李 健

（北京景山學(xué)校，北京 100006）

學(xué)生為主體 教師為主導(dǎo) 問題為主線
——“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

李 健

（北京景山學(xué)校，北京 100006）

本節(jié)課先通過代數(shù)方法，得到拋物線的幾何本質(zhì)是平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡；再根據(jù)圖形的對稱性，得到四種不同形式的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并確定相應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程；最后通過兩個例題，使學(xué)生更熟悉拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程.

學(xué)生為主體 教師為主導(dǎo) 拋物線 標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)背景分析

（一）教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是人教A版選修1-1第二章“圓錐曲線與方程”第三節(jié)“拋物線”的第一小節(jié).本節(jié)課的內(nèi)容主要包括：通過引例研究拋物線的定義，再推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到拋物線的一些簡單性質(zhì).實(shí)際上，學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過二次函數(shù)的圖像是拋物線，對拋物線的圖形有很深的印象.在高中階段也在反復(fù)地應(yīng)用拋物線的圖形特征研究一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的最大（?。┲档?拋物線作為圓錐曲線的一種，其研究方法和研究思路與橢圓、雙曲線是一脈相承的.教材在對橢圓和雙曲線進(jìn)行詳細(xì)討論時，已經(jīng)充分展現(xiàn)了研究解析幾何問題的基本思路（通過定義研究標(biāo)準(zhǔn)方程，再通過方程研究曲線的幾何性質(zhì)）、基本方法（坐標(biāo)法）與基本思想（數(shù)形結(jié)合）.本節(jié)課我們?nèi)匀谎赜眠@種方法和思路討論拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，使學(xué)生更進(jìn)一步體會坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，教學(xué)難點(diǎn)為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式的區(qū)別.

（二）學(xué)生情況

本教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)對象是示范校高中二年級文科班的學(xué)生，大部分學(xué)生的基本素質(zhì)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，有較強(qiáng)的理解能力和學(xué)習(xí)交流能力，認(rèn)知水平相對較高，思維較為活躍.學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過拋物線的有關(guān)知識，在高中也學(xué)習(xí)過橢圓和雙曲線的知識，所以基本掌握了解析幾何的基本思想方法，這些都是本節(jié)課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).

（三）教學(xué)方式

根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，更好地體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，本節(jié)課主要采取“啟發(fā)探究式”的教學(xué)方式.教師通過設(shè)置一系列問題“啟發(fā)引導(dǎo)”學(xué)生去“自主探究”結(jié)論，從而達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo).教師的引導(dǎo)將對學(xué)生深入理解坐標(biāo)法及解析幾何的本質(zhì)起到催化劑的作用.

（四）教學(xué)手段

本節(jié)課采用多媒體投影與計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的教學(xué)手段.

（五）技術(shù)準(zhǔn)備

課前制作幾何畫板課件和幻燈片演示文稿.

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

（1）了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）了解拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

（3）通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程體會求曲線方程的方法.

（二）過程與方法目標(biāo)

（1）通過“拋物線定義的探究”和“方程的推導(dǎo)”，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、分析、概括推理的能力，使學(xué)生進(jìn)一步體會坐標(biāo)法.

（2）通過“四種標(biāo)準(zhǔn)方程的對比與分析”及“性質(zhì)的探究”，使學(xué)生學(xué)會反思與感悟，形成良好的數(shù)學(xué)觀，并進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的思想.

（三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

通過觀察、思考、解答等教學(xué)活動，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、勇于探索的學(xué)習(xí)態(tài)度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

三、教學(xué)過程

（一）情境引入

師：我們已經(jīng)研究過橢圓和雙曲線這兩種圓錐曲線，今天我們再來研究另一種圓錐曲線.

首先，思考這樣一個問題.

幾何畫板演示：

如圖，點(diǎn)F是定點(diǎn)，l是不經(jīng)過點(diǎn)F的定直線.H是l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)H作MH⊥l，線段FH的垂直平分線m交MH于點(diǎn)M.拖動點(diǎn)H，觀察點(diǎn)M的軌跡.

