丁祖琴

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

幾何分布變異系數(shù)的貝葉斯估計(jì)

丁祖琴

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

在熵?fù)p失函數(shù)下,研究了幾何分布變異系數(shù)的貝葉斯估計(jì)問(wèn)題,得到了變異系數(shù)的貝葉斯估計(jì)的一般形式和精確形式,并證明了它的可容許性.同時(shí)給出了變異系數(shù)的多層貝葉斯估計(jì)以及置信水平為1-α的貝葉斯置信區(qū)間.

幾何分布; 變異系數(shù); 熵?fù)p失函數(shù); 貝葉斯估計(jì); 置信區(qū)間

0 引言

幾何分布是常見(jiàn)的離散分布之一,其統(tǒng)計(jì)特征及參數(shù)的估計(jì)和性質(zhì)已得到廣泛的研究[1-3].幾何分布的變異系數(shù)也是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)常用的參數(shù),在保險(xiǎn)理論、可靠性以及醫(yī)院統(tǒng)計(jì)等方面都有廣泛的應(yīng)用,但現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)中對(duì)幾何分布變異系數(shù)估計(jì)問(wèn)題的理論研究卻不多見(jiàn).

本文討論熵?fù)p失函數(shù)下幾何分布變異系數(shù)的貝葉斯估計(jì)問(wèn)題.在第一部分給出了幾何分布變異系數(shù)熵?fù)p失函數(shù)的具體形式;第二部分給出了熵?fù)p失函數(shù)下對(duì)任何先驗(yàn)分布,幾何分布變異系數(shù)的貝葉斯估計(jì)形式;第三部分給出了先驗(yàn)分布為指定分布時(shí)變異系數(shù)的貝葉斯估計(jì)的精確形式并證明其是容許估計(jì);第四部分討論了變異系數(shù)的多層貝葉斯估計(jì)的表達(dá)式;第五部分給出置信水平為1-α?xí)r參數(shù)的貝葉斯置信區(qū)間.

1 熵?fù)p失函數(shù)

f(x1,x2,…,xn|p)=pn(1-p)T-n,

從而得到樣本關(guān)于參數(shù)θ的聯(lián)合概率函數(shù)為

f(x1,x2,…,xn|p)=(1-θ2)nθ2(T-n)

(1)

下面我們從樣本X1,X2,…,Xn出發(fā),在熵?fù)p失函數(shù)下求參數(shù)θ的估計(jì).

θ的熵?fù)p失函數(shù)定義為[4]:

(2)

式(2)中,δ是θ的判決空間的一個(gè)估計(jì).將參數(shù)θ的聯(lián)合概率函數(shù)代入上述定義并化簡(jiǎn)整理可得

(3)

2 變異系數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)

定理1 記X=(X1,X2,…,Xn),具有形如式(1)的聯(lián)合分布,則在熵?fù)p失函數(shù)(3)下,對(duì)任何先驗(yàn)分布,幾何分布變異系數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)為

對(duì)h(δ)求導(dǎo)并令其為0,得

3 給定先驗(yàn)分布下,貝葉斯估計(jì)的具體形式

證明 由式(1)式及定理?xiàng)l件中給定的先驗(yàn)分布,得參數(shù)θ和樣本X的聯(lián)合分布為

據(jù)此,可以計(jì)算

引理1[5]在給定的貝葉斯決策問(wèn)題中,假如對(duì)給定的先驗(yàn)分布π(θ)的貝葉斯估計(jì)δB(X)是唯一的,則它是容許的.

證明 易證熵?fù)p失函數(shù)(3)關(guān)于δ是嚴(yán)凸的,從而貝葉斯估計(jì)δB(X)必唯一,再由引理1可得結(jié)論.

