穆傳慧

從小學(xué)階段懵懵懂懂的猜測(cè)與驗(yàn)證到初中階段清清楚楚的推理與證明，其間有一段空白，缺乏銜接、少有實(shí)踐，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上明顯脫節(jié)。在兒童由此岸到彼岸的擺渡中，需要小學(xué)數(shù)學(xué)教師用一雙內(nèi)在的眼睛去尋找一個(gè)隱藏著的中間地帶，這個(gè)中間地帶就像一座橋梁或一條紐帶，連接著小學(xué)初步的驗(yàn)算驗(yàn)證與初中嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，雖不易察覺(jué)、不被重視，但它不可替代、不可或缺——它就是兒童的求證意識(shí)。

求證意識(shí)作為一種舉足輕重、影響深遠(yuǎn)的橋梁與紐帶，不僅聯(lián)結(jié)著驗(yàn)證與證明，更重要的是在兒童的內(nèi)心深處埋藏著一粒理性的種子。隨著兒童年齡的增長(zhǎng)、視野的開(kāi)闊，這粒理性的種子一定會(huì)生根發(fā)芽并枝繁葉茂。

數(shù)學(xué)教學(xué)里的許多知識(shí)，都藏著“求證因子”，由此及彼直至不分彼此地進(jìn)行有“預(yù)謀”的教學(xué)，站在課堂博弈的制高點(diǎn)上，準(zhǔn)確抓住稍縱即逝的教學(xué)時(shí)機(jī)，則兒童的求證意識(shí)一定能夠在預(yù)測(cè)與生成的碰撞中靈動(dòng)展露。

一、 追溯“是這樣嗎”：讓求證意識(shí)在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)里萌芽

1.真的這樣嗎——由生成走向生長(zhǎng)的思維碰撞

【片斷一】筆者教學(xué)《用畫(huà)圖的策略解決問(wèn)題》

（教師指名學(xué)生到黑板上畫(huà)圖，重點(diǎn)指導(dǎo) “長(zhǎng)增加3米”，生逐步完善自己所畫(huà)的圖形。）

師：現(xiàn)在你能列出算式解決問(wèn)題嗎？指名學(xué)生到黑板上板書(shū)：18÷3=6（平方米） 6×8=48（平方米）

生1：老師，18除以3應(yīng)該等于6米，而不是6平方米。

生2：老師，18除以3可以等于6平方米。

師：（看到生2堅(jiān)定的眼神，老師明白了其中的奧秘，便順?biāo)浦鄣兀┱娴倪@樣嗎？

生2：老師，真的是這樣的！18÷3=6（平方米），而不是6米，我求的不是增加長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，我是把增加的長(zhǎng)方形按寬平均分成三個(gè)長(zhǎng)小方形，每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積就是6平方米。原來(lái)的花圃有8個(gè)這樣的小長(zhǎng)方形，面積就是6×8=48（平方米）。

他的回答贏得了全班同學(xué)的掌聲，接下來(lái)全班絕大部分學(xué)生都用他的解法解題，且個(gè)個(gè)思路清晰。筆者很慶幸當(dāng)時(shí)沒(méi)有想當(dāng)然地簡(jiǎn)單處理，一次用心的追問(wèn)，贏得了可遇而不可求的生成的精彩。

2.一定這樣嗎——由膚淺走向深刻的理性思考

【片斷二】華應(yīng)龍教學(xué)《大成若缺認(rèn)識(shí)圓》

師：20世紀(jì)最偉大的科學(xué)家愛(ài)因斯坦說(shuō)———我沒(méi)有什么特別的才能，不過(guò)喜歡尋根刨底地追究問(wèn)題罷了。同學(xué)們，我要告訴你們，科學(xué)家們還喜歡追問(wèn)這個(gè)問(wèn)題：“一定這樣嗎？”（板書(shū)：一定這樣嗎？）

師（回味地）：請(qǐng)看———“寶物距離你左腳3米”，寶物一定在左腳為圓心、半徑是3米的圓上嗎？（沉靜，學(xué)生們陷入緊張的思考，沒(méi)有舉手。教師出示半個(gè)西瓜的圖片，很多學(xué)生恍然大悟，馬上舉起手來(lái)。）

