鄭國(guó)正， 陳李勝

(1.上饒師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中心，江西上饒334001；2.北京師范大學(xué) 系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100875)

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共同空間模型及其在EEG分類中的應(yīng)用

鄭國(guó)正1， 陳李勝2

(1.上饒師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中心，江西上饒334001；2.北京師范大學(xué) 系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100875)

通過(guò)與傳統(tǒng)模型的比較，闡述了共同空間模型及其優(yōu)勢(shì)所在，指出其應(yīng)用方向，最后通過(guò)對(duì)EEG(Electroencephalograph，腦電波)的實(shí)際應(yīng)用結(jié)果分析，驗(yàn)證了共同空間模型在處理非周期性隨機(jī)信號(hào)二分類問(wèn)題方面的有效性。

共同空間模型；傅里葉變換；EEG；分類

在統(tǒng)計(jì)模式識(shí)別領(lǐng)域，需要分析處理的對(duì)象通常是一個(gè)多維的信號(hào)數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)著一個(gè)多維的特征空間。然而真正有用的信息往往只是其中的一部分，而且原始數(shù)據(jù)的信息冗余度較大，各維數(shù)據(jù)信號(hào)之間又存在較大的相關(guān)性。因此在特征提取時(shí)，數(shù)據(jù)的壓縮與轉(zhuǎn)化非常重要，有許多方法都是尋求以最小的信息損失來(lái)降低特征空間的維數(shù)。通過(guò)與經(jīng)典的傅里葉展開(kāi)和K-L展開(kāi)相比較，可以看出，共同空間模型在處理二分類問(wèn)題中的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。

1 傳統(tǒng)模型的缺陷

1.1 傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)

因傅里葉的基為正弦函數(shù)序列，有很好的正交性，故得到的傅里葉系數(shù)都具有很好不相關(guān)性。假設(shè)一個(gè)周期的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程x(t)可用傅里葉級(jí)數(shù)表示如下：

由該式表明，當(dāng)n≠m，則傅里葉系數(shù)互不相關(guān)，且x(t)第n個(gè)隨機(jī)傅里葉系數(shù)之方差，與R(τ)第n個(gè)傅里葉系數(shù)兩者相等。若研究對(duì)象為非周期性的隨機(jī)序列，則其相關(guān)函數(shù)即不能以x(t)之傅里葉系數(shù)的方差來(lái)表示。

1.2Karhunen-Loeve展開(kāi)

由上一節(jié)討論可知，對(duì)于一個(gè)非周期性的隨機(jī)過(guò)程，傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)難以勝任，無(wú)法表示，但可采用Karhunen-Loeve展開(kāi)，也就是K-L展開(kāi)來(lái)表示。

設(shè)有一非周期性隨機(jī)過(guò)程x(t)，它在區(qū)間[a,b]中展開(kāi)為

而對(duì)于離散情況下的K-L展開(kāi)，可用最小均方誤差準(zhǔn)則進(jìn)行討論。假設(shè)某一向量集合為{xi},i=1,2,...，其每個(gè)向量皆以確定的完備正交歸一向量系uj,j=1,2,...,進(jìn)行展開(kāi)，如此可得：

若以有限項(xiàng)來(lái)估計(jì)x，即

由此引起的均方誤差為：

令Ψ=E[xxT]，則

用拉格朗日乘子法，令

對(duì)uj,j=d+1,...,求導(dǎo)數(shù)，則 (Ψ-λjI)uj=0,j=d+1,...,

當(dāng)d=0，則有：矩陣為Ψ=E[xxT]，以其本征向量做坐標(biāo)軸對(duì)原序列進(jìn)行展開(kāi)，則其截?cái)嗾`差會(huì)具有極值性質(zhì)，而且若用d個(gè)uj,j=1,2,...,d來(lái)逼近x時(shí)，均方誤差：

因此，當(dāng)以上述矩陣Ψ=E[xxT]中d個(gè)最大本征值所對(duì)應(yīng)之本征向量，對(duì)某一隨機(jī)過(guò)程x進(jìn)行展開(kāi)時(shí)，它的截?cái)嗑秸`差可以獲得一個(gè)最小值，比較對(duì)象是在其它所有正交坐標(biāo)系下用d個(gè)坐標(biāo)對(duì)x進(jìn)行展開(kāi)所得到的均方誤差。

