陳康 馬志遠(yuǎn) 張明明 竇健泰 胡友友?

1)(江蘇科技大學(xué)理學(xué)院光電信息科學(xué)與工程系,鎮(zhèn)江 212100)

2)(江蘇科技大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用光學(xué)研究中心,鎮(zhèn)江 212100)

本文針對部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸特性開展研究,首先建立了部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸理論模型;然后,仿真研究了部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束在自由空間和ABCD 光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸特性,研究結(jié)果表明部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束在自由空間傳輸時(shí),拓?fù)浜蓴?shù)、冪指數(shù)和相干長度都對光強(qiáng)的分布有著一定的影響,而隨著傳播距離的增大光斑的面積逐漸增大;當(dāng)光束在聚焦系統(tǒng)中傳輸時(shí),只有拓?fù)浜蓴?shù)和冪指數(shù)的變化會(huì)影響光強(qiáng)的分布,而相干長度對光束整體強(qiáng)度的分布沒有太大的影響,只影響了光斑的質(zhì)量.本文研究成果揭示了部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸特性,為其在光學(xué)捕獲等領(lǐng)域的應(yīng)用打下了理論基礎(chǔ),對促進(jìn)新型光場調(diào)控理論及應(yīng)用研究具有重要的意義.

1 引言

渦旋光束通常是指具有螺旋相位波前 exp(il?)的新型結(jié)構(gòu)光束,其單個(gè)光子攜帶有的軌道角動(dòng)量(Orbital angular momentum,OAM),又被 稱為軌道角動(dòng)量光束[1].渦旋光束的中心存在相位奇點(diǎn),因此渦旋光束表現(xiàn)為中心光強(qiáng)為零的環(huán)狀光斑.由于特殊的光強(qiáng)分布以及攜帶的軌道角動(dòng)量特性,渦旋光束可以廣泛應(yīng)用于光學(xué)捕獲、光通信、量子信息、微納加工和表面等離激元激發(fā)等領(lǐng)域[1-6].而冪指數(shù)相位渦旋(Power-exponent-phase vortex,PEPV)光束是一種新型的渦旋光束[7],其相位exp[i2lπ(?/2π)n]是由冪指數(shù)n與拓?fù)浜蓴?shù)l來決定的.當(dāng)冪指數(shù)n=1時(shí),冪指數(shù)相位渦旋光束退化成傳統(tǒng)的 exp(il?)渦旋光束.如圖1 所示,分別為拓?fù)浜蓴?shù)l=4 的渦旋光束和拓?fù)浜蓴?shù)l=4、冪指數(shù)n=2 的冪指數(shù)相位渦旋光束在源平面上的相位及光強(qiáng)分布.可以發(fā)現(xiàn)渦旋光束在源平面上強(qiáng)度呈環(huán)狀分布,而高斯型冪指數(shù)相位渦旋光束在源平面上呈現(xiàn)高斯強(qiáng)度分布.2014年,趙建林等[7]采用空間光調(diào)制器首次產(chǎn)生了具有冪指數(shù)相位渦旋的自聚焦艾里光束.隨后,Zhao 等[8]采用空間光調(diào)制器獲得了高斯型冪指數(shù)相位渦旋光束,并研究其傳輸和聚焦特性.研究結(jié)果表明,冪指數(shù)相位渦旋光束特殊的相位分布導(dǎo)致其光場強(qiáng)度呈“C”形分布,且在傳輸過程中光束能量沿著環(huán)形旋轉(zhuǎn)聚集,可以用于粒子捕獲與釋放[8],驅(qū)動(dòng)微粒自動(dòng)沿彎曲路徑移動(dòng)并避開障礙物[9].

圖1 (a),(c)拓?fù)浜蓴?shù)l=4 的渦旋光束和(b),(d)拓?fù)浜蓴?shù)l =4 及冪指數(shù)n =2 的冪指數(shù)相位渦旋光束在源平面上的相位和強(qiáng)度分布Fig.1.Phase and intensity distributions of (a),(c)vortex beam (l=4)and (b),(d)power-exponent-phase vortex beam (l =4,n =2)on the source plane.

