王選擇，吳雅君，何 濤

引言

光柵投影測量法根據(jù)變形光柵圖像中像素的灰度值變化，解算出代表物體高度的相位信息，經(jīng)由相位展開和系統(tǒng)標定獲得物體的三維信息［1－2］。因此，對光柵條紋的相位處理是獲取高精度測量結(jié)果的重要環(huán)節(jié)。

相位處理方法主要有傅里葉變換法［3］和相移法［4］。前者對表面存在臺階和邊緣位置測量會產(chǎn)生頻譜拓延，且計算量大。后者通過對投影光柵進行移相，由相移公式計算相位，對于臺階的測量存在高度限制［5－6］。同時，相移法得到的僅是包裹相位，還需進行解包裹運算。解包裹算法一般根據(jù)包裹相位圖特性解包，如基于統(tǒng)計濾波法［7］、基于可靠性法［8－10］等，要求空間相位具有連續(xù)性，對于表面高度存在突變物體的測量，容易出現(xiàn)“拉線”問題［11］。

為了不受臺階高度限制，同時保證解相位高分辨率，提出一種逐步細化的變尺度光柵投影測量方法，通過銜接算法，直接獲取高分辨率的相位信息。

1 光柵條紋的設(shè)計

1.1 設(shè)計原理

光柵投影測量法一般采用正弦光柵進行投影，投影光柵表達為

式中：（u，v）為投影面像素點坐標；I（u，v）為（u，v）點灰度值；I0為背景光強；IA為調(diào)制強度；θ（u，v）為光柵相位；u0為投影面中心點橫坐標。投影儀分辨率為8位，即28＝256，變化范圍為0～255，故取其中間值疊加一定偏差量作為光強值，取I0＝128，IA＝127。

上式中T為周期長度，T越小，條紋越細密，分辨率越高。故傳統(tǒng)相移法多采用單組尺寸較細的光柵測量包裹相位，求解絕對相位還需進行解包裹，而常規(guī)解包裹容易受遮擋、臺階等因素影響，導(dǎo)致成像相位非連續(xù)化，針對該問題，提出多組尺寸呈倍數(shù)的條紋掃描思想，以獲取連續(xù)的相位場。

1.2 光柵條紋的設(shè)計特點

已知投影儀規(guī)格為960pixel×1 280pixel，實驗設(shè)計5組平行于Y方向的條紋，T依次為1 280 pixel、160pixel、80pixel、40pixel與20pixel，即像素周期數(shù)T′分別為1、8、16、32、64。每組光柵條紋之間滿足：中心行像素點灰度值是以中心列為原點的余弦形式，不同像素周期的每組條紋中心相位均為0相位。

對于粗條紋T1＝1 280，θ1具有唯一性，且相位值在（－π，π）之間。對于細條紋，以T2＝160為例，θ2值不唯一，相位值分布在（－8π，8π）之間。由于每組條紋相位的中心相位一致，相移步長一致，細條紋的相位是對粗條紋相位的細化放大，θ1、θ2滿足一定的線性關(guān)系：

根據(jù)（3）式，得到不同尺寸條紋中每一像素點的映射關(guān)系，將多組離散相位場銜接得到連續(xù)相位場，攻克了傳統(tǒng)條紋處理方法中相位場非連續(xù)的問題。

2 相移掃描方法

已知投影光柵分布形式，那么變形光柵光強表達式為：I（x，y）＝I′0＋I′Acos［φ（x，y）］，忽略隨機噪聲，該方程就已包含了I′0、I′A、φ（x，y）3個未知數(shù)。因此，需要對投影光柵進行移相來增加常相位，獲取多幅變形光柵圖，聯(lián)立方程求解相位場。

因此移相次數(shù)必須至少為3次，同時：1）相移光柵圖越多，測量精度越高；2）采集圖像數(shù)量越多，測量速度越慢。綜合考慮采用16步相移，每組光柵條紋進行16次相移投影掃描，掃描方法如（4）式，掃描流程如圖1所示。對于n組條紋，共需投影16×n次，得到16×n幅變形光柵圖，為準確得到每點相位提供了條件。

