賀水英

導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，最近五年都作為壓軸題來考查，具有很高的區(qū)分度，所以難度很高。但不管題型如何變化，情境模型如何設(shè)置，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用都可以歸納為考查：導(dǎo)數(shù)的幾何意義;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值這三個(gè)方面。下面就2014年全國(guó)卷（Ⅱ）文科21題的多種解法來淺談導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用。

2014年全國(guó)卷（Ⅱ）文科數(shù)學(xué)：

21題：已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為

（Ⅰ）求

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)。

解法一：（Ⅰ）

曲線在點(diǎn)處的切線方程為

由題設(shè)得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

設(shè)

由題設(shè)知 ? ? ?當(dāng)時(shí)

在上單調(diào)遞增，而，

在上有唯一實(shí)根

當(dāng)時(shí)，令，則

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

在上沒有實(shí)根

綜上可知，在上有唯一實(shí)根。

即曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)。

解法二：（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

設(shè)

（1） 當(dāng)，即時(shí)，恒成立

在上單調(diào)遞增，而

圖象在上與軸有唯一交點(diǎn)。

（2） 已知，當(dāng)，即時(shí)

令

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增。

在上與軸有唯一交點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)， ?;

在上與軸無(wú)交點(diǎn)。

綜上在上與軸有唯一交點(diǎn)。

即曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)。

解法三：（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）設(shè)

（1） 當(dāng)時(shí)，恒成立。即在與軸無(wú)交點(diǎn)。

（2） 當(dāng)時(shí)，

恒成立 ?在上單調(diào)遞增。

而

在上有唯一實(shí)根

綜上可知，在上有唯一實(shí)根。

即時(shí)，曲線與直線有唯一交點(diǎn)。

本題的第Ⅰ問考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，難度較小。

第Ⅱ問考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定區(qū)間的最值。

方法一：構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后，根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)時(shí)，恒成立。因而結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求出兩個(gè)函數(shù)值得出函數(shù)圖像在上與軸有唯一交點(diǎn);當(dāng)考慮時(shí)，把分為和是否有交點(diǎn)的問題。因在時(shí)，恒成立。因而只需利用導(dǎo)數(shù)求出即可。

方法二：構(gòu)造函數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導(dǎo)數(shù)在解決該類問題的常用方法，當(dāng)時(shí)，因恒成立，因而只需找出一正一負(fù)兩函數(shù)值即可。觀察的表達(dá)式，易得 ，當(dāng)考慮時(shí)，易得的圖象呈現(xiàn)形的走勢(shì)，因有第一種情況的討論，從而把定義域劃分為與兩個(gè)區(qū)間，從而只需證明，即可。

方法三：解法三是解法一與解法二的結(jié)合。難度在于如何想到將進(jìn)行因式分解。當(dāng)把進(jìn)行部分因式分解后，部分可以明顯看出恒成立，所以問題就變成了，時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)的問題，即用單調(diào)性結(jié)論函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理即可證明。

不管何種方法和技巧來解決此題，問題的關(guān)鍵還是利用導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值來證明恒成立問題。