陳智勇

[摘要]線性回歸是研究非隨機變量與隨機變量之間關(guān)系的重要方法，線性回歸預測是統(tǒng)計學中的重要預測方法。本文以居民家庭收入與支出關(guān)系為研究對象，利用線性回歸模型，借助Excel工具，給出二者之間的關(guān)系，并且對家庭收入在某個特定值時的支出進行預測，以期給相關(guān)工作者提供參考。

[關(guān)鍵詞]線性回歸;居民收入;居民支出

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.13.012

1線性回歸模型簡介

簡單地說，回歸分析是通過建立回歸模型研究相關(guān)變量之間的關(guān)系并做出相應(yīng)的估計和預測的統(tǒng)計方法。一元線性回歸是最簡單的回歸分析，其基本步驟是這樣的。

第一步，建立模型。首先應(yīng)當利用專業(yè)知識或者散點圖判斷y與x是否存在呈線性相關(guān)關(guān)系，其中y是被解釋變量，也是隨機變量;x是解釋變量，也是非隨機變量。若二者之間存在線性相關(guān)關(guān)系，y與x之間的關(guān)系可表達為y=β0+β1x+ε，這里β0是截距，β1是斜率，二者統(tǒng)稱為回歸系數(shù)，ε是隨機擾動項。解釋變量x與隨機擾動項ε共同導致了隨機變量y離開均值產(chǎn)生變化。

第二步，估計回歸系數(shù)。一般我們采用最小二乘法來計算0和1。我們用直線=0+1x去擬合{xi，yi}（1≤i≤n）這些散點，我們自然要求擬合偏差的平方和Q=ni=1（yi-i）2最小，即Q=ni=1（yi-0+1xi）2最小。Q是0和1的函數(shù)，令其對0和1的偏導數(shù)為0，可以計算出0和1。引入記號Sxx=ni=1（xi-）2， Sxy=ni=1（xi-）（yi-）， Syy=ni=1（yi-）2， 則有公式：

1=SxySxx

0=-1

第三步，回歸方程的顯著性檢驗。

檢驗方程的顯著性，我們只需檢驗β1是否為0。作假設(shè)H0∶β1=0。對于給定的顯著性水平α，由于α=P{F>Fα（1，n-2）}，若F>Fα（1，n-2），即F只有α的可能性大于Fα（1，n-2），而現(xiàn)在確實大于了，所以我們拒絕H0，認為回歸方程顯著，否則認為回歸方程不顯著。這種方法F稱為檢驗法。

第四步，利用方程進行預測。若回歸方程經(jīng)過檢驗是顯著的，那么可以將變量取值代入回歸方程求出因變量的預測值。

2線性回歸模型在居民家庭收入與支出中的應(yīng)用

家庭收入與消費的線性回歸：某地區(qū)家庭收入與家庭消費支出的調(diào)查數(shù)據(jù)如表1所示。建立家庭收入和家庭消費支出之間的線性回歸模型，并預測家庭收入為9000元時的家庭消費支出。

我們觀察散點圖1，可知居民收入與支出呈線性相關(guān)關(guān)系。

下面，我們按照一元線性回歸的4個步驟來建立回歸方程，預測家庭收入為9000元時的消費支出。

第一步，設(shè)支出為y，收入為x，并且二者之間存在線性相關(guān)關(guān)系，即有y=β0+β1x+ε。其中β0是截距，β1是斜率，統(tǒng)稱回歸系數(shù)，ε是隨機擾動項。收入x與隨機擾動項ε共同導致了隨機變量y離開均值產(chǎn)生變化。

第二步，估計回歸系數(shù)。我們當然可以第一部分的公式1進行計算，但是其較為煩瑣。我們可以利用統(tǒng)計軟件Excel計算其回歸系數(shù)。我們在Excel2010中依次點擊“文件”——“選項”——“加載項”——“分析工具庫”——“轉(zhuǎn)到”——“分析工具庫”——“確定”可以加載“數(shù)據(jù)分析工具”?，F(xiàn)在，我們可以使用Excel2010的“數(shù)據(jù)分析工具”進行回歸分析了。由于Excel只能識別縱向數(shù)據(jù)，所以應(yīng)當先將數(shù)據(jù)由“橫向”轉(zhuǎn)化為“縱向”，使用Excel的“選擇性粘貼”即可實現(xiàn)。

我們點擊Excel2010的“數(shù)據(jù)”選項卡，再點擊“數(shù)據(jù)分析”按鈕，這時會出現(xiàn)一個對話框，問你選擇何種分析工具，我們選擇“回歸”。之后，我們根據(jù)要求填寫“Y值輸入?yún)^(qū)域”、“X值輸入?yún)^(qū)域”（這兩項也可以用折疊按鈕點選），選擇“置信度”為95%，選擇“輸出區(qū)域”為新工作表，勾選線性擬合圖，即可得到回歸系數(shù)的估計值等一系列的結(jié)果。回歸系數(shù)的估計值的結(jié)果如表2所示。

表2中Coefficients意思是“系數(shù)”，Intercept意思是“截距”，Variable意思是“變量”，表2表明x前的系數(shù)為259，截距為0.56，回歸方程為：y=0.56x+259;

我們可以畫出收入、支出擬合圖，由圖2可以看出擬合效果非常好。

第三步，回歸方程的顯著性檢驗。上述擬合效果只是直觀感受，方程的顯著性需要進一步的檢驗。我們檢驗方程的顯著性，只需檢驗β1是否為0?，F(xiàn)在我們顯著性水平取為0.05，查 分布上側(cè)分位數(shù)表得Fa（1，8）=5.32。我們用Excel2010的“數(shù)據(jù)分析工具”得出該線性回歸方程的值為227.47。也就是說，在顯著性水平為0.05下，拒絕假設(shè)，回歸方程顯著。

第四步，利用回歸方程進行預測。上面已經(jīng)證明了回歸方程在顯著性水平為0.05下是顯著的，此時，我們可以利用回歸方程進行預測當家庭收入為9000元時，家庭消費支出的預測值。將11代入線性回歸方程中的x，即可得出11等于5299元。

3結(jié)論

本文介紹了一元線性回歸的基本理論，包括概念引入、建立模型、舉例分析和預測等。線性回歸是生產(chǎn)運作中常用的預測方法。為提高使用效率本文使用Excel軟件對一元線性回歸進行分析預測，求解了家庭居民收入與支出之間的相關(guān)關(guān)系，并且給出了當家庭收入為9000元時的支出預測值，圓滿地完成了本文的任務(wù)。

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