圖1 相移掃描流程圖Fig.1 Flow chart of phase shift scanning

3 相位提取算法

3.1 包裹相位的簡化求解

若用傳統(tǒng)相移公式求16步相移包裹相位，計算繁瑣且速度慢。針對以上問題，提出簡化傅里葉變換法求解。若采樣長度為T，采樣數(shù)量為n，對信號Acos（ωt＋φ）作傅里葉變換，即是分別用周期的正余弦離散信號與之相乘。又因為傅里葉變換具有正交性，因此在信號頻率已知的情況下，求該信號的相位，僅需構(gòu)造同頻率的正余弦函數(shù)，分別與該信號相乘，求反正切函數(shù)值，即可得到包裹相位值。

已知具有16步相移的光柵投影是在一個周期中變化，即信號頻率已知。對于某一像素點，由16幅相移圖可以求出該點發(fā)生移相的16個灰度值zi。包裹相位可由下式求出：

該算法利用了傅里葉變換的思想，僅需16步乘法加法運算，簡化計算；預(yù)先求出構(gòu)造的正余弦函數(shù)值，提高了計算速度。

3.2 基于誤差最小原則的絕對相位逐級估算方法

進行平板掃描實驗，每組條紋得到16幅變形光柵圖。取變形光柵圖中某一行的像素點，求解出各像素點的包裹相位如圖2，為不同像素周期T′下同一行像素點的包裹相位，對于T′＝1的光柵條紋，如圖2中①位置，在整個測量范圍內(nèi)具有唯一性，故其包裹相位即為絕對相位φ1（x，y）＝φ1（x，y）；對于T′＝8的光柵條紋，從圖中鋸齒線的多相交點可以看出，此位置不唯一，包裹相位不等于絕對相位，聯(lián)系位置①，選取位置②作為T′＝8的絕對相位。

圖2 各周期包裹相位圖Fig.2 Wrapped phase image of different periods

由以上分析，可得絕對相位φ（x，y）＝φ（x，y）＋2kπ，式中（x，y）為變形光柵圖中投影點（u，v）對應(yīng)坐標點；φ（x，y）表示包裹相位值；k為（x，y）點所處的周期次數(shù)。提出用長周期條紋包裹相位φ（x，y）來估算短周期條紋絕對相位φ（x，y）。

以T1＝1 280，T2＝160兩種周期寬度不同條紋為例。T1＝8T2，理論上（3）式的包裹相位關(guān)系滿足8φ1（x，y）＝φ2（x，y）＋2kπ，實際過程中考慮誤差的影響，根據(jù)誤差最小的原則：

式中，［］為取整運算。

利用φ1（x，y）估算φ2（x，y），對短周期T2條紋絕對相位的估算為對于T3＝80的光柵條紋，利用φ2（x，y）估算

φ3（x，y）。由于T2＝2T3，其絕對相位的估算為

同理可以估算出其他幾種周期更短的條紋絕對相位。由此得到了被測表面每一點高度細化的絕對相位，減少了空間噪聲與量化誤差的影響。

4 實驗及誤差分析

實驗在暗室中進行，將量程為0～100的投影儀亮度調(diào)整為60。利用光柵投影測量系統(tǒng)，對平板進行投影掃描，掃描速度為30Hz，其中3組條紋如圖3所示。

圖3 平板掃描實驗結(jié)果Fig.3 Flat scanning experiment results

取平板上某一行的像素點，在5組光柵條紋投影條件下，求該行每一像素點的絕對相位值φi（x，y），并分別由T′＝1、8、16、32的光柵絕對相位直接推測T′＝64的光柵相位值。求出每一像素點推測值與絕對相位的差值，作為推測誤差。推測誤差的標準差反映了數(shù)據(jù)離散程度，故可認為是估算精度（如表1）。

表1 推測誤差 radTable 1 Estimation error

將T′＝64條紋的絕對相位值作為標準相位，對該相位場進行二次曲線擬合（如圖4），在絕對相位（－64π，64π）的變化范圍內(nèi)，擬合標準差為0.096 63rad，達到了較高精度的解相位結(jié)果。