此外,除了光強(qiáng)、相位、頻率等常規(guī)參量外,相干性也是光束一個(gè)重要的參量.與傳統(tǒng)的相干光束相比,部分相干光束[10,11]展現(xiàn)出了一些新穎的物理特性—降低光束散斑效應(yīng)、減小經(jīng)過隨機(jī)介質(zhì)的光束閃爍、漂移和自修復(fù)等,在“鬼”成像[12]、相干衍射成像[13]、粒子捕獲[14]等方面都具有廣泛的應(yīng)用前景.而部分相干光場的傳輸和聚焦特性是部分相干光場應(yīng)用的基礎(chǔ).近年來,關(guān)于部分相干光束的研究已有很多,包括對其的產(chǎn)生[15,16]、在自由空間和湍流介質(zhì)中傳輸特性、強(qiáng)聚焦特性的研究[17-20].例如,2019年,Xu 等[20]研究了徑向偏振多高斯-謝爾模渦旋光束的聚焦特性,通過改變光場的階數(shù)、相干寬度、拓?fù)浜蓴?shù),可以得到環(huán)狀、平頂和非對稱的聚焦光斑.但是,目前關(guān)于部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束傳輸特性的研究還未見報(bào)道.

本文擬在深入研究部分相干光場及其光場衍射積分理論的基礎(chǔ)上,開展部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸特性研究,建立部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸理論模型,并基于MATLAB 等數(shù)值計(jì)算軟件編寫高效的數(shù)值計(jì)算程序,仿真研究部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束在自由空間和ABCD光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸特性,分析部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸特性與冪指數(shù)n、拓?fù)浜蓴?shù)l、相干長度δ和傳輸距離z的關(guān)系.本文研究成果揭示了部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸特性,為其在光學(xué)捕獲等領(lǐng)域的應(yīng)用打下了理論基礎(chǔ),對促進(jìn)新型光場調(diào)控理論及應(yīng)用研究具有重要的意義.

2 部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的理論模型及其傍軸傳輸理論

假設(shè)冪指數(shù)相位渦旋(PEPV)光束在源平面的電場形式為[8]

其中(r,?)表示極坐標(biāo),A0和w分別為入射光束的振幅和束腰寬度,n表示冪指數(shù)參量,l表示拓?fù)浜蓴?shù),為方便起見令A(yù)0=1.

眾所周知,標(biāo)量部分相干光束可以用空間頻率域的交叉譜密度(Cross spectral density,CSD)或空間時(shí)間域的相互強(qiáng)度來表征.場在源平面上的部分相干光束的CSD 被定義為兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)[21-22]:

其中r1和r2為橫向截面上的任意兩個(gè)坐標(biāo)矢量,表示系綜平均;“*”表示復(fù)共軛運(yùn)算.式中r1和r2間的光場復(fù)空間相干度可以用歸一化的交叉譜密度函數(shù)來表示,即[23]:

其中μ(r1,r2,ω)為光譜相干度,描述了角頻率為ω的光波場在兩空間點(diǎn)r1和r2處的相干性,取值范圍為0 ≤|μ(r1,r2,ω)|≤1.當(dāng)|μ(r1,r2,ω)|=1時(shí),表示完全相干;當(dāng) |μ(r1,r2,ω)|=0表示完全不相干.S(r,ω)為光譜密度,描述了角頻率為ω的光波場在空間位置r處的強(qiáng)度,可令(2)式中r1=r2=r得到.

光學(xué)相干理論中經(jīng)常遇到的一種光束類型是高斯-謝爾模型光束.謝爾模型源定義為其光譜相干度μ(r1,r2,ω)僅僅取決于觀測點(diǎn)r1和r2之間的位置差,因此,它們的光譜相干度可以表示為g(r2-r1,ω).因此,謝爾模型源的交叉譜密度函數(shù)可以表示為[24,25]

當(dāng)謝爾模型源的光譜密度和光譜相干度都為高斯分布時(shí),即:

當(dāng)δ→ ∞時(shí),光譜相干度接近統(tǒng)一,光源完全相干.因此部分相干高斯-謝爾光束在光源平面處的交叉譜密度函數(shù)可以化簡為

當(dāng)入射的光束為冪指數(shù)相位渦旋光束時(shí),可以得到高斯-謝爾模型的部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束在源平面的CSD 函數(shù):

經(jīng)典光學(xué)研究光束傳輸?shù)睦碚摶A(chǔ)是惠更斯-菲涅爾原理,菲涅爾衍射積分公式常用于研究光束在自由空間的傍軸傳輸問題.在傍軸近似有效的條件下,部分相干光束在自由空間中通過ABCD 光學(xué)系統(tǒng)的傍軸傳輸可以用下述廣義Collins 公式進(jìn)行研究[26-27],其公式如下:

其中W(ρ1,ρ2,θ1,θ2)為接收面的交叉頻譜密度,k為波數(shù),A,B,C和D是傍軸光學(xué)系統(tǒng)傳輸矩陣的元素.

