譚高山

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

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工科研究生數(shù)值分析課程教學(xué)的認(rèn)識與改革

譚高山

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

在工科研究生數(shù)值分析課程教學(xué)中針對教學(xué)時數(shù)少、教學(xué)實(shí)驗(yàn)缺乏等問題，整合教學(xué)內(nèi)容、采用啟發(fā)式教學(xué)、開展直觀教學(xué)、加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)、改革考核方式等對提高教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)學(xué)生科研和創(chuàng)新能力具有重要作用。

數(shù)值分析；工科研究生；教學(xué)改革

當(dāng)今科學(xué)活動有三大手段：理論研究、科學(xué)試驗(yàn)和科學(xué)計(jì)算。面對比較復(fù)雜的具體問題時，理論分析往往無從下手，科學(xué)試驗(yàn)又具有很大的局限性，因而科學(xué)計(jì)算被推到了人類科學(xué)研究的前沿，大大拓展了人類科學(xué)活動范圍，豐富了科學(xué)研究的內(nèi)涵,數(shù)值分析是科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)和核心。[1]

數(shù)值分析在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和解決實(shí)際問題的能力等方面起著非常重要的作用。許多高校把數(shù)值分析作為工科研究生公共必修課和公共學(xué)位課，并且數(shù)值分析在自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理，乃至人文社會科學(xué)中都有著重要的應(yīng)用，因此數(shù)值分析課程的教學(xué)與改革[2,3]日益受到重視。

一、課程特點(diǎn)和教學(xué)現(xiàn)狀

一是，內(nèi)容多而雜，學(xué)生層次多，但教學(xué)時數(shù)少。從數(shù)學(xué)問題的來源和類型來看，數(shù)值分析包括：方程(組)求根、最優(yōu)化方法、數(shù)值逼近論、統(tǒng)計(jì)計(jì)算、數(shù)理方程數(shù)值解等。目前工科碩士研究生的數(shù)值分析主要包括數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)、方程求根。由于研究生招生規(guī)模大和招生類型多，學(xué)生知識層次差別大，而這門課的學(xué)時一般都比較少(目前我校只有36學(xué)時)。

二是，計(jì)算復(fù)雜，但復(fù)雜問題教學(xué)不夠。數(shù)值分析是解決復(fù)雜問題的科學(xué)方法，通常都需要大量的計(jì)算。如果學(xué)生只做一些簡單的數(shù)值模擬題，難以領(lǐng)會和理解計(jì)算要領(lǐng)和步驟，尤其不能體會問題的條件和限制范圍。因而也就失去了數(shù)值分析解決大規(guī)模復(fù)雜問題的意義。而現(xiàn)階段教學(xué)中，學(xué)生沒有機(jī)會面向計(jì)算機(jī)解決復(fù)雜問題。

三是，理論方法抽象，直觀性差，但教學(xué)實(shí)驗(yàn)缺乏。數(shù)值分析必須包含兩個方面，連續(xù)系統(tǒng)的離散化和離散型方程的數(shù)值求解。經(jīng)歷了十多年的經(jīng)典數(shù)學(xué)的解析求解方法的訓(xùn)練，學(xué)生對數(shù)值計(jì)算的解本身理解起來比較困難。譬如常微分方程數(shù)值解，實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生很難理解為什么問題的解是一系列點(diǎn)，經(jīng)常會把迭代得到的函數(shù)值當(dāng)成問題的解，這違背了求解微分方程的初衷。離散、近似思想貫穿整個數(shù)值分析教學(xué)過程，學(xué)生已有的知識既對數(shù)值分析教學(xué)必不可少，但也形成了問題連續(xù)性求解的思維定勢。另外，該課程一些基本的概念，如誤差、穩(wěn)定性、收斂性、計(jì)算復(fù)雜性的理解也很困難，只有通過不斷的算法設(shè)計(jì)和分析才能理解這些概念。但在教學(xué)中，只注重講授數(shù)值方法的原理，大量冗長而繁瑣公式推導(dǎo)和算法的分析占用了整個教學(xué)過程的幾乎所有時間，很少有學(xué)生實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐機(jī)會，因而也就不能充分調(diào)動學(xué)生的主動性。

