雙參數(shù)C0－半群拓?fù)?/h1>
2015-06-07 06:00畢偉
畢偉
(延安大學(xué) 學(xué)報(bào)編輯部，陜西 延安 716000)
雙參數(shù)C0－半群拓?fù)?/p>
畢偉
(延安大學(xué) 學(xué)報(bào)編輯部，陜西 延安 716000)
利用雙參數(shù)C0－半群的概念，引入一個(gè)新的局部凸向量拓?fù)洌?duì)其基本性質(zhì)進(jìn)行了研究。
雙參數(shù)C0－半群;局部凸向量拓?fù)?雙參數(shù)C0－半群拓?fù)?/p>
1 預(yù)備知識(shí)
定義1.1［1］設(shè)(X，‖·‖)為Banach空間，B(X)表示X上有界線性算子的全體。若雙參數(shù)算子族{T(s，t)s，t≥0}?B(X)滿足:
(1)T(0，0)=I;
(2)T((s1+s2)，(t1+t2))=T(s1，t1)T(s2，t2)，?s1，s2，t1，t2≥0;
(3)映射(s，t) T(s，t)x強(qiáng)連續(xù)，?s，t≥0，x∈X。
則稱{T(s，t)s，t≥0}為雙參數(shù)強(qiáng)連續(xù)C0－半群，簡稱雙參數(shù)C0－半群。
2 主要結(jié)果
對(duì)?s，t≥0，令Ps，t(x)=‖T(s，t)x‖，x∈X，則利用雙參數(shù)C0－半群的定義，對(duì)?x，y∈X及s，t≥0有
(1)Ps，t(x)≥0;
(2)Ps，t(x+y)≤Ps，t(x)+Ps，t(y);
(3)Ps，t(αx)=αPs，t(x)，α≥0。
事實(shí)上，Ps，t(x)=‖T(s，t，)x‖≥0;
即Ps，t(x)是X上的一擬范數(shù)，從而由擬范數(shù)族S'={Ps，t∶s，t≥0}可以誘導(dǎo)出一局部凸向量拓?fù)洌洖棣印?/p>
定義2.1 由上述擬范數(shù)族S'={Ps，t∶s，t≥0}導(dǎo)出的X上的局部凸向量拓?fù)?，稱為雙參數(shù)C0－半群拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為(X，τ)。
引理2.1［2］設(shè)E是線性空間，A、B是E上的兩族擬范數(shù)，那么由A確定的拓?fù)淙跤谟葿確定的拓?fù)涞某湟獥l件是:對(duì)于每個(gè)q∈A，必存在p1，p2，…，pm∈B以及正數(shù)c1，c2，…，cm，使得對(duì)一切x∈E下式成立:
q(x)≤c1p1(x)+c2p2(x)+…+cmpm(x)。
定理2.1 由范數(shù)所誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)鋸?qiáng)于X上的雙參數(shù)C0－半群拓?fù)洹?/p>
證明 因?yàn)閷?duì)?s，t≥0及x∈X，有:
Ps，t(x)=‖T(s，t)x‖≤‖T(s，t)‖·‖x‖，再根據(jù)引理2.1，得證。
定義2.2 在局部凸線性拓?fù)淇臻gX中，如果對(duì)任意的Cauchy序列{xn}，{T(s，t)xn}(s，t≥0)都收斂，則稱X是雙參數(shù)C0－半群完備的。
定理2.2 局部凸線性拓?fù)淇臻g(X，τ)是雙參數(shù)C0－半群完備的。
證明 設(shè){xn}是(X，τ)中的任意Cauchy序列，那么對(duì)于任意連續(xù)擬范數(shù)q(x)及ε＞0，集合U= {x:q(x)＜ε}構(gòu)成零的一個(gè)鄰域，從而必存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n，m＞N時(shí)，有(xn－xm)∈U，即q(xn－xm)＜ε，特別地，對(duì)?Ps，t(x)∈S'有:
可知{T(s，t)xn}是Banach空間(X，‖·‖)中的Cauchy序列，從而{T(s，t)xn}必按范數(shù)收斂。再由定理2.1可得{T(s，t)xn}也是(X，τ)中的收斂列。得證。
定理2.3 設(shè){T(s，t)s，t≥0}是非退化的雙參數(shù)C0－半群，則{T(s，t)s，t≥0}誘導(dǎo)出的雙參數(shù)C0－半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
證明 因?yàn)閧T(s，t)s，t≥0}是非退化的，即若對(duì)?s，t有T(s，t)x=0，那么必有x=0，所以對(duì)?x≠0可得:
從而對(duì)?x≠y，即x－y≠0，必存在α，β∈［0，+∞)使得Pα，β(x)=3d＞0，令V={x:Pα，β(x)≤1}，則x的鄰域x+dV與y的鄰域y+dV彼此分離，即雙參數(shù)C0－半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