（引導(dǎo)學(xué)生觀察，并回答以下問題.）

教師：你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M滿足的幾何條件嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生先從點(diǎn)的幾何特征的角度認(rèn)識拋物線.

學(xué)生：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，動點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離等于M到定直線l的距離.

教師：點(diǎn)M的軌跡是什么圖形？

【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生從圖形的角度認(rèn)識拋物線.

學(xué)生：拋物線.

教師：是初中所學(xué)的拋物線嗎？為什么？

（學(xué)生回答不明確，說不清理由，因此教師追問.）

教師：初中是如何定義拋物線的？

【設(shè)計(jì)意圖】啟發(fā)學(xué)生利用已有知識研究問題，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

學(xué)生：利用二次函數(shù)y=a x2+b x+c的圖像來定義拋物線.

教師：也就是說，想說明這條曲線是拋物線，必須說明它確實(shí)是某個二次函數(shù)的圖像.在解析幾何中，任何一條曲線都可以通過建系找到所對應(yīng)的方程.現(xiàn)在，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求點(diǎn)M的軌跡方程.

【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生應(yīng)用已有的解析幾何知識，通過觀察定點(diǎn)、定直線、軌跡的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求軌跡方程.

設(shè)焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為p（p＞0）.

（引導(dǎo)學(xué)生思考建系方式.）

（實(shí)際上，出現(xiàn)了以下三種建系方案：

方案一：取過定點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為y軸，y軸與l交于點(diǎn)K，以線段K F的垂直平分線為x軸.

方案二：以l為x軸，過定點(diǎn)F與直線l垂直的直線為y軸建系.

方案三：以定點(diǎn)F為原點(diǎn)，平行于l的直線為x軸建系.

選取方案一和方案二的學(xué)生較多，選取方案三的學(xué)生很少.）

教師指導(dǎo)學(xué)生選擇其中一種建系方式，求點(diǎn)M的軌跡方程.

（學(xué)生自主探究，推導(dǎo)點(diǎn)M的軌跡方程，并展示推導(dǎo)結(jié)果.）

（實(shí)際教學(xué)中，只有前兩種方案的推導(dǎo)結(jié)果如下：

由于方案三不是本節(jié)課討論的主要形式，因此就沒有再加以關(guān)注，而是讓學(xué)生課下思考.）

（二）講授新課

無論哪種建系方案，得到的都是y關(guān)于x的二次函數(shù).所以，點(diǎn)M的軌跡確實(shí)是初中所學(xué)的拋物線，而且從前面曲線的生成過程可以看出：曲線上的任意一點(diǎn)滿足“到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等”的幾何條件.

【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生認(rèn)識到滿足這樣的幾何條件的點(diǎn)的軌跡確實(shí)是拋物線，因此自然地引出拋物線的定義.

1.拋物線的定義

把平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.

（板書）

教師：從圖形上看，拋物線與橢圓、雙曲線最大的區(qū)別是什么？

學(xué)生：拋物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形，是非中心對稱圖形.

教師：從方程看，拋物線與橢圓、雙曲線的區(qū)別是什么？

學(xué)生：方程中含變量x，y的項(xiàng)不都是2次項(xiàng)，有1次項(xiàng).只依賴一個參數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】先從數(shù)、形兩個角度認(rèn)清拋物線與橢圓、雙曲線的區(qū)別.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

教師提問：按照以往的研究經(jīng)驗(yàn)，研究完定義，就要研究標(biāo)準(zhǔn)方程.所以，你覺得應(yīng)該選前面哪種方案推出的方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

（引導(dǎo)學(xué)生從方程形式的繁簡、對稱軸、焦點(diǎn)、方程有無常數(shù)項(xiàng)、頂點(diǎn)是否在原點(diǎn)等方面考慮.）

【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步明確解析幾何的研究順序：定義—標(biāo)準(zhǔn)方程.

（在教學(xué)實(shí)施過程中，學(xué)生可以直接看出x2=2p y（p＞0）作為標(biāo)準(zhǔn)方程比較合適.）

從上述計(jì)算過程可知，拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都滿足到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等.因此，它確實(shí)可以作為拋物線的方程.

我們把方程x2=2p y（p＞0）叫作拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，），準(zhǔn)線方程是y=+.

