”.已知整體素?cái)?shù)的有效排除力總和<1，減去偶素?cái)?shù)2的有效排除力1[]2，求得奇素?cái)?shù)的有效排除力總和.據(jù)此，可推知：

1-1[]2>1[]2+2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上個(gè)素?cái)?shù)-1）[]2×3×5×7×…×P

1[]2>2-1[]2×3+（2-1）×（3-1）[]2×3×5+（2-1）×（3-1）×（5-1）[]2×3×5×7+…+（2-1）×（3-1）×（5-1）×…×（P的上個(gè)素?cái)?shù)-1）[]2×3×5×7×…×P

得：

因此，奇素?cái)?shù)不能做到將某高位數(shù)起的奇數(shù)全部有效排除出素?cái)?shù)之外，使奇素?cái)?shù)窮盡.因奇素?cái)?shù)是不可窮盡，所以，素?cái)?shù)不可窮盡.此證1.

此證明跟“1[]2>1[]4+1[]8+1[]16+…+1[]2n”證明的原理極相近.

證明方法2設(shè)奇數(shù)總量為數(shù)9起的自然數(shù)總量的1[]2.又知，奇素?cái)?shù)的有效排除力總和為“素?cái)?shù)的有效排除力總和減去偶素?cái)?shù)2的有效排除力1[]2”，即：（<1）-1[]2=<1[]2.

那么，得：1[]2-<1[]2=（>0）.

所以，奇素?cái)?shù)不能做到將某高位數(shù)起的奇數(shù)全部有效排除出素?cái)?shù)之外，使奇素?cái)?shù)窮盡.因奇素?cái)?shù)是不可窮盡，所以，素?cái)?shù)不可窮盡.此證2.

證明5對“個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇素?cái)?shù)不可窮盡問題”的證明.

從上文圖2、圖3、圖4可看出，經(jīng)2，3，5的有效排除后，在剩留的自然數(shù)中，自然數(shù)的整體結(jié)構(gòu)已發(fā)生了變化，已沒有偶數(shù)和個(gè)位數(shù)為5的奇數(shù)，全為個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇數(shù).

由此可知，當(dāng)素?cái)?shù)7起到有效排除作用時(shí)，自數(shù)49起，每30個(gè)自然數(shù)中，剩有個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇數(shù)共8個(gè)，即為自然數(shù)總量的8[]30，而個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇數(shù)各2個(gè)，即各為自然數(shù)總量的2[]30.這就告訴我們，個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的素?cái)?shù)于某高位數(shù)起能否窮盡，完全在于7起的素?cái)?shù)整體的有效排除力總和是否大于或等于8[]30.如是，則必窮盡，如否，則證明不可窮盡.現(xiàn)予以證明：

已知素?cái)?shù)2，3，5的有效排除力之和為1[]2+1[]6+2[]30=22[]30，又知素?cái)?shù)整體有效排除力總和>100%，據(jù)此可求得7起素?cái)?shù)整體有效排除力總和為：

>100[]100-22[]30=>8[]30

已知經(jīng)2，3，5的有效排除后，個(gè)位數(shù)為1，3，7，9的奇數(shù)