高珍妹

【摘要】不等式的求解證明方法很多，靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)與不等式的求解證明方法是解決許多問題的關(guān)鍵。本文歸納了根據(jù)所給不等式的特征來利用導(dǎo)數(shù)證明的一些方法，并介紹了其具體的證明思路.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) ?不等式 ?證明

引言

數(shù)學(xué)問題的解決關(guān)鍵在于我們對待數(shù)學(xué)問題的方法，如果在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們能有意識地將數(shù)學(xué)問題系列化，解決數(shù)學(xué)問題的方法系列化，那么解決數(shù)學(xué)問題的能力將會(huì)得到升華。本文歸納了幾種根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，從而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)證明不等式的方法.

一、用導(dǎo)數(shù)定義證明不等式

定理定義

定義一（導(dǎo)數(shù)定義）

導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若極限 ? 存在，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo)，稱該極限為

函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)，記作f`（x0）.

令 ， ，

則 .

證明方法和思路

找出x0，使得 ?恰為所要證明不等式的一邊;

利用導(dǎo)數(shù)的定義并結(jié)合已知條件去研究.

適用范圍

用導(dǎo)數(shù)定義證明不等式，應(yīng)仔細(xì)觀察問題中的條件與結(jié)論之間的關(guān)系.有些不等式符合導(dǎo)數(shù)的定義，因此可利用導(dǎo)數(shù)的定義將其形式轉(zhuǎn)化，以達(dá)到化繁為簡的目的.

利用導(dǎo)數(shù)的定義得：

由于 .所以

即 .

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理證明不等式法

定理定義

定理一（拉格朗日中值定理）：若函數(shù)f（x）滿足下列條件：

（1）f（x）在閉區(qū)間[a、b]上連續(xù);

（2）f（x）在開區(qū)間（a、b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a、b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ζ ，使得 ? ? ?.

證明方法和思路

構(gòu)造輔助函數(shù)f（x），并確定f（x）施用拉格朗日中值定理的區(qū)間（a、b）;

運(yùn)用拉格朗日中值定理得到等式;

根據(jù) ，消去 .

適用范圍

當(dāng)所證的不等式中含有函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)，或函數(shù)增量與一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可用拉格朗日中值定理來證明.

三、用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

定理定義

定理二： 若函數(shù)f（x）在（a、b）上可導(dǎo)，則f（x）在（a、b）上遞增（遞減）的充要條件是：

.

定理三： 設(shè)函數(shù)f（x）在（a、b）連續(xù)，在（a、b）內(nèi)可導(dǎo)，如果在（a、b）內(nèi)f′（x）>0（或f′（x）<0），那么f（x）在（a、b）上嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）.

定理四： 設(shè)函數(shù)f（x）在（a、b）內(nèi)可微，若f′（x）>0（或f′（x）<0）），則f（x）在（a、b）內(nèi)嚴(yán)格遞增（或嚴(yán)格遞減）.

證明方法和思路

構(gòu)造輔助函數(shù)f（x），并確定f（x）所在區(qū)間（a、b）;

求f′（x），確定f（x）在區(qū)間（a、b）上的單調(diào)性，從而證明不等式.

適用范圍

利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，不等式兩邊的函數(shù)必須可導(dǎo);對所構(gòu)造的輔助函數(shù)f（x）應(yīng)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在閉區(qū)間的某端點(diǎn)處f（x）的值為0，然后通過在開區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號來判斷f（x）在閉區(qū)間上的單調(diào)性.

四、函數(shù)的極值與最值證明不等式

定理定義

定理五（極值的第一充分條件）：設(shè)f（x）在x0連續(xù)，在U0（x0;δ）內(nèi)可導(dǎo)，

若當(dāng) ? ? ? ? 時(shí) ? ? ? ? ? ? ? ，當(dāng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時(shí) ? ? ? ? ? ? ? ?，則f（x）在x0取得極大值;

若當(dāng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時(shí) ? ? ? ? ? ? ? ? ，當(dāng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時(shí) ? ? ? ? ? ? ? ，則f（x）在x0取得極小值.

定理六（極值的第二充分條件）：設(shè)f（x）在x0的某領(lǐng)域

內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且f′（x0）=0， ? ? ? ? ，若 ? ? ? ? ? ? ? ? ，則f（x）在x0取得極大值;若 ? ? ? ? ? ? ? ? ，則f（x）在x0取得極小值.