生1：寶物也有可能在地下、西瓜皮上。

生2：也有可能在上面，在樹(shù)枝上。

生3：以左腳為球心，半徑是3米的球上。

……

“一定這樣嗎？”華老師的精心設(shè)計(jì)收到了意想不到的效果，學(xué)生思維的火花被瞬間點(diǎn)燃，學(xué)生的再次尋“寶”，突破了慣性思維的局限，讓他們?cè)诟嘣囊暯窍聦徱暋耙恢型L(zhǎng)”——學(xué)生在尋寶中尋到了真正的“寶”。這樣的設(shè)計(jì)由封閉走向開(kāi)放、由膚淺走向深刻。

3.毫無(wú)道理嗎——由狹隘走向廣闊的數(shù)學(xué)教育

【片斷三】筆者教學(xué)《平行四邊形的面積》

師：同學(xué)們，還記得長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法嗎？

生：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。

師：同學(xué)們不妨猜一猜平行四邊形的面積會(huì)怎么計(jì)算呢？

生1：平行四邊形的面積=底×鄰邊。

生2：不對(duì)，平行四邊形的面積應(yīng)該是底×高。

……

師：生1的想法毫無(wú)道理嗎？

生3：鄰邊大于高，底×鄰邊得到的結(jié)果大于實(shí)際的面積了，應(yīng)該打個(gè)折扣。

師：了不起！你和數(shù)學(xué)大師想到一塊了。這個(gè)折扣有多大呢？和誰(shuí)有關(guān)呢？等到了初中再學(xué)習(xí)相關(guān)的內(nèi)容你們就明白了。

長(zhǎng)方形的面積打了一個(gè)折扣就是平行四邊形的面積，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，是多么了不起的創(chuàng)造?。∵@是學(xué)生對(duì)初中的三角函數(shù)打了一個(gè)美麗的招呼。這樣的教學(xué)，真正地從現(xiàn)實(shí)走向未來(lái)、從狹隘走向廣闊。

二、 追問(wèn)“為什么呢”：讓求證意識(shí)在完整的數(shù)學(xué)里生長(zhǎng)

1.教師追問(wèn)“為什么”：教什么、怎樣教與為什么這么教的辯證思量

聶艷軍老師認(rèn)為，教什么是深遠(yuǎn)謀劃“把學(xué)生帶到哪里去”；怎樣教是精心設(shè)計(jì)“怎樣把學(xué)生帶到那里”。按著這樣的邏輯，為什么這么教自然是深刻思辨“為什么把學(xué)生帶到那里”，這體現(xiàn)了教師宏觀層面的課程理念與教學(xué)理念，體現(xiàn)了教師的整體教學(xué)走向。喜歡追問(wèn)“為什么這么教”的教師必然會(huì)在教學(xué)中喜歡追問(wèn)兒童“為什么”。

【片斷四】張齊華教學(xué)《圓的認(rèn)識(shí)》

師：像這樣的線段在圓內(nèi)可以畫(huà)幾條？

生（異口同聲）：無(wú)數(shù)條。

師：為什么是無(wú)數(shù)條？能簡(jiǎn)單說(shuō)一說(shuō)你的理由嗎？

生1：雖然把圓畫(huà)滿了，但在兩條線段之間還可以再另畫(huà)一條線段。

師：雖然看起來(lái)畫(huà)滿了。但在每?jī)蓷l線段之間還可以插進(jìn)其他的線段，這樣一直畫(huà)下去無(wú)窮無(wú)盡，以至無(wú)數(shù)條。

師：圓上有多少個(gè)點(diǎn)？

生（齊說(shuō)）：無(wú)數(shù)個(gè)。

師：那可以和圓心連接多少條線段呢？

生：無(wú)數(shù)條。

日常教學(xué)中，許多教師在學(xué)生“異口同聲”說(shuō)出“無(wú)數(shù)條”時(shí)，就會(huì)認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)會(huì)了。但真的是這樣嗎？其實(shí)學(xué)生未必清楚其中的意義。張老師并沒(méi)有止步于此，而是進(jìn)行了追問(wèn)——引導(dǎo)學(xué)生從幾何知識(shí)中分析原因，找出問(wèn)題答案——圓的曲線是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，每個(gè)點(diǎn)和圓心相連可以畫(huà)出無(wú)數(shù)條。喜歡追問(wèn)為什么的教師，會(huì)自然而然地?zé)òl(fā)出一種與眾不同的氣質(zhì)，一種理性之美讓學(xué)生心向往之、行模仿之。

2.兒童追問(wèn)“為什么”：好奇心、思辨力與理性精神渾然一體地成長(zhǎng)