橢圓、雙曲線在不同的建系條件下，可以得到兩種不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程.而由于拋物線只有一條對稱軸，因此可以有以下四種不同的建系方式，可以對應(yīng)得到四種不同形式的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【設(shè)計(jì)意圖】類比橢圓與雙曲線，明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式.

（分別給出四個圖形，讓學(xué)生回答所對應(yīng)的開口方向、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.）

（學(xué)生可以通過圖形填出開口方向、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.）

教師對拋物線的這四種形式進(jìn)行總結(jié).

【設(shè)計(jì)意圖】總結(jié)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式，便于學(xué)生記憶.

（引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)，正確的加以肯定，有問題的加以引導(dǎo)、修正.）

總結(jié)規(guī)律如下：

（1）所建坐標(biāo)系的共同特點(diǎn).

（2）關(guān)于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

①形式；

②通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)、對稱軸在哪個（半）軸上；

③通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷開口方向.

3.反饋練習(xí)

例1求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

（1）y2=20x；（2）y=2x2.

【設(shè)計(jì)意圖】熟悉并識別拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同形式，并由標(biāo)準(zhǔn)方程求相應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

在求解的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納由標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的步驟：

①化為標(biāo)準(zhǔn)方程；②定型；③定量；④求解.

例2求滿足以下條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；

（3）頂點(diǎn)是原點(diǎn)、對稱軸是坐標(biāo)軸，過點(diǎn)（3，+4）.

【設(shè)計(jì)意圖】①進(jìn)一步熟悉求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②進(jìn)一步熟悉待定系數(shù)法；③體會方程的思想.

引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：

思考：

（1）拋物線y2=4x上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則這個點(diǎn)的坐標(biāo)是____.

（2）拋物線y2=2p x上有一點(diǎn)A（4，m）到準(zhǔn)線的距離為6，則m=____.

【設(shè)計(jì)意圖】了解拋物線的定義，能夠應(yīng)用定義解決問題.

4.歸納總結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了拋物線的定義和四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程.學(xué)會根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，并根據(jù)已知條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

四、學(xué)習(xí)效果評價(jià)設(shè)計(jì)

學(xué)習(xí)效果評價(jià)采取教師評價(jià)、學(xué)生評價(jià)和學(xué)生互評相結(jié)合的方式，具體包括以下幾個方面的設(shè)計(jì)：

1.在探究動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡環(huán)節(jié)，通過課堂上學(xué)生的發(fā)言及時反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況

（1）是否能夠積極主動地參與探究活動并能夠獨(dú)立思考；

（2）是否能夠自覺運(yùn)用幾何知識認(rèn)識到動點(diǎn)所滿足條件的幾何本質(zhì)；

（3）是否能夠結(jié)合已有的拋物線定義，提出進(jìn)一步解決問題的方法.

2.在推導(dǎo)拋物線的方程環(huán)節(jié)，通過學(xué)生的自主探究、展示交流，了解學(xué)生對解析幾何的基本方法（坐標(biāo)法）的掌握情況

（1）是否能夠準(zhǔn)確地用符號語言描述動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，并能夠順利地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式；

（2）是否能夠根據(jù)定點(diǎn)、定直線，軌跡的特點(diǎn)，建立適合的直角坐標(biāo)系，完成坐標(biāo)法的第一步；

（3）是否能夠順利地列式、化簡、整理，得到軌跡的方程.

3.在確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的環(huán)節(jié)，通過學(xué)生的討論、交流、展示發(fā)言，了解學(xué)生對圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解

（1）是否能夠準(zhǔn)確地理解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“標(biāo)準(zhǔn)”二字；

（2）是否能夠找出標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程之間的關(guān)系；

（3）是否能夠類比橢圓、雙曲線，得到其他三種標(biāo)準(zhǔn)方程.

4.在反饋練習(xí)和歸納總結(jié)環(huán)節(jié)，了解學(xué)生對拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識程度和對數(shù)形結(jié)合思想的感知程度

（1）是否能夠辨析拋物線的四個標(biāo)準(zhǔn)方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；

（2）是否能夠應(yīng)用拋物線的定義解決一些簡單的問題；

（3）是否對解析幾何的基本思想、基本方法有了進(jìn)一步的了解.

