姜金平，王小霞

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

含線性阻尼2D g－Navier－Stokes方程的全局吸引子維數(shù)估計

姜金平，王小霞

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

利用經(jīng)典的全局吸引子維數(shù)估計方法，研究了一類含線性阻尼的非線性自治g－Navier－Stokes系統(tǒng)在無界區(qū)域上的全局吸引子的維數(shù)估計問題。

g－Navier－Stokes方程;全局吸引子;線性阻尼;維數(shù)估計

在流體力學和動力系統(tǒng)中，通常會研究該系統(tǒng)全局吸引子的存在性問題［1－8］，在本文中，我們研究無界區(qū)域Ω?R2上含線性阻尼的g－Navier－Stokes方程的全局吸引子的維數(shù)估計問題，含線性阻尼的二維g－Navier－Stokes方程的一般形式如下(見文［1，3］):

在Ω×(0，∞)上。

u(x，t)=0，在?Ω上。

u(x，0)=u0(x)，在Ω上。

這里u(x，t)∈R2，p(x，t)∈R分別表示速度和壓力，ν＞0且f=f(x)∈(L2(Ω))2，0＜m0＜g=g(x1，x2)≤M0。這兒g=g(x1，x2)是實值光滑函數(shù)。

u和p未知。當g=1時，方程(1)就是通常的二維Naνier－Stokes方程。

1 預(yù)備知識

對常數(shù)m0和M0，我們假設(shè)Poincare不等式在Ω上成立:即存在λ1＞0使得

設(shè)L2(g)=(L2(Ω))2，且其內(nèi)積分別為:

(u，v)=∫Ωu·vg d x，u，v∈L2(g)和((u，v))=這里u=(u1，u2)，v=(v1，v2)∈。分別定義它們的范數(shù)為|·|=(·，·)1/2和‖·‖=((·，·))1/2。

于是由(2)可以知道，范數(shù)‖·‖等價于H10(Ω)空間的范數(shù)，設(shè)D(Ω)是Ω上由具有緊支集的C∞函數(shù)構(gòu)成，設(shè)D={v∈D(Ω))2:▽·gv=0在Ω}，H為D在L2(g)上的閉包，V為D在H10(g)中的閉包。這里H和V分別具有空間L2(g)和H10(g)上的內(nèi)積和范數(shù)。

由(2)可知:

定義g－Laplacian算子如下:

于是可以將(1)改寫如下:

定義g－正交投影為:P:L2(g)→H，同時定義g－Stokes算子為:

(4)式在投影P的作用下，可以得到(1)的弱形式如下:

若f∈V和u0∈H，則

使得

映射bg:Vv×Vg×Vg→R定義為:

這里A:V→V'是g－Stokes算子，其定義為

B(u)=B(u，u)=P(u，▽)u 是雙線性算子，其定義為B:V×V→V'

g－Stokes算子A是從空間V到V'的同構(gòu)，這里B、R滿足下面不等式(見文［2－4］):

命題1［1，3］設(shè)f∈L2(g)，u0(x)∈H，存在一個唯一的u(x，t)∈L∞(R+;H)∩L2(0.T;V)∩C(R+; H)(?T＞0)，使得(6)，(7)成立。

證明:設(shè)u=u(t)，t＞0是由命題1給定的解。由于u∈L2(0.T;V)及u'∈L2(0.T;V')，則

則bg(u，u，u)=0，?u，v∈V，于是

從而利用(3)可得

這里m1=|－2α|，因此

對充分小的|▽g|∞，

因此可得:

(一)隨著中國經(jīng)濟的不斷發(fā)展壯大，中國經(jīng)濟對于世界經(jīng)濟的滲透也在不斷加深，中國經(jīng)濟已經(jīng)在國際財經(jīng)合作中扮演著重要角色。中國與很多國家都建立了各種形式的財經(jīng)合作體系。2017年的G20峰會是中國第一次作為經(jīng)濟大國參與國際性的重大經(jīng)濟決策，中國對于全球經(jīng)濟恢復起到了推動作用。

由命題1，可以在H上定義連續(xù)半群{S(t)}為S(t)u0=u(t)，t＞0，這里u(t)是(6)的解且u(0)= u0∈H，此外，由(14)有

B在H中對于半群是吸收的。利用文［8］中類似方法可得下面定理成立。

2 全局吸引子的維數(shù)估計

給出含線性阻尼的2D g－Navier－Stokes方程在無界區(qū)域上的全局吸引子的維數(shù)估計。

設(shè)u0∈A且u(t)=S(t)u0，對t≥0，由(9)可得線性流u可由下列方程給出

?Ψ∈H，存在唯一的U∈L2(0．T;V)∩C(［0，T］;H)(?T＞0)滿足(16)?T＞0。

定義線性映射L(t;u0):H→H為L(t;u0)ξ= U(t)，可以證明L(t;u0)是有界的且{S(t)}t≥0在A上一致可微，即

這里Qm(τ)=Qm(τ:u0，Ψ1，…，Ψm)是H上的正交投影，L(t;u0)Ψ1，…，L(t;u0)Ψm，?Ψ1，…，Ψm在H中線性無關(guān)。

引理1［7］設(shè)A是(1)的全局吸引子，若對n∈N，有qn＜0。那么A分別具有有限的Hausdorff和fracta l維數(shù)估計如下

為了估計qm，設(shè)u0∈A且u(t)=S(t)u0，Uj(t) =L(t;u0)Ψj，t≥0，設(shè)φi(t)(i=1…m)是H中的正交基。由于

由Lieb－Thirring不等式

于是

定理3 考慮含線性阻尼的二維g－Navierstokes方程，當時，定義m滿足m－這里c是定義在R2上的常數(shù)。則其全局吸引子具有有限的Hausdorff維數(shù)小于等于m和有限的分形維數(shù)小于等于2 m。

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［責任編輯 畢 偉］

Dimension Estimation of G lobal Attractor for g－Navier－Stokes Equation w ith Linear Dampness

JIANG Jin－ping，WANG Xiao－xia

(College of Mathematics and Computer Sctence，Yan'an University，Yan'an，716000，China)

The dimension estimation of global attractor for g－Navier－Stokes equation with linear dampnesswas investigated by the classicalmethod of dimension estimation.

g－Navier－Stokes equation;global attractors;linear dampness;dimension estimation

O175.29

A

1004－602X(2015)03－0010－04

10.13876/J.cnki.ydnse.2015.03.010

2015 -06 -10

陜西省科技計劃項目(2014JM2－1005);陜西省教育廳科研項目(15JK1834);延安市科技計劃項目(2013－KS03);陜西省2015年大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練項目(1416)

姜金平(1974—)，男，陜西洛川人，延安大學副教授，博士。