二、課程教學(xué)改革實(shí)踐

(一)精選教材，整合教學(xué)內(nèi)容

受教學(xué)條件限制或者教學(xué)功利性影響，工科研究生數(shù)值分析課程的內(nèi)容十分有限。應(yīng)該將傳統(tǒng)的數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)、常微分方程數(shù)值解、偏微分方程數(shù)值解以及最優(yōu)化等內(nèi)容整合成一門課，這樣不僅節(jié)約教學(xué)時數(shù)，也能系統(tǒng)培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)計(jì)算能力，真正發(fā)揮助力專業(yè)研究的作用。筆者曾同時講授過工科研究生的數(shù)值分析和最優(yōu)化課，嘗試將兩者結(jié)合，效果十分理想。

工科研究生數(shù)值分析課程要求學(xué)生理解計(jì)算原理，掌握計(jì)算方法，最終使用各種算法，所以教學(xué)中可以淡化理論證明，強(qiáng)化算法思想和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，因此需要選擇有側(cè)重的方法講解、算法設(shè)計(jì)和例題演算的教材。[4,5]對要求較高的專業(yè)，也可選用國外優(yōu)秀教材，[6]讓學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)知識的同時提高閱讀外文文獻(xiàn)的能力。

除了教材，合適的參考書也是必須的，因?yàn)閷W(xué)生知識層次復(fù)雜，可以按照難易程度分別指定參考書。在教學(xué)中還可以精編適合本校學(xué)生、本校專業(yè)的講義，以便能在有限的學(xué)時內(nèi)讓學(xué)生更好地掌握數(shù)值方法，這對于提高教學(xué)效果十分有意義。

(二)改進(jìn)教學(xué)方式和方法

由于研究生數(shù)值分析課程重視理論教學(xué)，實(shí)驗(yàn)教學(xué)幾乎為零，學(xué)生修完課程后，面對實(shí)際問題仍然無從下手。因此，教師需要廣泛吸取先進(jìn)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，積極大膽進(jìn)行教學(xué)改革。

一是從實(shí)際出發(fā)，注重問題引入，采用啟發(fā)式教學(xué)。數(shù)值分析中設(shè)計(jì)的問題是從實(shí)際中提煉出來的數(shù)學(xué)模型，因此應(yīng)盡量從實(shí)例中提出問題，引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的方法，然后再給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想提出具體數(shù)值解決辦法。當(dāng)然也可以激發(fā)學(xué)生用已學(xué)過的方法來求解。如積分問題可以用學(xué)生熟悉的牛-萊公式不用去找原函數(shù)，甚至不需要知道被積函數(shù)，只需要函數(shù)上一些點(diǎn)，這是不是一件令人興奮的事呢？又如線性方程組，學(xué)生可能會用初等變換法求解，如果是幾十上百的線性方程組呢？如果方程解不唯一呢？如果是矛盾方程呢？這樣既引入了線性方程組迭代解法，也給出了最小二乘思想。學(xué)生也進(jìn)一步理解了解析方法與實(shí)際問題之間的差距，學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生可能就會聯(lián)想到一般線性方程組求解。

教學(xué)中還要注意“文化反哺”現(xiàn)象。學(xué)生是站在時代前沿的佼佼者，他們可能會有更多更新的問題和看法，教師要正確對待并加以引導(dǎo)。這也要求教師不斷更新教學(xué)內(nèi)容，及時將國內(nèi)外最新研究成果有選擇、有目的地結(jié)合課程內(nèi)容介紹給學(xué)生。

二是借助Matlab平臺，開展直觀教學(xué)。以科學(xué)計(jì)算軟件包Matlab為基礎(chǔ)開發(fā)的20多個工具箱可用于解決諸多專業(yè)中的數(shù)值計(jì)算問題。該軟件已經(jīng)成為發(fā)達(dá)國家高等院校理工科必須掌握的基本軟件，也是科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)部門解決具體問題的一種標(biāo)準(zhǔn)軟件。

與抽象的內(nèi)容相比，生動、直觀的知識更易接受。Matlab強(qiáng)大的圖像可視化功能可以實(shí)現(xiàn)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合，將抽象的難于理解的內(nèi)容直觀的呈現(xiàn)給學(xué)生。一個典型的例子就是，多項(xiàng)式插值的Runge現(xiàn)象。初等數(shù)學(xué)對于低于三次的多項(xiàng)式有些直觀介紹，但學(xué)生對于高次多項(xiàng)式并沒有直觀的印象。利用Matlab畫出過函數(shù)f(x)=1/(x2+1),x∈[-5，5]上整點(diǎn)的10次多項(xiàng)式和原函數(shù)，震蕩現(xiàn)象一目了然，插值誤差也很清楚。