定理七（極值的第三充分條件）：設(shè)f（x）在x0的某鄰域內(nèi)存在直到n-1階導(dǎo)函數(shù)，在x0處n階可導(dǎo)，

且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，則

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（x）在x0取得極值，且當(dāng) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?時(shí)取極大值， ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時(shí)取極小值.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（x）在x0處不取極值.

證明方法和思路

構(gòu)造輔助函數(shù)f（x），并取定其區(qū)間.求出f（x）在所設(shè)區(qū)間上的極值與最大、最小值.

適用范圍

所設(shè)函數(shù)f（x）在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，但在所討論的區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)時(shí).

只能證不嚴(yán)格的不等式而不能證出嚴(yán)格的不等式.

五、用柯西中值定理證明不等式

定理定義

定理八 ?（柯西中值定理）：設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）滿足：

在[a、b]上都連續(xù);在（a、b）上都可導(dǎo); f′（x）和g′（x）不同時(shí)為零; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

則存在 ? ? ? ? ? ? ? ?，使得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

證明方法和思路

構(gòu)造兩個(gè)輔助函數(shù)f（x）和g（x），并確定條件區(qū)間[a、b];

運(yùn)用柯西中值定理得到等式;

運(yùn)用ζ與a、b的關(guān)系，對柯西公式進(jìn)行加強(qiáng)不等式.

適用范圍

當(dāng)不等式含有兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值及其一階導(dǎo)數(shù)，或兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)增量及其一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可用柯西中值定理證明.

六、用函數(shù)的凹凸性證明不等式

定理定義

定義二：

凹凸函數(shù)定義：設(shè)f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點(diǎn)x1，x2和任意實(shí)數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?總有

，

則稱f（x）為I上的凸函數(shù).反之，如果總有

，

則稱f（x）為I上的凹函數(shù).

定理九：設(shè)f（x）為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在I上f（x）為凸函數(shù)（或凹函數(shù)）的充要條件是

.

命題（詹森不等式）：若f（x）在[a、b]上為凸函數(shù)，則對任意的 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有 .

定理十：若函數(shù)f（x）在[a、b]內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則任意的 ?，

有

，即

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=L xn時(shí)，不等式中等號成立.

定理十一：若函數(shù)f（x）在[a、b]內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且 ? ? ? ? ? ，則在[a、b]內(nèi)任意的xi（i=1，2，L n） ，有

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=L xn時(shí)，不等式中等號成立.

證明方法和思路

定義證明法：將不等式寫成定義的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)f（x），并討論f（x）在所給區(qū)間上的凹凸性.

詹森不等式法：對一些函數(shù)值的不等式，構(gòu)造凸函數(shù)，應(yīng)用詹森不等式能快速證明此類不等式.

適用范圍

當(dāng)不等式可寫成凹凸函數(shù)定義的形式或?qū)σ恍┖泻瘮?shù)值且只能夠構(gòu)造凸函數(shù)的不等式.

七、用泰勒公式證明不等式

定理定義

定理十二（泰勒定理）：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a、b]上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，

在開區(qū)間（a、b）內(nèi)存在（n+1）階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的x，x0∈[a，b]，至少存在一點(diǎn)ζ∈（a、b），使得

證明方法和思路

根據(jù)已知條件，圍繞證明目標(biāo)，選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)將函數(shù)在這些點(diǎn)展成泰勒展式;

根據(jù)已知條件，向著有利于證明目標(biāo)不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當(dāng)?shù)奶幚?，直到可以結(jié)合已知條件證出不等式為止.

適用范圍

當(dāng)遇到含有函數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)，或函數(shù)增量與高階導(dǎo)數(shù)，或要證的是導(dǎo)數(shù)（一階或二階）不等式時(shí)，可利用泰勒公式來證明有關(guān)的不等式.

八、總結(jié)

本文總結(jié)了導(dǎo)數(shù)在不等式證明中應(yīng)用的七種方法，其中每一種方法都有各自的適用范圍，而同一個(gè)問題也可以有幾中解法，當(dāng)在實(shí)際問題中應(yīng)用時(shí)要注意區(qū)別每種方法的使用條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ越鉀Q問題.

參考文獻(xiàn)：

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