何紅生

（集美大學理學院，福建廈門 361021）

拓展映射法求非線性偏微分方程的新解

何紅生

（集美大學理學院，福建廈門 361021）

構(gòu)建了一種拓展的映射法（F展開法）求解某些非線性偏微分方程（PDEs）的精確解.研究表明，該拓展的映射法不僅能夠求得方程的Jacobi橢圓函數(shù)的整數(shù)冪指數(shù)形式解，而且能夠求得非線性方程的分數(shù)冪指數(shù)形式（1＋δf2（ξ））1／2的Jacobi橢圓函數(shù)解.

拓展的F展開法；Jacobi橢圓函數(shù)；耦合Klein-Gordon-Schr?dinger方程

0 引言

非線性方程是解釋大多數(shù)非線性物理現(xiàn)象的重要方法，所以，求解非線性物理方程的精確解是很有意義的研究課題.在過去的幾十年里，研究者們發(fā)展了大量有效的方法來求解非線性方程的精確解，比如：反散射法［1］、Backlund變換［2］、Darboux變換［3］、截斷Painleve展開法［4］、Hirota雙線性法［5］、正弦-余弦法［6］、雙曲正切函數(shù)法［7］、齊次平衡法［8-9］，等等.眾所周知，橢圓函數(shù)（如Jacobi橢圓函數(shù)和Weierstrass橢圓函數(shù)等）與非線性偏微分方程有著密切的關(guān)系［10-12］.而且，研究［13-15］表明，很多非線性方程有橢圓函數(shù)解.近年來逐漸發(fā)展起來的映射展開法［16-17］可以求得Jacobi橢圓函數(shù)解，并且在極限情況下可分別求得方程的孤立波和三角函數(shù)周期解.本文將構(gòu)建一種拓展的映射展開法，并用于求解耦合的Klein-Gordon-Schr?dinger（K-G-S）方程.

1 拓展的映射展開法

考慮一非線性偏微分方程形式如下：

首先假定方程以下形式的行波解：

則方程（1）變?yōu)榉蔷€性常微分方程：

假設(shè)方程（3）有以下形式的解：

其中：a0，ai，bi，δ（δ≠0）為待定的系數(shù)；n為由方程的最高階線性導數(shù)項和最高階非線性項決定的齊次平衡數(shù)；f（ξ）滿足以下形式的Jacobi橢圓方程：

其中：a，b，r是參數(shù)，并且不同的系數(shù)組合，f（ξ）對應(yīng)著不同的Jacobi橢圓函數(shù).

考慮方程（5），把式（4）代入到方程（3），則方程（3）的左邊轉(zhuǎn)化為有關(guān)f（ξ）的多項式.并且令多項式的系數(shù)為零，這樣得到有關(guān)a0，ai，bi，α，ε，κ，λ和δ的方程組.求解這方程組確定系數(shù)，并且選擇不同的參數(shù)（a，b，r），將得到方程（1）的不同形式的橢圓函數(shù)解，其中包括Jacobi橢圓函數(shù)的整數(shù)冪指數(shù)形式解和Jacobi橢圓函數(shù)的分數(shù)冪指數(shù)形式解.此外，考慮橢圓函數(shù)的模數(shù)m→1或者m→0時，橢圓函數(shù)分別退化成雙曲函數(shù)和三角函數(shù)，這樣就可以同時得到有關(guān)方程的孤立波解和三角函數(shù)周期解.

2 拓展的映射法的應(yīng)用

該方程組描述保守的標量核子與中性標量介子內(nèi)相互作用的系統(tǒng).其中：Ψ表示核子復(fù)標量場；Φ表示介質(zhì)標量場；實系數(shù)μ和ρ分別描述介子的質(zhì)量和耦合常數(shù)，拉普拉斯算符表示為?2＝?2／?x2＋?2／?y2＋?2／?z2.

為了簡便起見，只求方程（6）、（7）的行波解，作如下變換：

其中：ξ＝x＋cy＋dz＋et；η＝px＋qy＋Rz＋st.這樣方程（6）、（7）變?yōu)槿缦碌某Ｎ⒎址匠蹋?/p>

耦合的Klein-Gordon-Schr?dinger如下：

其中：β＝1＋c2＋d2；γ＝s＋p2＋q2＋R2；s為待定的常數(shù).