兒童天生喜歡刨根問(wèn)底，但隨著年齡的增長(zhǎng)以及教師功利性教學(xué)的影響而漸漸消失殆盡。一個(gè)好的數(shù)學(xué)教師，就應(yīng)該時(shí)時(shí)注意喚醒兒童沉睡的好奇心，時(shí)時(shí)注意培養(yǎng)兒童可貴的思辨力。

【片斷五】筆者教學(xué)《倒數(shù)的認(rèn)識(shí)》

師：0的倒數(shù)是多少？

生：0沒(méi)有倒數(shù)。

師：噢，0沒(méi)有倒數(shù)。誰(shuí)有問(wèn)題要提出呢？

生：老師，0為什么沒(méi)有倒數(shù)？

師：這個(gè)問(wèn)題提得很有意義，誰(shuí)來(lái)解釋一下？

生1：我把“0”看作■，它的倒數(shù)就是“■”呀！“■”就是“1÷0”，這個(gè)算式不存在，因?yàn)?不能作除數(shù)。

生2：根據(jù)倒數(shù)的意義，只要想“0”乘哪個(gè)數(shù)等于1就行，可是0乘任何數(shù)都等于0，不可能得到1。

……

對(duì)于“0沒(méi)有倒數(shù)”這一知識(shí)點(diǎn)，教師沒(méi)有簡(jiǎn)單告訴學(xué)生原因，而是立足發(fā)現(xiàn)追問(wèn)原因，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解了“0沒(méi)有倒數(shù)”并非人為規(guī)定，而是由倒數(shù)的意義以及乘除法原理決定的。數(shù)學(xué)思維的核心是邏輯思維，教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生不能滿足于一時(shí)的發(fā)現(xiàn)，要有追根溯源的意識(shí)，做到“知其然，并知其所以然”。

3.關(guān)注知識(shí)“為什么”：讓兒童徜徉在有頭、有尾、有中段的數(shù)學(xué)里

【片斷六】強(qiáng)震球教學(xué)《角的度量》

師：不過(guò)啊，用小角來(lái)比，比較零散，操作起來(lái)也不方便。唉，我們能不能想個(gè)辦法，既保留小角比得精確的優(yōu)點(diǎn)，又改進(jìn)操作麻煩的缺點(diǎn)，讓這些小角用起來(lái)方便些呢？（引導(dǎo)：只要把這些小角怎么樣？）

生：把小角拼起來(lái)。

師：把小角拼起來(lái)，這個(gè)辦法好不好？（好）真妙！就聽(tīng)大家的意見(jiàn)，我們選擇一些小角來(lái)拼一拼。同學(xué)們看，拼成了一個(gè)什么圖形呀？

生：半圓形。

師：仔細(xì)數(shù)一數(shù)，這個(gè)半圓里有多少個(gè)大小一樣的小角呢？（媒體快數(shù)）

生：18個(gè)。

師：我們用來(lái)拼的小角比較特別，用18個(gè)這樣大小一樣的小角正好拼成了一個(gè)半圓。

《角的度量》歷來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中最容易出現(xiàn)的問(wèn)題，一是量角器的擺放，二是正確讀出角的度數(shù)。針對(duì)這些問(wèn)題，強(qiáng)震球老師摒棄了量角“點(diǎn)重合、邊重合、讀刻度”三大步驟的傳統(tǒng)教法，摒棄了大量的技能訓(xùn)練，而是從“為什么會(huì)產(chǎn)生量角器”這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行思考，展開(kāi)教學(xué)。這樣的教學(xué)，教師不僅引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了量角工具的探索過(guò)程，同時(shí)也經(jīng)歷了“怎樣量角”的思路尋找過(guò)程，學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)與思考探索比教師直接講解來(lái)得更為有效、更為深刻。

三、 追求“學(xué)用合一”：讓求證意識(shí)在鮮活的數(shù)學(xué)里發(fā)育

1.學(xué)以致用：在運(yùn)用中渡過(guò)完整的學(xué)習(xí)生活

【片斷七】筆者教學(xué)《認(rèn)識(shí)整萬(wàn)數(shù)》

師：這是一幢漂亮的別墅，它的房?jī)r(jià)是個(gè)整萬(wàn)數(shù)，在計(jì)數(shù)器上撥珠時(shí)用了3顆珠子，猜一猜它的房?jī)r(jià)是多少萬(wàn)元？