K-L展開(kāi)具有一個(gè)重要性質(zhì)，即其展開(kāi)系數(shù)相互無(wú)關(guān)，且K-L的坐標(biāo)系將Ψ矩陣對(duì)角化。也即是說(shuō)，因?yàn)椴捎昧薑-L展開(kāi)，使原有向量的各分量之間，其相關(guān)性得以消除，由此帶給我們一個(gè)可能，即把其中攜帶信息較少的坐標(biāo)軸去掉，強(qiáng)化有用信息，從而達(dá)到降維的目的。如圖1所示。

2 共同空間模型及其優(yōu)勢(shì)

從上述討論中可以看到，K-L展開(kāi)可以起到對(duì)多維信號(hào)降維的作用，在一般的特征提取中有很多的應(yīng)用，因此很多的模式識(shí)別領(lǐng)域都用到了這種思想。由于K-L變換時(shí)按照特征值的大小排列，也被稱為主成分分析。K-L變換雖然是提取了主要特征，但是在有些情況下K-L變換對(duì)模式識(shí)別中的特征提取并非是最優(yōu)的，會(huì)有特征欺騙現(xiàn)象發(fā)生，導(dǎo)致分類結(jié)果的誤差。如圖2所示。

共同空間模型的終極目標(biāo)即找到對(duì)兩個(gè)類別來(lái)說(shuō)區(qū)分度最高的子空間。共同空間模型尤其適合用于解決二分類問(wèn)題，其原理就是要構(gòu)建一空間濾波器，找到一個(gè)最佳投影，通過(guò)該投影，使其中一類信號(hào)在某一方向上方差最大，與此同時(shí)，另一類信號(hào)在該方向則方差最小，由此使得兩個(gè)類別的差距放大。在數(shù)學(xué)方面，共同空間模型通過(guò)對(duì)兩類信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行同時(shí)對(duì)角化加以實(shí)現(xiàn)[1-2]。

圖1 通過(guò)K-L變換消除原向量各分量之間的相關(guān)性圖2 K-L變換在模式識(shí)別中的誤差

假設(shè)XA和XB(N×T)分別是兩類大腦模式下產(chǎn)生的腦電信號(hào)，共有N個(gè)通道和T個(gè)樣本點(diǎn)。 則兩類信號(hào)的協(xié)方差為：

在此我們假設(shè)E(X)=0, 也就是X是零均值的信號(hào)。其中XT為X的轉(zhuǎn)置矩陣，原信號(hào)XA和XB可以認(rèn)為是由兩個(gè)源組成的信號(hào)，差異部分Ca、Cb和共同部分Cc，因此信號(hào)可以表示為：

其中Ca是由ma個(gè)空間模式(列向量)組成，這些空間模式對(duì)應(yīng)著類別一，同理Cb由mb個(gè)空間模式組成。Cc對(duì)應(yīng)了兩類的共同模式。這些空間模式描述了信號(hào)源到頭皮電極的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。Sa、Sb、Sc代表了類別A、B的各自信號(hào)源和共同信號(hào)源，最后求解的目標(biāo)就是尋找CaSa或是CbSb的最佳估計(jì)。

計(jì)算方法：

步驟一：對(duì)角化RA和RB之和R，得出特征值和特征向量。

步驟二：構(gòu)造白化矩陣P

步驟三：轉(zhuǎn)換RA和RB

Sa=P·RA·PT,Sb=P·RB·PT

步驟四:SA和SB對(duì)角化，

SA=U·ΣA·UT,SB=U·ΣB·UT

SA和SB有共同的特征向量，并且滿足ΣA+ΣB=Ι，因此，假設(shè)特征值∑是按降序排列的，那么較大的特征值對(duì)應(yīng)的模式代表了類別A的主要特征，較小的特征值對(duì)應(yīng)著B(niǎo)的主要特征。根據(jù)這個(gè)原則選擇特定的空間模式構(gòu)造濾波器，就可以在二分類問(wèn)題中提取出兩分類中最大差異的子空間，對(duì)于第一類別方差最大，而對(duì)于另一類別的方差最小，提高模式識(shí)別的效率。