根據(jù)拓展的映射法，作如下假設(shè)：n和I分別由最高階導數(shù)項U″（ξ）和V″（ξ）與非線性項U（ξ）V（ξ）和U2（ξ）平衡確定.容易確定可得n＝I＝2，因此方程（9）的形式解表示為：

3 結(jié)論

本文主要構(gòu)建了拓展的映射展開法，并用于求解耦合K-G-S方程.研究結(jié)果表明，運用該方法不僅可以得到整數(shù)的冪指數(shù)形式的Jacobi橢圓函數(shù)解，同時還可以得到形如（1＋δf2（ξ））1／2的分數(shù)冪指數(shù)形式的Jacobi橢圓函數(shù)解.

［1］GARDNER CS，GREENE JM，KRUSKAl M D，et al.Method for solving the Korteweg-de Vries equation［J］.Phys Rev Lett，1967，19：1095-1097.

［2］WAHLQUIST H D，ESTABROOK F B.B?cklund transformation for solutions of the Korteweg-de Vries equation［J］. Phys Rev lett，1973，31：1386-1390.

［3］MATVEEV V A，SALLEM A.Darboux transformations and solitons［M］.Berlin：Springer-Verlag，1991.

［4］CONTE R，MUSETTE M.Variable separation and derivative dependent functional separable solutions to generalized KdV equations［J］.JPhys Math，1990，23：3923.

［5］HIROTA R，SATSUMA J.Soliton solutions of a coupled Korteweg-de Vries equation［J］.Phys Lett A，1981，85：407-408.

［6］FAN E G，Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations［J］.Phys Lett A，2000，277：212-218.

［7］WANGM L.Solitary wave solutions for variant Boussinesg equations［J］.Phys Lett A，1995，199：169-172.

［8］YANG L，LIU JB，YANG K Q.Exact solutions of nonlinear PDE，nonlinear transformations and reduction of nonlinear PDE to a quadrature［J］.Phys Lett A，2001，278：267-270.

［9］WANGM L，LIX Z.Simplified homogeneous balancemethod and itsapplications to theWhitham-Broer-Kaupmodel equations［J］.Journal of Applied Mathematics and Physics，2014（2）：823-827.

［10］BOWMAN F.Introduction to elliptic functions with applications［M］.London：London University，1959.

［11］PATRICK D V.Elliptic function and elliptic curves［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1973.

［12］CHAMDRASEKHARAN K.Elliptic functions［M］.Berlin：Springer-Verlag，1985.

［13］PORUBOV A V，VELARDE M G.Amplification of nonlinear strain waves in solids［J］.JMath Phys，1999，40：884.

［14］LIUSK FUZT LIUSD.The periodic solutions for adass of coupled nonlinear klein-Gordon eqations［J］.Phys Lett A，2004，323：415-420.

［15］ZHOU Y B，WANGM L，WANG Y M.Periodic wave solutions to a coupled KdV equations with variable coefficients［J］.Phys Lett A，2003，308：31-36.

［16］LIU JB，YANG L，YANG K Q.New Jacobi elliptic function expansion and exact solutions of nonlinear PDE［J］. Chaos Solitons＆Fractals，2004，22：111-121.

［17］YOMBA EMMANUEL.Exact soliton solutions to a new coupled integrable short light-pulse system［J］.Chaos Solitons＆Fractals，2004，21：209-229.

（責任編輯 馬建華 英文審校 黃振坤）

New Solutions for Nonlinear Partial Differential Equations Using the Extended M apping M ethod

HE Hong-sheng
（School of Science，Jimei University，Xiamen 361021，China）

The extended F-expansion（or mapping）method is presented to construct exact solutions to some nonlinear partial differential equations（PDEs）.Itwas shown that not only integer exponential Jacobielliptic function solutions，but also fractional exponential combined Jacobi elliptic function of the form（1＋δf2（ξ））1／2solutionswere obtained.

extended F-expansion method；Jacobi elliptic functions；coupled Klein-Gordon-Schr?dinger equations

O 411.1

A

1007-7405（2015）05-0387-05

2014-09-12

2014-10-28

福建省自然科學基金資助項目（2007J0202）；集美大學科研啟動基金項目（C60705）

何紅生（1977—），男，講師，博士，主要從事理論物理及數(shù)理方程的研究.