劉綠芹

近年來，隨著高考競爭壓力的增大，很多學(xué)校都非常重視數(shù)學(xué)訓(xùn)練，通過大量的作業(yè)練習來訓(xùn)練學(xué)生，但教師對學(xué)生作業(yè)的批改卻成為被忽略的環(huán)節(jié)。當前作業(yè)批改的主要方式是給學(xué)生打分數(shù)，對學(xué)生解答過程的深層次分析和研究很少。因此，我們需要在作業(yè)批改中引入一種新方法，不僅要對學(xué)生作業(yè)進行量化評價，更重要的是進行質(zhì)性評價，并對學(xué)生的思維層次進行劃分，同時展開相應(yīng)的分析和研究，為學(xué)生訂正作業(yè)、教師針對性地評講作業(yè)打下基礎(chǔ)。

一、什么是SOLO分類理論

SOLO分類理論是一種學(xué)生學(xué)業(yè)評價方法?！癝OLO”是英文“Structure of the Observed Learning Outcome”的縮寫，其意為可觀察的學(xué)習結(jié)果的結(jié)構(gòu)[1]，該理論是一種以等級描述為特征的質(zhì)性評價方法。香港大學(xué)教育心理學(xué)教授Biggs，J.B在1982年與Collis，K.F合作出版的《Evaluating the Quality of learning——the SOLO taxonomy》一書中及他在1986年的《The SOLO taxonomy》一文對該理論做了詳細的應(yīng)用介紹[1]。從國內(nèi)外的研究發(fā)現(xiàn)，SOLO分類理論可以應(yīng)用到多種學(xué)科領(lǐng)域中，包括數(shù)學(xué)、語文、英語、歷史、生物、化學(xué)、地理等，這是SOLO分類理論的優(yōu)勢所在。

二、SOLO分類理論在高中數(shù)學(xué)作業(yè)批改中的應(yīng)用舉例

根據(jù)SOLO分類理論，我們將學(xué)生作業(yè)劃分為五個認知水平：前結(jié)構(gòu)水平（P）、單一結(jié)構(gòu)水平（U）、多元結(jié)構(gòu)水平（M）、關(guān)聯(lián)水平（R）、擴展抽象水平（E）。因此，在作業(yè)批改時，我們可以在學(xué)生作業(yè)的每一道試題上，打上“P、U、M、R、E”這樣的字母符號，對學(xué)生的每一道作業(yè)做出思維層次水平評價。

【例】已知一個“三角形數(shù)陣”，記第i行第j列的數(shù)為aij（i≥j；i，j∈N*）

（1）求a86；

（2）寫出aij關(guān)于i，j的表達式；

（3）記第n行的各數(shù)和為An，求數(shù)列{An}的前m項和Sm的表達式

■

■，■

■，■，■

1，■，■，■

■，■，■，■，■

■，■，■，■，■，■

1.試題分析

上題是筆者在教學(xué)實踐過程中布置給學(xué)生的一道作業(yè)，該題把“三角數(shù)陣”當作問題情境和背景，需要學(xué)生從中尋找有效信息和規(guī)律，并將其抽象建模為數(shù)學(xué)問題。從題設(shè)中“第i行第j列的數(shù)為aij”可以看出，需要學(xué)生對n與an的關(guān)系有深刻的認識，否則無法理解aij。從題中給出的三小問可以看出，題目是在步步引導(dǎo)學(xué)生，從求a86這一特殊值，到“寫出aij關(guān)于i，j的表達式”這樣的通式，再到第（3）問的Sm，層層遞進，難度也逐步加大。如何從數(shù)陣中捕捉出重要信息是解決本題的關(guān)鍵，我們從每一行給出的數(shù)可以知道，從第3行起，每一行都是一個等比數(shù)列，并且公比都為■，因此，想要求出數(shù)陣中的數(shù)，只需要再觀察每一行的第一個數(shù)組成的數(shù)列即可，即{ail}具有什么性質(zhì)，當我們將這些數(shù)放在一起觀察時，我們就會發(fā)現(xiàn)，每一行第一個數(shù)組成的數(shù)列是{■，■，■，■，■…}，即{ai1}是首項為■，公差為■的等差數(shù)列。因此，觀察出“等比數(shù)列”和“等差數(shù)列”是解決本題的關(guān)鍵，這需要學(xué)生具有對數(shù)列的敏銳觀察能力和數(shù)據(jù)的抽象能力，同時還需要對等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念有比較深刻的認識。接下來，需要學(xué)生對抽象出來的數(shù)學(xué)知識進行加工和分析，解決相應(yīng)的問題。