4 變異系數(shù)θ的多層貝葉斯估計(jì)

在理論上沒(méi)有限制多層先驗(yàn)只分兩步, 可以是三步或更多步, 但在實(shí)際應(yīng)用中多于兩步的先驗(yàn)是罕見(jiàn)的. 對(duì)第二步先驗(yàn)π2(λ), 用主觀概率或用歷史數(shù)據(jù)給出是有困難的, 因?yàn)槌瑓?shù)常常無(wú)法觀察, 甚至連間接觀察都難于進(jìn)行. 這樣用無(wú)信息先驗(yàn)作為第二步先驗(yàn)是一種好的策略, 但是必須滿足試驗(yàn)結(jié)果的某些特性.

如果試驗(yàn)總次數(shù)n較大, 說(shuō)明產(chǎn)品的可靠度大的可能性大, 所以選擇p的先驗(yàn)分布應(yīng)以增函數(shù)為宜[6].

取可靠度p的先驗(yàn)分布為Be(b,a)分布,a,b為超參數(shù), 并設(shè)其獨(dú)立. 由于只有在a<1且b>1時(shí), 先驗(yàn)密度函數(shù)Be(b,a)關(guān)于p為增函數(shù), 所以取a,b的超先驗(yàn)分布密度分別為均勻分布[7]

π2(a)=U(0,1),π2(b)=U(1,c),

c為常數(shù),但是為了保證估計(jì)的穩(wěn)健性,c不宜過(guò)大.

定理4 對(duì)幾何分布G(p),在給定上述兩層先驗(yàn)分布和熵?fù)p失函數(shù)(3)下,θ的兩層貝葉斯估計(jì)為

證明 由上述兩層先驗(yàn)分布可知,θ的先驗(yàn)分布為

故參數(shù)θ和樣本X的聯(lián)合分布為

進(jìn)一步可求得

從而得熵?fù)p失下θ的兩層貝葉斯估計(jì)為

5 θ的置信水平為1-α的貝葉斯置信區(qū)間

證明 由于θ的先驗(yàn)分布為

則幾何分布可靠度p=1-θ2的先驗(yàn)分布為

其中a>0,b>0,即為貝塔分布Be(b,a),從而p的后驗(yàn)為

h(p|x)∝pn+b-1(1-p)T+a-n-1,

即為Be(n+b,T+a-n).對(duì)給定α∈(0,1),有

[1] 徐曉玲,王蓉華,費(fèi)鶴良.幾何分布的幾個(gè)性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)研究,2008,41(1):103-112.

[2] 趙喜林.幾何分布可靠度的截尾Bayes估計(jì)[J].武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,27(1):93-95.

[3] 韓明,崔玉萍.幾何分布可靠度的估計(jì)[J].運(yùn)籌與管理,2001,10(4):35-38.

[4] 王德輝,賴民,宋立新.熵?fù)p失函數(shù)下Poisson分布參數(shù)倒數(shù)的Bayes估計(jì)[J].吉林大學(xué):自然科學(xué)學(xué)報(bào),2000(4):17-22.

[5] 茆詩(shī)松,王靜龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,1998:367-372.

[6] 韓明. 多層先驗(yàn)分布的構(gòu)造及其應(yīng)用[J].運(yùn)籌與管理, 1997(6):31-40.

[7] 王德輝,牛曉寧. 熵?fù)p失函數(shù)下巴斯卡分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].吉林大學(xué):自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2001(1):19-22.

[責(zé)任編輯：李春紅]

Bayesian Estimation of Geometric Distribution Variation Coefficient

DING Zu-qing

(School of Mathematical Sciences, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300, China)

This paper studies the Bayesian estimation problem of geometricdistribution variation coefficient under entropy loss function, obtains thegeneral form and precise form of Bayesian estimation of variation coefficient,and proves its admissibility. Then the paper gives multilayer Bayesianestimation of variation coefficient and Bayesian confidence interval with confidence level1-α.

geometric distribution; variation coefficient; entropy loss function; bayesian estimation; confidence interval

2015-06-07

丁祖琴(1977-),女,江蘇淮安人,講師,碩士,研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì). E-mail: freedingd@163.com

O212.8

A

1671-6876(2015)04-0291-04