生（各）：三萬(wàn)。三十萬(wàn)。三百萬(wàn)。三千萬(wàn)。

師：還有不同意見(jiàn)嗎？

……

（學(xué)生受已有的計(jì)數(shù)器上撥珠經(jīng)驗(yàn)的影響，認(rèn)為“要把3個(gè)珠子撥在同一個(gè)數(shù)位上”。）

師：這四個(gè)數(shù)都是把3個(gè)珠子撥在了同一個(gè)數(shù)位上。還可以……

生（搶）：還可以把這3個(gè)珠子撥在不同的數(shù)位上。

課堂上，直面學(xué)生真實(shí)的想法，在學(xué)生思維受阻時(shí)，用心解讀學(xué)生思維的“密碼”。在這一教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生不僅找出了符合條件的所有整萬(wàn)數(shù)，同時(shí)在尋找答案的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)有序列舉，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和深刻性。

2.用以哺學(xué)：在運(yùn)用中深化對(duì)知識(shí)的理性認(rèn)識(shí)

【片斷八】筆者教學(xué)《24時(shí)計(jì)時(shí)法》

師：24 時(shí)計(jì)時(shí)法和12 時(shí)計(jì)時(shí)法誰(shuí)更方便？

生1：我認(rèn)為“12 時(shí)計(jì)時(shí)法”更方便。

生2：我覺(jué)得“24時(shí)計(jì)時(shí)法”方便。

生1：平時(shí)說(shuō)得習(xí)慣了?！?4 時(shí)計(jì)時(shí)法”要減去12，很煩的。

生2：如果《新聞聯(lián)播》只說(shuō)八點(diǎn)播放， 你能知道它指早上還是晚上嗎？

生3：“24 時(shí)計(jì)時(shí)法”更方便， 因?yàn)橐豢淳椭肋@個(gè)時(shí)間是指上午、下午還是晚上。

生4：“24 時(shí)計(jì)時(shí)法”和“12 時(shí)計(jì)時(shí)法”各有各的好處。（場(chǎng)內(nèi)一片掌聲）

……

計(jì)時(shí)知識(shí)與生活的密切聯(lián)系，讓學(xué)生在運(yùn)用中加深了對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。學(xué)生信手拈來(lái)的舉例，讓學(xué)生在運(yùn)用中對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行“反哺”，學(xué)生思維的敏捷性得到了進(jìn)一步提升，對(duì)知識(shí)的“消化”自然是水到渠成。

3.學(xué)用合一：在“學(xué)即用、用即學(xué)”中達(dá)成知識(shí)建構(gòu)

【片斷九】華應(yīng)龍教學(xué)《我會(huì)用計(jì)算器嗎？》

（教師貼出“計(jì)算器”圖片并板書(shū)：“我會(huì)用計(jì)算器嗎？”）

師：大家的答案是什么？

生（十分肯定地）：會(huì)！

師（疑問(wèn)的語(yǔ)氣）：會(huì)？真的？那我們來(lái)檢驗(yàn)一下自己。

生（躍躍欲試地）：行?。](méi)問(wèn)題。

……

師：這節(jié)課，我們一遍一遍地問(wèn)自己：“我會(huì)用計(jì)算器嗎？”同學(xué)們的回答總是“會(huì)”，從后往前看，其實(shí)都不能算“會(huì)”；但從前往后看，確實(shí)都是“會(huì)”，不過(guò)會(huì)的水平是越來(lái)越高了，真是應(yīng)了那四個(gè)字——學(xué)無(wú)止境。

華老師不斷地追問(wèn)學(xué)生“我會(huì)用計(jì)算器嗎？”以此來(lái)貫穿全課，堪稱神來(lái)之筆。學(xué)生每次回答的“會(huì)”，其實(shí)只是一種淺層次的會(huì)。華老師在學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程中“進(jìn)”“退”有方，其一詠三嘆式的對(duì)話，螺旋上升般的靠攏，直至步步為營(yíng)的逼近，讓我們感受到“學(xué)即用、用即學(xué)”的特殊魅力。

美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因（M.Kline）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神?！标P(guān)注兒童求證意識(shí)的培養(yǎng)，就是要激發(fā)他們的理性精神。兒童在循序漸進(jìn)的思考、層層遞進(jìn)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，既掌握了學(xué)習(xí)方法，又提升了思維品質(zhì)；既提高了演繹思維能力，又孕育了終生受益的理性精神。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】