劉艷峰

(延安大學 物理與電子信息學院，陜西 延安 716000)

不是線性關系，但作T2－m圖線，是一條直線。可以看出在彈簧周期公式中的質量，除去負載m還應包括彈簧自身質量m0的一部分，即

串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的實驗研究

劉艷峰

(延安大學 物理與電子信息學院，陜西 延安 716000)

推導出了串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計算公式，同時從實驗的角度利用振動法對串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計算公式進行了驗證。發(fā)現(xiàn)實驗值與理論計算值的相對誤差較小，二者非常吻合，說明串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)計算公式是正確的。該研究一方面有助于學生進一步理解串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的概念，另一方面在實際生產和生活應用中也有一定的參考價值。

柱形彈簧;錐形彈簧;等效勁度系數(shù)

彈簧的制造材料一般來說應具有高的彈性極限、疲勞極限、沖擊韌性及良好的熱處理性能等，常用的有碳素彈簧鋼、合金彈簧鋼、不銹彈簧鋼以及銅合金、鎳合金和橡膠等。彈簧的制造方法有冷卷法和熱卷法。彈簧絲直徑小于8毫米的一般用冷卷法，大于8毫米的用熱卷法。有些彈簧在制成后還要進行強壓或噴丸處理，可提高彈簧的承載能力。彈簧是機械和電子行業(yè)中廣泛使用的一種彈性元件，彈簧在受載時能產生較大的彈性變形，把機械功或動能轉化為變形能，而卸載后彈簧的變形消失并回復原狀，將變形能轉化為機械功。勁度系數(shù)是彈簧的固有屬性，勁度系數(shù)即倔強系數(shù)［1－5］。所有彈簧在彈性限度內均遵守胡克定律，即彈簧伸長的長度與所受的拉力成正比［4］。彈簧組是指由幾個彈簧通過適當?shù)倪B結，組成的一個新的彈簧系統(tǒng)［5］。彈簧組的連結方式通常有并聯(lián)、串聯(lián)。其中，并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)等于兩個彈簧勁度系數(shù)之和;彈簧串聯(lián)的等效勁度系數(shù)等于兩個彈簧勁度系數(shù)的倒數(shù)之和［6－9］。本文推導出了串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計算公式，同時從實驗的角度利用振動法對串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計算公式進行了驗證。首先通過測量柱形彈簧和錐形彈簧單獨作簡諧振動時的周期，計算得出柱形彈簧的勁度系數(shù)和錐形彈簧的勁度系數(shù)，然后把柱形彈簧和錐形彈簧串聯(lián)，測量出串聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù);把柱形彈簧和錐形彈簧并聯(lián)，測量出并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù);最后將串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的實驗測量值和理論推導公式計算值進行比較，計算出二者的相對誤差。該研究一方面有助于學生進一步理解串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的概念，另一方面在實際生產和生活應用中也有一定的參考價值。

1 實驗原理

1.1 實驗儀器

實驗所用儀器有:細線，柱形彈簧，錐形彈簧，砝碼，砝碼托盤，秒表，新型焦利氏秤。新型焦利氏秤的簡圖如圖1所示。

圖1 新型焦利氏秤

1.2 實驗原理

1.2.1 等效勁度系數(shù)的理論計算原理

所有彈簧在彈性限度內均遵守胡克定律［10－12］，即彈簧伸長的長度與所受的拉力成正比。胡克定律的數(shù)學表達式為

式中F為彈簧所受的拉力，x為彈簧伸長的長度，k為彈簧的勁度系數(shù)。

彈簧組是指由幾個彈簧通過適當?shù)倪B結，組成的一個新的彈簧系統(tǒng)。彈簧組的連結方式通常有并聯(lián)、串聯(lián)。設有勁度系數(shù)分別為k1和k2的兩個彈簧，分別將他們串聯(lián)和并聯(lián)，如圖2所示。

圖2 串并聯(lián)彈簧示意圖

設串聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)為k串，并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)為k并，k串和k并分別與k1和k2的關系式推導如下:

當它們串聯(lián)時，如圖2(a)所示，我們結合受力分析和力學特性，假設彈簧受力為F，兩彈簧的伸長量分別為△x2和△x2，彈簧的總伸長量為△x，則根據(jù)(1)式有

那么將公式(1)、公式(2)、公式(3)結合整理可得

串聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)

將(4)式整理可得

上式(5)即為串聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的計算公式。

當它們并聯(lián)時，如圖2(b)所示，我們結合受力分析和力學特性，假設并聯(lián)彈簧組所受外力為F，兩彈簧的伸長量為△x，則

再根據(jù)(1)式有

將(7)式整理可得

那么(8)式即為并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的計算公式。

1.2.2 等效勁度系數(shù)的實驗測量原理

設彈簧的勁度系數(shù)為k，懸掛負載質量為m。一般給出彈簧振動周期T的公式為

不是線性關系，但作T2－m圖線，是一條直線?？梢钥闯鲈趶椈芍芷诠街械馁|量，除去負載m還應包括彈簧自身質量m0的一部分，即

將式(10)改為

通過測量加各種不同負載m的周期T值，由最小二乘法可得

代入上式b=4π2/k的表達式中，分別計算出柱形彈簧勁度系數(shù)、錐形彈簧勁度系數(shù)以及二者串并聯(lián)后的等效勁度系數(shù)。

2 實驗方法

2.1 儀器調節(jié)