第（1）問中，學(xué)生首先需要利用{ai1}是等差數(shù)列求出a81，并將其當作等比數(shù)列的第一項，求出第6項，即a86。該問只要學(xué)生抽象出數(shù)表中的核心即可解決。對于第（2）問，學(xué)生可以在第（1）問的基礎(chǔ)上，同樣是先利用等差數(shù)列求出ai1=■+（i-1）■=■，并將其當做第i行數(shù)列的首項，接著利用等比數(shù)列的通項公式求出aij。第（1）問是第（2）問的臺階，學(xué)生只要將第（1）問理解深刻，第（2）問就水到渠成。

對于第（3）問，則需要學(xué)生對“求和”有深刻的認識，An是求和，Sm也是求和，但An加上“{}”后則意義發(fā)生一定的改變，變成所謂的“通項公式”了。因此，求出“通項公式An”尤為重要，因為每一行都是等比數(shù)列，An的本質(zhì)又是等比數(shù)列的求和，即An=■，又an1=■，故An=■-■·■，則Sm=A1+A2+…Am。我們通過觀察，An由兩部分組成，一部分是“■”，另一部分是“■·■”，那么在求Sm時，我們可以將其拆分為兩部分，即Sm=■（1+2+…+m）-■（■+■+■+…■），不難看出，第一個括號內(nèi)是等差數(shù)列求和，比較容易解決。而第二個括號內(nèi)比較復(fù)雜，我們令Tm=■+■+■…+■■，此時我們發(fā)現(xiàn)，分子可以組成一列等差數(shù)列，分母則可以組成等比數(shù)列，由此我們使用“錯位相減法”求和，即在Tm=■+■+■+…+■兩邊分別乘以■得■Tm=■+■+…+■+■，再用Tm-■Tm得■Tm=■+■+■+…+■-■=1-■，最后將其帶入Sm即可得出最后結(jié)果Sm=■+■-1。從第（3）問的解題思路來看，即有等差數(shù)列的求和，又有等比數(shù)列的求和，而且運用到“等差乘等比型數(shù)列（設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}可稱為等差乘等比型數(shù)列）”的求和方法“錯位相減法”，解題所用知識幾乎覆蓋到數(shù)列的每一個知識點，思維方法也要求較高，這對學(xué)生來說，是個不小的挑戰(zhàn)。

2.學(xué)生作業(yè)分析

（1）前結(jié)構(gòu)水平

下面是某位學(xué)生的解答過程，從解答來看，他判斷出了i=8，j=6但a86究竟是什么含義，未能看懂，只是將8與6相加得a86。因此，類似于下面的答案被劃分為前結(jié)構(gòu)水平（P）。

解：i=8，j=6，則a86=14

（2）單一結(jié)構(gòu)水平

從下面學(xué)生的解答過程來看，該生能夠判斷出aij的含義，并且觀察出一些數(shù)成等差數(shù)列，一些數(shù)成等比數(shù)列，也求出d=■，q=■。但學(xué)生卻就此收斂，未能進一步研究下去，只解決了簡單的單一問題。因此，下面的答案可以劃分為單一結(jié)構(gòu)水平（U）。

解：各行第一個數(shù)組成等差數(shù)列，a11=■，a21=■故d=■，各行數(shù)組成等比數(shù)列，a31=■，a32=■，故q=■

（3）多元結(jié)構(gòu)水平

該題第（1）問中，要求第8行第6列的數(shù)是多少，在學(xué)生答案中，有很多學(xué)生是通過續(xù)寫出第7行、第8行，然后觀察a86是多少。這不失為一個好辦法，但這樣的辦法對解決第（2）問、第（3）問卻沒有大的幫助。我們需要從中找出規(guī)律，再利用數(shù)列的知識計算出相應(yīng)的項。下面是某同學(xué)的解答過程，他首先判斷出ai1為等差數(shù)列，故能求出a81，又發(fā)現(xiàn)從第三行起，每一行又成等比數(shù)列，故求出了q=■，從而a86得解。從過程來看，該生具有一定的觀察能力，能夠從數(shù)陣中找出等差數(shù)列、等比數(shù)列，并且同時利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識求解出a86。故下列答案被劃分為多元結(jié)構(gòu)水平（M）。