關(guān)于由單個(gè)擬范數(shù)誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)?，給出以下結(jié)果:
定理2.4 設(shè)s1，s2，t1，t2≥0且s1＞s2，t1＞t2，則由擬范數(shù)Ps1，t1(x)=‖T(s1，t1)x‖所導(dǎo)出的局部凸向量拓?fù)淙跤谟蓴M范數(shù)Ps2，t2(x)=‖T(s2，t2)x‖所導(dǎo)出的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明 因?yàn)閷?duì)?x∈X有:
再根據(jù)引理2.1，定理得證。
［1］Al－Sharif Sh，Khalil R.On the generator of two parameter semigroups［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，156:403－404.
［2］夏道行，楊亞力.線性拓?fù)淇臻g引論［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986.
［責(zé)任編輯 賀小林］
Two Parameter C0-Sem igroups Topological
BIWEI
(Editorial Department of Journal of Yan'an University，Yan'an 716000，China)
By using the concepts of two parameter C0－semigroups，a new locally convex vector topological was introduced，and some propositions of itwere given.
two parameter C0－semigroups;locally convex vector topological;two parameter C0－semigroups topological
O177.31
A
1004－602X(2015)03－0016－02
10.13876/J.cnki.ydnse.2015.03.016
2015 -05 -09
畢 偉(1986—)，男，陜西米脂人，延安大學(xué)助理編輯。
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(延安大學(xué) 學(xué)報(bào)編輯部，陜西 延安 716000)
雙參數(shù)C0－半群拓?fù)?/p>
畢偉
(延安大學(xué) 學(xué)報(bào)編輯部，陜西 延安 716000)
利用雙參數(shù)C0－半群的概念，引入一個(gè)新的局部凸向量拓?fù)洌?duì)其基本性質(zhì)進(jìn)行了研究。
雙參數(shù)C0－半群;局部凸向量拓?fù)?雙參數(shù)C0－半群拓?fù)?/p>
1 預(yù)備知識(shí)
定義1.1［1］設(shè)(X，‖·‖)為Banach空間，B(X)表示X上有界線性算子的全體。若雙參數(shù)算子族{T(s，t)s，t≥0}?B(X)滿足:
(1)T(0，0)=I;
(2)T((s1+s2)，(t1+t2))=T(s1，t1)T(s2，t2)，?s1，s2，t1，t2≥0;
(3)映射(s，t) T(s，t)x強(qiáng)連續(xù)，?s，t≥0，x∈X。
則稱{T(s，t)s，t≥0}為雙參數(shù)強(qiáng)連續(xù)C0－半群，簡稱雙參數(shù)C0－半群。
2 主要結(jié)果
對(duì)?s，t≥0，令Ps，t(x)=‖T(s，t)x‖，x∈X，則利用雙參數(shù)C0－半群的定義，對(duì)?x，y∈X及s，t≥0有
(1)Ps，t(x)≥0;
(2)Ps，t(x+y)≤Ps，t(x)+Ps，t(y);
(3)Ps，t(αx)=αPs，t(x)，α≥0。
事實(shí)上，Ps，t(x)=‖T(s，t，)x‖≥0;
即Ps，t(x)是X上的一擬范數(shù)，從而由擬范數(shù)族S'={Ps，t∶s，t≥0}可以誘導(dǎo)出一局部凸向量拓?fù)洌洖棣印?/p>
定義2.1 由上述擬范數(shù)族S'={Ps，t∶s，t≥0}導(dǎo)出的X上的局部凸向量拓?fù)?，稱為雙參數(shù)C0－半群拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為(X，τ)。
引理2.1［2］設(shè)E是線性空間，A、B是E上的兩族擬范數(shù)，那么由A確定的拓?fù)淙跤谟葿確定的拓?fù)涞某湟獥l件是:對(duì)于每個(gè)q∈A，必存在p1，p2，…，pm∈B以及正數(shù)c1，c2，…，cm，使得對(duì)一切x∈E下式成立:
q(x)≤c1p1(x)+c2p2(x)+…+cmpm(x)。
定理2.1 由范數(shù)所誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)鋸?qiáng)于X上的雙參數(shù)C0－半群拓?fù)洹?/p>
證明 因?yàn)閷?duì)?s，t≥0及x∈X，有:
Ps，t(x)=‖T(s，t)x‖≤‖T(s，t)‖·‖x‖，再根據(jù)引理2.1，得證。
定義2.2 在局部凸線性拓?fù)淇臻gX中，如果對(duì)任意的Cauchy序列{xn}，{T(s，t)xn}(s，t≥0)都收斂，則稱X是雙參數(shù)C0－半群完備的。
定理2.2 局部凸線性拓?fù)淇臻g(X，τ)是雙參數(shù)C0－半群完備的。
證明 設(shè){xn}是(X，τ)中的任意Cauchy序列，那么對(duì)于任意連續(xù)擬范數(shù)q(x)及ε＞0，集合U= {x:q(x)＜ε}構(gòu)成零的一個(gè)鄰域，從而必存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n，m＞N時(shí)，有(xn－xm)∈U，即q(xn－xm)＜ε，特別地，對(duì)?Ps，t(x)∈S'有:
可知{T(s，t)xn}是Banach空間(X，‖·‖)中的Cauchy序列，從而{T(s，t)xn}必按范數(shù)收斂。再由定理2.1可得{T(s，t)xn}也是(X，τ)中的收斂列。得證。
定理2.3 設(shè){T(s，t)s，t≥0}是非退化的雙參數(shù)C0－半群，則{T(s，t)s，t≥0}誘導(dǎo)出的雙參數(shù)C0－半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
證明 因?yàn)閧T(s，t)s，t≥0}是非退化的，即若對(duì)?s，t有T(s，t)x=0，那么必有x=0，所以對(duì)?x≠0可得:
從而對(duì)?x≠y，即x－y≠0，必存在α，β∈［0，+∞)使得Pα，β(x)=3d＞0，令V={x:Pα，β(x)≤1}，則x的鄰域x+dV與y的鄰域y+dV彼此分離，即雙參數(shù)C0－半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
關(guān)于由單個(gè)擬范數(shù)誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)?，給出以下結(jié)果:
定理2.4 設(shè)s1，s2，t1，t2≥0且s1＞s2，t1＞t2，則由擬范數(shù)Ps1，t1(x)=‖T(s1，t1)x‖所導(dǎo)出的局部凸向量拓?fù)淙跤谟蓴M范數(shù)Ps2，t2(x)=‖T(s2，t2)x‖所導(dǎo)出的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明 因?yàn)閷?duì)?x∈X有:
再根據(jù)引理2.1，定理得證。
［1］Al－Sharif Sh，Khalil R.On the generator of two parameter semigroups［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，156:403－404.
［2］夏道行，楊亞力.線性拓?fù)淇臻g引論［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986.
［責(zé)任編輯 賀小林］
Two Parameter C0-Sem igroups Topological
BIWEI
(Editorial Department of Journal of Yan'an University，Yan'an 716000，China)
By using the concepts of two parameter C0－semigroups，a new locally convex vector topological was introduced，and some propositions of itwere given.
two parameter C0－semigroups;locally convex vector topological;two parameter C0－semigroups topological
O177.31
A
1004－602X(2015)03－0016－02
10.13876/J.cnki.ydnse.2015.03.016
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