如圖1所示，將彈簧掛在焦利氏秤上，調節(jié)支架的底腳螺旋，使十字線G的豎直線穿過平面鏡支架上小圓孔的中心，這時彈簧將與A柱平行。調節(jié)底板的三個水平調節(jié)螺絲，使焦利氏秤立柱垂直。

2.2 測量

測量彈簧作簡諧振動時的周期，通過計算得出彈簧的勁度系數(shù)。

(1)分別測量柱形彈簧下端懸掛質量為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時的周期。

(2)分別測量錐形彈簧下端懸掛質量為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時的周期。

(3)分別測量柱形彈簧和錐形彈簧串聯(lián)時下端懸掛質量為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時的周期。

(4)分別測量柱形彈簧和錐形彈簧并聯(lián)時下端懸掛質量為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時的周期。

3 實驗數(shù)據(jù)記錄及數(shù)據(jù)處理

3.1 實驗數(shù)據(jù)記錄

(1)柱形彈簧下端懸掛質量m為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時，50個周期的時間t，周期T，周期的平方T2，數(shù)據(jù)見表1。

表1 柱形彈簧周期T測量

(2)錐形彈簧下端懸掛質量m為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時，50個周期的時間t，周期T，周期的平方T2，數(shù)據(jù)見表2。

表2 錐形彈簧周期T測量

(3)柱形和錐形彈簧串聯(lián)時下端懸掛為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時，50個周期的時間t，周期T，周期的平方T2，數(shù)據(jù)見表3。

表3 錐形彈簧和柱形彈簧串聯(lián)周期T測量

(4)柱形和錐形彈簧并聯(lián)時下端懸掛為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時，50個周期的時間t，周期T，周期的平方T2，數(shù)據(jù)見表4。

表4 柱形彈簧和錐形彈簧并聯(lián)周期T測量

3.2 數(shù)據(jù)處理

(1)柱形彈簧勁度系數(shù):由表1數(shù)據(jù)，根據(jù)公式(11)有

式中k1為柱形彈簧勁度系數(shù)，令y=T2，x=m，，則得

y=a+bx。

利用最小二乘法可得

相關系數(shù)

(2)錐形彈簧勁度系數(shù):由表2數(shù)據(jù)，根據(jù)公式(11)有

式中k2為錐形彈簧勁度系數(shù)，令y=T2，x=m，則得

利用最小二乘法可得

相關系數(shù)

(3)柱形彈簧和錐形彈簧串聯(lián)的等效勁度系數(shù):由表3數(shù)據(jù)，根據(jù)公式(11)有

式中k串為柱形彈簧和錐形彈簧串聯(lián)的等效勁度系數(shù)，令則得

利用公式(12)由最小二乘法可得

得實驗值為

相關系數(shù)

將實驗測量值k串和理論公式計算值比較，算其相對誤差為

測得二者相對誤差較小，在誤差允許的范圍內。

(4)柱形彈簧和錐形彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù):由表4數(shù)據(jù)，根據(jù)公式(11)有

式中k并為柱形彈簧和錐形彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)，令則得

利用最小二乘法得

得實驗值

相關系數(shù)

將實驗測量值k并和理論公式計算值比較，算其相對誤差為

測得二者相對誤差較小，在誤差允許的范圍內。

4 結束語

本文首先推導出了串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計算公式，然后從實驗的角度利用振動法對串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計算公式進行了驗證。最后將串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的實驗測量值和理論推導公式計算值進行比較，計算出二者的相對誤差。發(fā)現(xiàn)實驗值與理論計算值的相對誤差較小，二者非常吻合，說明了串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)計算公式是正確的。該研究一方面有助于學生進一步理解串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的概念，另一方面在實際生產和生活應用中也有一定參考價值。

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［責任編輯 賀小林］

Experimental Study on the Equivalent Stiffness Coefficient of Parallel and Serial Spring

LIU Yan－feng

(College of Physics and Electronic Information，Yan'an University，Yan'an 716000，China)

A formula is derived to calculate the equivalent stiffness coefficient about springs connected in series and parallel.At the same time，they are validated in vibrationmethod from the experimental point，the experimental results and theoretical calculation results are very well，It illustrates the formula of calculating the equivalent stiffness coefficient about springs connected in series and parallel is correct.The research results help students to further understand the equivalent stiffness coefficient about springs connected in series and parallel spring，they also have certain reference value in actual production and application.

cylindrical spring;conical spring;the equivalent stiffness coefficient

O469

A

1004－602X(2015)03－0028－05

10.13876/J.cnki.ydnse.2015.03.028

2014 -11 -20

陜西省2013年科學技術研究發(fā)展計劃資助項目(2013K02－14);延安市2013年科學技術研究發(fā)展計劃資助項目(2013－KN37);陜西省高水平大學建設專項資金資助項目(物理學2012SXTS05)

劉艷峰(1979—)，女，陜西清澗人，延安大學講師。