解：數(shù)列{ai1}為等差數(shù)列

a11=■，a21=■，d=a21-a11=■，a81=■+7×■=2

又從第三行起分別成等比數(shù)列，公比都相等

q=■=■，∴a86=2×（■）5=■

（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平

該題中的等差數(shù)列與等比數(shù)列在三角形數(shù)陣中看似一個橫向、一個斜向，但如何將等差數(shù)列與等比數(shù)列相關(guān)聯(lián)是本題的難點。而題目中的第一小問求a86，則相當于臺階，幫助學(xué)生理解問題。一旦學(xué)生理解了ai1為等比數(shù)列的首項功能后，求解aij則不再是難點。從下面學(xué)生的解答來看，該生顯然理解了問題的本質(zhì)，首先利用等差數(shù)列求出了ai1，再以ai1為首項，■為公比，求出了aij。在解題過程中，該生很好地把等差數(shù)列、等比數(shù)列相融合，并成功解決了問題。因此，下面的答案我們劃分為關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平（R）。

解：（1）由數(shù)陣知，數(shù)列{ai1}為等差數(shù)列

∵a11=■，a21=■，∴公差d=a21-a11=■

∴a81=■+7×■=2，

又∵第三行起各行分別成等比數(shù)列，公比都相等

∴公比q=■=■，∴a86=2×（■）5=■

（2）由（1）知，ai1=■+（i-1）■=■，

∴aij=ai1·（■）j-1=■·（■）j-1=i·（■）j+1

（5）擴展抽象水平

對于第（3）問，該題要求較高，Am其實是第n行各數(shù)的和，但加上{}后，則變?yōu)樾聰?shù)列，題目中的Sm卻是{Am}的前m項和。從下面學(xué)生的解答來看，該生先求出An，提取■后，構(gòu)成等比數(shù)列求和，并且最后化簡為■+■·■備用。接著把Sm表示成（■+■+…+■）-■（1×■+2×■+…+m×■），從中我們可以發(fā)現(xiàn)，前一個括號提取后，構(gòu)成等差數(shù)列求和，而后一個括號內(nèi)卻“既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列”，于是該生采用的方法是將該括號內(nèi)的內(nèi)容提取出來，記為Tm，然后利用兩邊同時乘以所謂公比■，再與原式相減得出■Tm，進而求出最終的Sm。從該生的整個解題過程來了，首先在求解An時，通過提取■的方法，擴展出一個等比數(shù)列求和，在求解Sm時，該生又將Am裂項，擴展為兩部分，其中前一部分為等差數(shù)列，后一部分為“等差乘等比型數(shù)列”。對于后一部分，該生將等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程抽象至此，從而致使問題得到解決。因此，下面的解答過程，可以將其劃分為擴展抽象水平（E）。

解：（1）a81=■+7×■=2，a86=2×（■）5=■

（2）aij=[■+（i-1）×■]×（■）j-1=■·（■）j-1

（3）An=■[1+（■）1+（■）2+…+（■）n-1]

=■·■=■·[1-（■）n]

=■-■·■

則Sm=A1+A2+…+Am =（■+■+…+■）

-■（1×■+2×■…+m×■）

=■

-■（1×■+2×■…+m×■）

記Tm=1×■+2×■…+m×■） ①

則■Tm=1×■+2×■+…+m×■②

②-①得■Tm=■+■+■+…+■+■

=■-m×■

=1-（■）m-■

故Sm=■-■Tm=■[1-（■）m-■]

=■+■-1

通過上述的實踐應(yīng)用發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)作業(yè)批改中，我們只需在傳統(tǒng)的打分模式上，對學(xué)生的每一道作業(yè)試題再深入分析研究，并對照SOLO分類理論的五個層次水平（P、U、M、R、E），給學(xué)生打出相應(yīng)的等級水平。當學(xué)生看到自己的等級水平時，就會思考怎樣達成更高等級水平，由此激發(fā)學(xué)生深入學(xué)習的欲望，促進學(xué)生認知水平的不斷提高。教師也可以通過班級的整體認知水平，決定作業(yè)講評的側(cè)重點，從而提高課堂教學(xué)的有效性、針對性。

參考文獻

[1] Biggs，J.B， Collis，K.F.Evaluating the Quality of Learning： The SOLO Taxonomy [M]. New York： Academic Press，1982.

【責任編輯 郭振玲】