將 (8)式代入 (9)式中可得部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束通過傍軸ABCD 光學(xué)系統(tǒng)的解析傳輸公式:

可以用(11)式進(jìn)行計(jì)算[20]:

其中 Jh(·)表示第一類h階貝塞爾函數(shù).將 (11)式代入 (10)式,整理可得:

根據(jù)積分公式[28]:

其中 Ih(·)表示第一類h階修正貝塞爾函數(shù).

代入 (12)式后,可以進(jìn)一步得到交叉譜密度函數(shù)為

因此可以得到部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束在傳輸過程中,傳輸橫截面上的光強(qiáng)分布的理論表達(dá)式為

然后,基于MATLAB 數(shù)值計(jì)算軟件編寫部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束傳輸?shù)臄?shù)值計(jì)算程序,并采用GPU 加速算法在保證計(jì)算精度的同時(shí),顯著的提高了程序的計(jì)算效率.

3 部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸特性研究

3.1 自由空間傳輸特性

首先采用數(shù)值方法研究了部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束在自由空間的傳輸特性,在下面的數(shù)值計(jì)算中,光束的波長λ=632.5 nm,束腰半徑w=1 mm,源平面和接收平面之間的距離為z.那么源平面和接收器平面之間的ABCD矩陣可以表示為

將傳輸矩陣(17)代入(16)式中,可以得到光束傳輸z距離后的光強(qiáng)分布.

本小節(jié)主要研究在自由空間中部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的冪指數(shù)n、拓?fù)浜蓴?shù)l、相干長度δ和傳輸距離z對光強(qiáng)分布的影響,數(shù)值計(jì)算的光強(qiáng)分布如圖2 和圖3 所示.在圖2 中,光束的相干長度和傳輸距離保持不變,分別為δ=0.5 mm,z=1.5 m,研究了部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束強(qiáng)度分布與冪指數(shù)n、拓?fù)浜蓴?shù)l之間的變化關(guān)系.當(dāng)冪指數(shù)n相同而拓?fù)浜蓴?shù)l不同時(shí),可以發(fā)現(xiàn)隨著拓?fù)浜蓴?shù)l的增大,光束的暗核不斷變大,光強(qiáng)分布也逐漸變大,并且光束的拖尾沿順時(shí)針的方向逐漸向上收縮,光束的能量慢慢向強(qiáng)度點(diǎn)集中.當(dāng)拓?fù)浜蓴?shù)l相同而冪指數(shù)n不同時(shí),可以發(fā)現(xiàn)隨著冪指數(shù)n的增大,部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的光強(qiáng)分布有著明顯的變化,光束的中心暗斑逐漸減小,同時(shí)光束的能量也逐漸聚集在強(qiáng)度點(diǎn)上.因此,可以發(fā)現(xiàn)隨著冪指數(shù)n和拓?fù)浜蓴?shù)l不斷增大,部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的光強(qiáng)分布逐漸向強(qiáng)度點(diǎn)集中.

圖2 部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸特性與拓?fù)浜蓴?shù)l 和冪指數(shù)n 的關(guān)系Fig.2.Relationship between propagation properties of partially coherent power-exponent-phase vortex beams with the topological charge l and power order n.

圖3 中展示的是當(dāng)部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的拓?fù)浜蓴?shù)l=2 和冪指數(shù)n=2 時(shí),不同相干長度δ的部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束傳輸不同距離z時(shí)的光強(qiáng)分布.當(dāng)相干長度δ相同時(shí),可以發(fā)現(xiàn)隨著傳播距離z的增大,光斑面積變得越來越大.且相干長度δ為0.5 mm 和5 mm 時(shí),隨著傳輸距離z的增大,光束的能量逐漸集中在強(qiáng)度點(diǎn)上.同時(shí),從圖中可以明顯看出,當(dāng)相干長度δ的值為0.005 mm 和0.05 mm 時(shí),其光強(qiáng)分布與0.5 mm和5 mm 時(shí)有著明顯的區(qū)別:相干長度較低時(shí),光束的形狀類似于“耳朵”的形狀,其開口方向在左上方,其周圍有虛影的存在,光束質(zhì)量較差;當(dāng)相干長度較大時(shí),光束的形狀看起來像字母“C”,其開口的方向在右下方,光束質(zhì)量相對來說較好,但時(shí)同時(shí)可以明顯看到被光強(qiáng)包圍的區(qū)域都有兩個(gè)暗核的存在,暗核數(shù)目與拓?fù)浜蓴?shù)l相同.

