云南省玉溪市峨山縣小街中學(xué) 楊東笑

在初中數(shù)學(xué)中，因式分解是一個十分重要的概念，它是整式乘法的逆過程，是代數(shù)式恒等變形的一個重要組成部分，也是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段和工具，在代數(shù)式的運算、解方程等方面有極其廣泛的運用。

一、因式分解的定義

把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解（也叫作分解因式）。

因式分解是初中數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)整式四則運算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、思維發(fā)展性、運算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力。

二、因式分解的基本方法

1.提公因式法

如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

例題：分解因式bm-am+cm

分析：在多項式bm-am+cm中，每個單項式都含有字母m，故提出m就可以了。

解： bm-am+cm

= m(b-a+c)

2.公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

公式主要有以下三個。

例題：分解因式 4a2-9b2

分析：∵4a2=(2a)2，9b2=(3b)2，只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b即可。

解： 4a2-9b2

= (2a)2-(3b)2

= (2a+3b)(2a-3b)

3.分組分解法

能分組分解的多項式有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。

例題：把多項式ax+ay+bx+by分解因式

分析：通過觀察、分析，發(fā)現(xiàn)此題應(yīng)用二二分法：把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配。

解： ax+ay+bx+by

= a(x+y)+b(x+y)

= (a+b)(x+y)

4.十字相乘法

十字相乘法簡單來講就是：十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘再相加等于一次項系數(shù)。

例題：把多項式x2+2x-15分解因式

分析：通過觀察，此題采用十字相乘法就可以了。

所以x+2x-15=(x-3)(x+5)。

5.拆項、添項法

因式分解是多項式乘法的逆運算。在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零。在對某些多項式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項。拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解。

例題：把m2-6m+8 分解因式

分析：本題有兩種方法：既可以將8拆成9-1，也可以將-6m拆成-2m-4m.

解法1： m2-6m+8

= m2-6m+9-1

= (m-3)2-12

=（m-3+1）(m-3-1)

= (m-2)(m-4)

解法2： m2-6m+8

= m2-2m-4m+8

= m(m-2)-4(m-2)

= (m-2)(m-4)

6.配方法

對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

例題：把多項式x2+6x-7分解因式

解： x2+6x-7

= x2+6x+9-16

= (x+3)2-42

=（x+3+4）(x+3-4)

= (x+7)(x-1)

三、因式分解的一般步驟

一是如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；

二是如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

三是如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、添項法來分解；

四是分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適?！?/p>

四、在因式分解中應(yīng)注意的問題

第一，因式分解中應(yīng)注意的幾個問題，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號里面分到“底”。

第二，考試時應(yīng)注意，在沒有說明化到實數(shù)時，一般只化到有理數(shù)就夠了，有說明實數(shù)的話，一般就要化到實數(shù)。