圖4 T′＝64條紋解相位及擬合誤差結(jié)果Fig.4 Unwrapping phase and fitting error of T′＝64

實驗得出：投影光柵尺寸越細化，分辨率越高，測得的絕對相位越準確。32周期的估算精度比直接由T′＝1推測T′＝64估算精度提高了97.11%。同時，由以上實驗結(jié)果可以看出，從T′＝1直接躍遷到T′＝64是可行的，這是由于本實驗處于較理想的光照條件。因此在實際光照條件好的情況下，僅需要2組條紋進行掃描即可。對于照明條件不理想的情況，可以取多組（3組及3組以上）尺寸不同的光柵來獲取較高的測量精度。

如圖4所示，擬合存在一個正弦誤差。這是由于實驗中噪聲和投影過程中非線性等因素的影響，投影光柵并不滿足標準正弦分布，導(dǎo)致了相位求取的誤差。針對該問題，需要對投影出的光柵條紋非正弦性進行校正。具體可采用二次擬合法：第一次擬合，將所有投影點參與正弦擬合，尋找合理的斜率加權(quán)誤差閾值，剔除誤差大的點；第二次擬合，將剔除粗大誤差后的有效點進行正弦擬合，由該正弦曲線求取初相位，從而提高了相位的擬合精度。

5 結(jié)論

基于經(jīng)典相移法，提出變尺度光柵投影測量方法，解決了傳統(tǒng)條紋處理方法中相位場非連續(xù)的問題，基于誤差最小原則實現(xiàn)了對絕對相位的逐級估算。通過實驗，驗證了該方法可以直接求取較高精度的絕對相位值，并且針對不同光照條件給出了設(shè)計條紋組數(shù)的建議。

［1］ Da Feipeng，Gai Shaoyan.Grating projection of 3D precision measurement［M］.Beijing：Science Press，2011.

達飛鵬，蓋紹彥.光柵投影三維精密測量［M］.北京：科學出版社，2011.

［2］ An dong，Da Feipeng，Gai shaoyan，et al.New system calibration method based on fringe projection profilometry［J］.Journal of Applied Optics，2014，35（1）：81－84.

安冬，達飛鵬，蓋紹彥，等.新的基于條紋投影輪廓測量的系統(tǒng)標定方法［J］.應(yīng)用光學，2014，35（1）：81－84.

［3］ Takeda M，Mutoh K.Fourier transform profilometry for the automatic measurement 3－D object shapes［J］.Applied Optics，1983，22（24）：3977－3982.

［4］ Srinivasan V，Liu H C，Haliou M.Automated phase－measuring profilometry of 3－D diffuse objects［J］.Applied Optics，1984，23（18）：3105－3108.

［5］ Creath K.Step height measurement using two－wavelength phase－shifting interferometry［J］.Applied Optics，1987，26（14）：2810－2816.

［6］ Zhang H，Chen W，Tan Y.Phase－unwrapping algorithm for the measurement of three dimensional object shapes［J］.Applied Optics，1994，33（20）：4497－4500.

［7］ Yang Fujun，Yun Dazhen.Phase recovery from a single speckle fringe pattern based on statistical filtering［J］.Acta Optica Sinica，2002，22（8）：952－956.

楊?？。拼笳?基于統(tǒng)計濾波的單幅散斑條紋圖的相位恢復(fù)技術(shù)［J］.光學學報，2002，22（8）：952－956.

［8］ Su Xianyu，Chen Wenjing.Reliability－guided phase unwrapping algorithm：a review［J］.Optics and Lasers in Engineering，2004，42（3）：245－261.

［9］ Li S，Wang X，Su X，et al.Two－dimensional wavelet transform for reliability－guided phase unwrapping in optical fringe pattern analysis［J］.Applied Optics，2012，51（12）：2026－2034.

［10］Li S K，Chen W J，Su X Y.Reliability－guided phase unwrapping in wavelet－transform profilometry［J］.Applied Optics，2008，47（18）：3369－3377.

［11］Gai S Y，Da F P.A novel phase－shifting method based on strip marker［J］.Optics and Lasers in Engineering，2010，48（10）：10704－10719.