圖3 部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束傳輸特性與相干長度δ 和傳輸距離z 的關(guān)系Fig.3.Relationship between propagation properties of partially coherent power-exponent-phase vortex beams with the coherence length δ and propagation distance z.

3.2 復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)傳輸特性

本小節(jié)主要研究部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束經(jīng)過一個(gè)焦距為f的薄透鏡聚焦后的光強(qiáng)分布,聚焦示意圖如圖4 所示,此時(shí)傳輸矩陣可以表示為

圖4 聚焦系統(tǒng)示意圖Fig.4.Schematic diagram of focusing system.

從冪指數(shù)n、拓?fù)浜蓴?shù)l、相干長度δ三個(gè)方面對部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束在焦距f=150 mm的薄透鏡下的聚焦特性進(jìn)行研究,數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖5 和圖6 所示.在圖5 中,研究了在相干長度δ=0.5 mm 時(shí),部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的聚焦特性與冪指數(shù)n、拓?fù)浜蓴?shù)l的關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)冪指數(shù)n一定時(shí),隨著拓?fù)浜蓴?shù)l的增大,聚焦光斑面積也越來越大,且在冪指數(shù)n=2 時(shí),可以明顯觀察到光束中間存在與拓?fù)浜蓴?shù)l相同數(shù)量的暗核,但隨著冪指數(shù)n越來越大(拓?fù)浜蓴?shù)l一定時(shí)),暗核的存在越來越不明顯,數(shù)量逐漸減少,同時(shí)光束的能量向強(qiáng)度點(diǎn)集中,逐漸形成一個(gè)聚焦點(diǎn),并且聚焦點(diǎn)的形狀類似于高斯光束形狀.

圖5 相干長度δ =0.5 mm 時(shí),部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束聚焦特性與冪指數(shù)n、拓?fù)浜蓴?shù)l 的關(guān)系Fig.5.Relationship between focusing properties of partially coherent power-exponent-phase vortex beams and power order n and topological charge l with coherent length δ =0.5 mm.

圖6 為部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的聚焦特性與相干長度δ的關(guān)系,從圖6 可以發(fā)現(xiàn),隨著相干長度的增大,聚焦光斑基本保持不變,只是相干長度較低時(shí),聚焦光斑的周圍存在虛影,光束質(zhì)量較差,隨著相干長度的增大,聚焦光斑的質(zhì)量變得越來越好;同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)冪指數(shù)n、拓?fù)浜蓴?shù)l的值越大,能量更集中于強(qiáng)度點(diǎn),聚焦的效果也越好.

圖6 部分相干冪指數(shù)相位渦旋的聚焦特性與相干長度δ 的關(guān)系Fig.6.Relationship between focusing properties of partially coherent power-exponent-phase vortex beams and coherent length δ.

4 結(jié)論

本文在深入研究部分相干光場及其光場衍射積分理論的基礎(chǔ)上,開展部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸特性研究,首先建立了部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸理論模型,并基于MATLAB等數(shù)值計(jì)算軟件編寫高效的數(shù)值計(jì)算程序,仿真研究部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束在自由空間和ABCD 光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸特性,并分析拓?fù)潆姾?、冪指?shù)、相干長度以及傳播距離對光強(qiáng)分布的影響.研究結(jié)果表明,當(dāng)部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束在自由空間和聚焦系統(tǒng)中傳輸時(shí),拓?fù)浜蓴?shù)l都決定了光束傳播截面的大小,及其所擁有暗核的數(shù)量,并且隨著n的增大,暗核逐漸消失;同時(shí)隨著l和n值越大時(shí),能量更集中于強(qiáng)度點(diǎn),聚焦的效果也越好.而在當(dāng)光束在自由空間傳輸時(shí),相干長度δ對光束影響較大,不僅影響光束質(zhì)量,還對其光強(qiáng)分布有很大所影響,同時(shí)隨著傳播距離的增大,光斑面積也逐漸增大;當(dāng)光束在聚焦系統(tǒng)中傳播時(shí),相干長度僅對光束質(zhì)量有所影響,對光強(qiáng)分布沒有太大的影響.本文對部分相干冪指數(shù)相位渦旋光束的傳輸特性的研究,為其在光學(xué)捕獲等領(lǐng)域的應(yīng)用打下理論基礎(chǔ).