借助Matlab平臺，是數(shù)值積分方法的改進(jìn)、誤差變小的過程，非線性方程求解的迭代過程，最小二乘擬合結(jié)果等等均能直觀的呈現(xiàn)出來。

三是加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)，培養(yǎng)應(yīng)用能力。數(shù)值分析是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的計(jì)算課程，為了培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算大規(guī)模問題的能力和對計(jì)算方法的實(shí)際應(yīng)用能力，必須加強(qiáng)實(shí)踐，但要防止從只會用筆算走向只會用現(xiàn)成的程序?qū)崿F(xiàn)的另一個極端。通過簡單的筆算雖然不能完全掌握算法的實(shí)現(xiàn)，但是對于學(xué)生理解算法步驟很有幫助。加強(qiáng)實(shí)踐的一個重要方面就是典型算法要編程上機(jī)實(shí)現(xiàn)，寫出實(shí)驗(yàn)分析報(bào)告。另一方面，課程結(jié)束后讓學(xué)生解決自己專業(yè)中的一個數(shù)值問題，通過查閱資料、建立模型、設(shè)計(jì)算法上機(jī)、得到問題求解結(jié)果，學(xué)生可以體會到科研的整個過程，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)實(shí)踐表明，實(shí)踐環(huán)節(jié)既能加深對知識的理解，幫助學(xué)生從會“算”到會“用”，又有助于培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)踐問題的科學(xué)計(jì)算能力，還有助于培養(yǎng)學(xué)生探索和創(chuàng)新的精神。

例如，學(xué)生利用插值法處理有殘缺的圖像得到左上圖后，覺得不是很理想，自己查閱資料找到雙線性插值的方法，順利完成了右上圖，效果得到一定改善，接著又完成了后面兩種插值方法的圖像處理。課程結(jié)束后又實(shí)現(xiàn)了PDE理論在圖像去噪中的應(yīng)用，從而得到高質(zhì)量的圖像。如圖1所示。

四是改革考核方式。傳統(tǒng)的閉卷筆試難以全面衡量教學(xué)效果，數(shù)值分析課程本身特點(diǎn)決定了不可能在兩個小時內(nèi)完成大綱要求的基本的計(jì)算。筆者在教學(xué)中采用三種方式加權(quán)的考核方法：閉卷考試(規(guī)定時間獨(dú)立完成)、數(shù)值實(shí)驗(yàn)報(bào)告提交(實(shí)驗(yàn)課作業(yè))和算法在專業(yè)中的應(yīng)用(課程結(jié)束后分組以小論文的形式提交)。不同專業(yè)權(quán)重不同。

[1]石鐘慈．第三種科學(xué)方法——計(jì)算機(jī)時代的科學(xué)計(jì)算[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2000：7-14.

[2]殷明，朱曉臨，陳曉虹，陳國琪．計(jì)算方法課程改革的設(shè)想與實(shí)踐[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2006(5):15-17.

[3]涂俐蘭．研究生“數(shù)值分析”課程教學(xué)初探[J]．高等理科教育，2009(5):70-73.

[4]施吉林，劉淑珍，陳桂芝．計(jì)算機(jī)數(shù)值方法[M]．北京：高等教育出版社，2009.

[5]任玉杰．?dāng)?shù)值分析及其Matlab實(shí)現(xiàn)[M]．北京：高等教育出版社，2007.

[6]Richard L.Burden，J.Douglas Faires．NumericalAnalysis(SeventhEdition)[M]．Thomson Brooks/Cole，2001.

(責(zé)任編輯 雷金火)

Understanding and Reform of Numerical Analysis for Graduates in Engineering Majors

TAN Gao-shan

(School of Mathematics and Physics, Anhui University of Technology, Ma'anshan 243002, Anhui, China)

Regarding problems in numerical analysis course teaching for engineering graduate students, such as lacking of teaching hours and teaching experiment, the practice of teaching content integration, the use of heuristic teaching method, the application of direct teaching, the enhancement of practice teaching, and the reform of assessment is vital to the improvement of teaching quality and the cultivation of students’ ability of scientific research and innovation.

numerical analysis; graduate students of engineering majors; teaching reform

2014-06-21

譚高山(1979-)，女，山東臨沂人，安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院講師，博士研究生。

O241; G420

A

1671-9247(2015)04-0115-02