李亞卓，崔保軍

(1.陜西學前師范學院 學報編輯部，陜西 西安 710061;2.甘肅民族師范學院 數(shù)學系，甘肅 合作 747000)

橢圓曲線y2=x3－21x－90的正整數(shù)點

李亞卓1，崔保軍2

(1.陜西學前師范學院 學報編輯部，陜西 西安 710061;2.甘肅民族師范學院 數(shù)學系，甘肅 合作 747000)

利用四次Diophantine方程的已知結果，運用初等數(shù)論的方法證明了橢圓曲線y2=x3－21x－90僅有正整數(shù)點(x，y)=(6，0)。

橢圓曲線;四次Diophantine方程;正整數(shù)點

設N+是全體正整數(shù)的集合。近年來，對于尋找橢圓曲線的整數(shù)點的問題引起了人們廣泛的興趣，這方面的成果也有著廣泛的應用［1，2］。1987年，Zagier［3］提出了橢圓曲線

的整數(shù)點問題。2009年，祝輝林和陳建華［4］運用代數(shù)數(shù)論的P－adic分析方法證明了橢圓曲線(1)僅有整數(shù)點(x，y)=(2，0)和 (28844402，± 154914585540)。2010年，吳華明［5］運用Pell方程和二元四次Diophantine方程的一些已知結果，給出了上述結論的一個簡潔證明。2014年，管訓貴［6］對運用初等數(shù)論的方法給出了(1)的一種推廣形式的整數(shù)點。本文運用同余等初等方法得到以下結論。

定理 對于奇素數(shù)p，橢圓曲線

僅有正整數(shù)點(x，y)=(6，0)。

1 引理

引理1［7］丟番圖方程y2=Dx4+1在D=348時無正整數(shù)解。

2 定理的證明

設(x，y)是(2)的解，從(2)可得

因為x2+6x+15=(x+3)2+6＞0，所以從(3)可知x≥6。當x=6時，由(3)可知(2)有整數(shù)點(x，y)= (6，0)。故以下僅需考慮x＞6且y≠0時的情況。

設d=gcd(x－6，x2+6x+15)，易知d|87。故有d∈{1，3，29，87}。以下分四種情況進行討論:

當d=1時，從(2)可知

從(4)中第二個等式得(x+3)2+6=b2，知

x+3≡b(mod2)，但此時可得2≡b2－(x+3)2≡0(mod4)。矛盾。

當d=3時，從(2)可知

從(5)可得

當d=29時，從(2)可知

從(7)可得

當2|a時，從(8)可知3a2+1≡b≡1(mod2)，可得1≡b2≡3(3a2+1)2+2a4≡3(mod8)，矛盾。

當d=87時，從(2)可知

從(9)可得

將(11)代入(10)可得

設l=(b+36c2+1，b－36c2－1)。因為從上文可知36c2+1和b都是奇數(shù)，所以2|l。如果l/2＞1，則l/2必有素因數(shù)p。由于l|2b且l|2(36c2+1)，故從(11)可知p是適合p|b，p|36c2+1以及l(fā)|96c4的奇素數(shù)。但由gcd(36c2+1，c4)=1，gcd(36c2+ 1，2)=1及gcd(36c2+1，3)=1可得gcd(36c2+1，96c4)=1，矛盾。由此可知l=2。由于96=25·3，故從(12)可得

以下按(14)給出的4種情況進行討論。

當t=2時，從(13)可知

當t=6時，從(13)可知

當t=16時，從(13)可知

從(17)式可得

由(18)和mod29得3(f2－6g2)2≡1(mod29)，但這與矛盾。

當t=48時，從(13)可知

從(19)中第二個等式可得

由引理1知上式無解。證完。

［1］Silverman JH.The Arithmetic of Elliptic Curves［M］.New York:Springer Verlag，1999.

［2］Zhu H L，Chen JH.A note on two diophantine equation y2=nx(x2+1)［J］.Acta Mathematica Sinica，Chinese Series，2007，50(5):1071－1074.

［3］Zigier D.Large intergral point on elliptic curves［J］.Math. comp.，1987，48(177):425－536.

［4］Zhu H L，Chen JH.Intergral point on y2=x3+27x－62［J］.Math.Study，2009，42(2):425－536.

［5］吳華明.橢圓曲線y2=x3+27x－62的整數(shù)點［J］.數(shù)學學報(中文版)，2010，53(1):205－208.

［6］管訓貴.橢圓曲線y2=x3+(p－4)x－2p的整數(shù)點［J］.數(shù)學進展，2014，43(4):521－526.

［7］Cohn JH E.The diophantine equation y2=Dx4+1(Ⅲ)［J］.Math.Scand，1987，42:180－188.

［責任編輯 畢 偉］

Points on the Elliptic Curve y2=x3－21x－90

LIYa－zhuo1，CUIBao－jun2

(1.Editorial Department of Journal of Shaanxi Xueqian Normal University，Xi'an 710061，China; 2.Department of Mathematics，Gansu Normal University for Nationalites，Hezuo 747000，China)

Using of some known results of quartic Diophantine equation，with elementarymethodswe prove that the elliptic curve y2=x3－21x－90 has only integral points(x，y)=(6，0).

elliptic curve;quartic Diophantine equation;integral point

O156

A

1004－602X(2015)03－0014－02

10.13876/J.cnki.ydnse.2015.03.014

2015 -06 -10

李亞卓(1979—)，女，陜西蒲城人，陜西學前師范學院編輯。