5.通過批改學(xué)生課后作業(yè)進(jìn)一步獲得教學(xué)效果的反饋信息，檢查課堂教學(xué)的落實(shí)情況

五、教學(xué)反思

學(xué)習(xí)的過程是一個將外界的新信息不斷地搭建在已有知識上的過程，是認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生重組和改造的過程.本節(jié)課所要講的拋物線就是學(xué)生已有的知識，本節(jié)課的目的就是要將已有知識更加明確化、本質(zhì)化，給出拋物線的本質(zhì)定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.本教學(xué)設(shè)計(jì)以“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，問題為主線”的指導(dǎo)思想，逐步推進(jìn)，完成既定的教學(xué)目標(biāo).反思整個教學(xué)過程，我有如下體會：1.課堂結(jié)構(gòu)緊湊，完成既定目標(biāo)

學(xué)生在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過拋物線的有關(guān)知識，并且已經(jīng)學(xué)過橢圓和雙曲線兩種圓錐曲線的相關(guān)知識，基本形成了用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，對數(shù)形結(jié)合的思想方法有了較深的了解.所以，本節(jié)課在設(shè)計(jì)中充分考慮到學(xué)生的這一實(shí)際情況和認(rèn)知規(guī)律，從學(xué)生熟悉的開口向上的拋物線出發(fā)，給出拋物線的本質(zhì)定義，再類比橢圓、雙曲線的研究順序，討論拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單應(yīng)用.整節(jié)課，從問題的提出到概念的形成，再到標(biāo)準(zhǔn)方程的定義，都是自然而連貫的，使學(xué)生自然地接受了四種開口方向的拋物線，完成了課前制訂的教學(xué)目標(biāo).

2.教學(xué)目標(biāo)明確，及時突破重點(diǎn)難點(diǎn)

為了突破重點(diǎn)難點(diǎn)，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采用了溫故知新，循序漸進(jìn)，逐層推進(jìn)的方式，抓住了學(xué)生比較熟悉的開口向上的拋物線的特點(diǎn)，并結(jié)合軌跡方程的推導(dǎo)過程，自然地給出了拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，再次強(qiáng)化了用代數(shù)方法解決幾何問題的基本途徑——坐標(biāo)法的應(yīng)用.在后面例題的安排中，充分考慮到了四種標(biāo)準(zhǔn)方程的形式易混淆的特點(diǎn)，針對標(biāo)準(zhǔn)方程、開口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程進(jìn)行鞏固練習(xí)，使學(xué)生掌握先定型，再定量的解決問題的方法.

3.引入自然新穎，利于學(xué)生接受

本教學(xué)設(shè)計(jì)在引入環(huán)節(jié)打破了從開口向右的拋物線入手的常規(guī)，選用了學(xué)生非常熟悉的開口向上的拋物線入手，這樣做的考慮是拋物線對于學(xué)生來說并不陌生，學(xué)生通過自己動手算出這個軌跡確實(shí)是拋物線以及從軌跡的生成過程發(fā)現(xiàn)軌跡上點(diǎn)所滿足的幾何條件，自然可以接受拋物線的本質(zhì)定義，并知道這種定義方法與初中的定義方法并不矛盾.從而使學(xué)生的學(xué)習(xí)真正達(dá)到循序漸進(jìn)、螺旋上升的目的.

4.知識梳理及時到位，反饋練習(xí)應(yīng)更靈活

在給出拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程之后，及時總結(jié)了標(biāo)準(zhǔn)方程、開口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的規(guī)律，便于學(xué)生記憶.但是由于本節(jié)課是拋物線的第一小節(jié)，學(xué)生并不能馬上掌握這四種形式，所以做例題時很多學(xué)生是對照表格進(jìn)行的，所以在總結(jié)規(guī)律之后，先給學(xué)生1分鐘時間消化，再由學(xué)生提問，學(xué)生回答的靈活方式，使每個同學(xué)積極參與，充分思考，更好地掌握拋物線的四種形式.