夏揆達(dá)

摘 要：《高等數(shù)學(xué)》是高職學(xué)院開設(shè)的一門重要的公共課，《高等數(shù)學(xué)》的內(nèi)容既有比較具體的計(jì)算內(nèi)容也有一部分抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)理論。本文就《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中應(yīng)用幾何直觀以及培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀解決問題的能力提出一些探討。

關(guān)鍵詞：《高等數(shù)學(xué)》;教學(xué);幾何直觀

高等數(shù)學(xué)是高職學(xué)院開設(shè)的一門重要的公共課，高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容既有比較具體的計(jì)算內(nèi)容也有一部分抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)理論。教師在講授數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中抽象的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎龇绞酵箤W(xué)生難以理解和掌握數(shù)學(xué)中的概念、定理等內(nèi)容。教師如何進(jìn)行教學(xué)以幫助學(xué)生盡快掌握所學(xué)內(nèi)容是值得探討的問題。本文就高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用幾何直觀以及培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀解決問題的能力提出一些探討。

1 借助幾何直觀理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)語(yǔ)言

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)程實(shí)際上是思維活動(dòng)的過(guò)程，是解決問題的進(jìn)程，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往感到抽象的數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)符號(hào)所包含的數(shù)學(xué)內(nèi)容是教學(xué)中的難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念難以理解和掌握，為了突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)盡可能地利用聯(lián)想類比等數(shù)學(xué)思考方法作出所講授的數(shù)學(xué)內(nèi)容的幾何圖形，通過(guò)圖形的直觀演示，用通俗的語(yǔ)言講解數(shù)學(xué)各內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，引出新的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生通過(guò)幾何圖形的直觀認(rèn)知，對(duì)引入的新的數(shù)學(xué)概念有初步的感性認(rèn)識(shí)，逐步降低學(xué)習(xí)過(guò)程中的難點(diǎn)，高等數(shù)學(xué)中許多重要的基本概念都是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以精確描述的。教學(xué)中應(yīng)盡可能利用多媒體演示圖形，教師在板書時(shí)結(jié)合內(nèi)容作出相應(yīng)的幾何圖形，讓學(xué)生借助幾何圖形去思考數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵。例如在引入空間曲面方程的概念時(shí)，為了使學(xué)生對(duì)曲面圖形和曲面方程有清晰的認(rèn)識(shí)，教學(xué)時(shí)，首先展示出幾種常見的曲面模型讓學(xué)生觀察，指出曲面有各種不同的形狀，了解曲面的一個(gè)重要方面是用代數(shù)的方法，從而引出曲面方程的問題，把一個(gè)曲面模型放在空間直角坐標(biāo)系中，給出這個(gè)曲面的代數(shù)方程，指出在坐標(biāo)系下，曲面上的每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程，方程的解有無(wú)數(shù)個(gè)，它的解構(gòu)成坐標(biāo)的點(diǎn)一定都在曲面上。這樣很容易理解曲面與方程的內(nèi)在聯(lián)系，這種利用幾何圖形的直觀認(rèn)知，能使學(xué)生比較容易理解新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)內(nèi)容，利用幾何圖形理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

2 借助幾何直觀講解定理，啟發(fā)思維的敏捷性

幾何直觀圖形能以其生動(dòng)的形象給人留下深刻的印象，在數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)于一些重要的定理，盡可能作出幾何解釋，描繪出幾何圖形，借助幾何直觀講解定理，找出定理的證明思路，全面理解定理的含義。例如，證明拉格郎日中值定理其輔助函數(shù)的引入，定積分的積分區(qū)間的可加性原理，空間向量的坐標(biāo)表示方法，曲邊圖形面積的計(jì)算原理，等都要利用幾何圖形。

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中利用幾何圖形的直觀性容易分析和找出定理的條件和結(jié)論推導(dǎo)出計(jì)算公式，能提高學(xué)生盡快理解和掌握數(shù)學(xué)公式，同時(shí)也訓(xùn)練了幾何作圖的能力，并利用幾何圖形及數(shù)學(xué)知識(shí)解決具體問題。

例如，在講解空間解析幾何內(nèi)容中的點(diǎn)到直線的距離公式，其公式的推導(dǎo)是教學(xué)中的難點(diǎn)，為降低難點(diǎn)，當(dāng)把直線方程用點(diǎn)向式坐標(biāo)方程表示時(shí)，為使學(xué)生容易理解和記住距離公式可作一個(gè)平行四邊形的幾何圖形，在距離公式不容易記住時(shí)，可由直觀圖形（下圖）幫助記住。點(diǎn)P0到直線L的距離d就是以和為鄰邊的平行四邊形的底邊S上的高，于是d=，這里P1是L上已知的一點(diǎn)，是L的方向向量。要計(jì)算點(diǎn)到直線距離，很容易作出上述幾何圖形，進(jìn)而推出用坐標(biāo)形式表示的計(jì)算距離公式。又如講解求以直線L為軸，半徑為R的直圓柱面方程，可以先啟發(fā)學(xué)生思考直圓柱面是怎樣形成的，它可看作為空間有一條固定直線，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到這條固定直線的距離為R，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓柱面，由點(diǎn)到直線的距離公式推出直圓柱面方程。

由于空間坐標(biāo)系的建立，把代數(shù)方程的數(shù)學(xué)形式與幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，這樣可以把思考代數(shù)的問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀蔚膯栴}來(lái)思考，思維范圍更加廣泛和敏捷。

例如，求以直線L：==為軸，半徑為R的直圓柱面方程，只要把它看成是空間中到直線L的距離為R的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡，就可以容易地寫出它的方程：

=R

由于坐標(biāo)系的建立，把圖形與方程聯(lián)系起來(lái)，這就使得從幾何上思考代數(shù)問題具有更加廣泛的意義。

綜上所述，借助幾何直觀，有利于學(xué)生深刻理解高等數(shù)學(xué)的概念、定理，有利于啟發(fā)學(xué)生思維的敏捷性，是培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問題和解決問題能力的一種有效教學(xué)途徑。