3 共同空間模型應(yīng)用

早在1990年，共同空間模型即被用于對(duì)腦電信號(hào)分析處理，首開(kāi)歷史先河的是Koles和Coworkers，他們將該方法用于對(duì)正常腦電信號(hào)及異常腦電信號(hào)的區(qū)分，從中找出異常因子，進(jìn)而找到產(chǎn)生異常的原因。之后，更多的是被用于腦機(jī)接口(BrainComputerInterfaces，BCI)[2,3]，在此過(guò)程中驗(yàn)證了共同空間模型對(duì)于二分類問(wèn)題是有效的。共同空間模型用于單次運(yùn)動(dòng)想象分類中取得很好的分類效果(HerbertRamoser2000)，于2003年舉辦的第二屆腦機(jī)接口大賽上，榮獲冠軍的代表隊(duì)清華大學(xué)隊(duì)，他們所采用的方法就是以共同空間模型為基礎(chǔ)的CSSP方法，比賽成績(jī)?yōu)槌^(guò)80%的準(zhǔn)確率[2]。在之后的腦機(jī)接口競(jìng)賽中，共同空間模型應(yīng)用于多種運(yùn)動(dòng)想象分類[4]。

對(duì)于腦電信號(hào)的檢測(cè)，往往采用多通道方案，每一通道獨(dú)立接收一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，對(duì)這類信號(hào)的分類，因得益于它的降維能力，共同空間模型的分辨率很高。普通人的腦電信號(hào)差異不是很明顯，有一特殊群體，就是癲癇病患者，他們?cè)谡顟B(tài)與發(fā)病狀態(tài)下腦電信號(hào)有較大差異，其腦電信號(hào)可分為常態(tài)時(shí)的正常腦電波和病態(tài)時(shí)的異常腦電波，該問(wèn)題屬于較為典型的二分類問(wèn)題。采用共同空間模型方法對(duì)之進(jìn)行分析處理，可以很好區(qū)分這兩種腦電信號(hào)，明確判定正常腦電與異常腦電信號(hào)，并且以共同空間模型為基礎(chǔ)構(gòu)建的癲癇預(yù)測(cè)系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)征兆腦電波的尋找，能夠在一定程度上對(duì)患者做出從正常狀態(tài)到發(fā)病狀態(tài)的預(yù)判，也就是對(duì)癲癇病患者作出發(fā)病預(yù)測(cè)[5]。

4 結(jié)語(yǔ)

從上述討論分析可知，對(duì)于一個(gè)非周期性的隨機(jī)序列，無(wú)法以傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)表示。采用K-L展開(kāi)雖然可以，但因?yàn)樗奶卣魈崛〔⒎亲顑?yōu)，存在特征欺騙現(xiàn)象從而導(dǎo)致分類結(jié)果誤差較大。研究對(duì)象諸如腦電信號(hào)，往往是多通道非周期性隨機(jī)信號(hào)，在區(qū)分正常腦電和異常腦電信號(hào)時(shí)，采用共同空間模型方法可以很好達(dá)成目標(biāo)。綜上可知，共同空間模型對(duì)分析處理非周期性隨機(jī)信號(hào)二分類問(wèn)題表現(xiàn)出了明顯優(yōu)勢(shì)。

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[5]鄭國(guó)正,陳李勝,張守文,徐翠萍,韓戰(zhàn)鋼.基于共同空間模型的癲癇腦電檢測(cè)預(yù)測(cè)的優(yōu)劣[J].北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,(4):430-437.

Common Space Modeling in EEG Classification

ZHENG Guo-zheng1, CHEN Li-sheng2

(1.Computer Network Center of Shangrao Normal University, Shangrao Jiangxi 334001, China； 2.School of Systems Science of Beijing Normal University,Beijing 100875, China)

This study compares Common Space Modeling with a few traditional signal analysis approaches such as the Fourier Transformation.The advantage of the Common Space Modeling is put forward by applying it to EEG signal classification.

common space modeling; Fourier transformation; EEG; classification

2015-11-13

鄭國(guó)正(1965-)，男，江西上饒人，副教授，碩士，目前主要從事計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究。E-mail:zgz11@sina.com

R742.1

A

1004-2237(2015)06-0010-04

10.3969/j.issn.1004-2237.2015.06.003