徐新麗

(淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院， 江蘇 淮安 223003)

論大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

徐新麗

(淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院， 江蘇 淮安 223003)

數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，模式形成是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)定向思維能力的最主要內(nèi)容。數(shù)學(xué)思維模式主要有逼近模式、疊加模式、變換模式、映射模式、退化模式、遞歸模式、笛卡爾模式、交軌模式等，大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)思維模式的訓(xùn)練。

數(shù)學(xué)思維模式；課堂教學(xué)；數(shù)學(xué)思維模式訓(xùn)練

0 引言

縝密的數(shù)學(xué)思維是大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思維模式的訓(xùn)練。大學(xué)數(shù)學(xué)課堂是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的主陣地，在課堂教學(xué)活動(dòng)中有3個(gè)要素：活動(dòng)的載體，即數(shù)學(xué)教材，是系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)結(jié)論，其表述往往隱去了部分或大部分?jǐn)?shù)學(xué)思維過(guò)程的發(fā)現(xiàn)性；活動(dòng)的主體，即學(xué)生；活動(dòng)的主導(dǎo)，即教師，其根本職能是主導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的情況對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行分析、處理，靈活、有序地展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過(guò)程，還原數(shù)學(xué)思維過(guò)程的發(fā)現(xiàn)性，以期提高數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練效果，使學(xué)生形成完備的數(shù)學(xué)思維模式體系以及系統(tǒng)的思維策略體系。

1 概念界定

數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。數(shù)學(xué)教育家波利亞[1]認(rèn)為，在解決問(wèn)題的過(guò)程中要善于發(fā)現(xiàn)那些對(duì)將來(lái)的問(wèn)題解決可能有用的特征，形成一種模式，并井然有序地儲(chǔ)備，形成后續(xù)思維活動(dòng)中解決類似問(wèn)題的通用思想方法，用以統(tǒng)帥解題中所涉及的問(wèn)題分類或問(wèn)題解決模式。模式形成是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)定向思維能力的最主要內(nèi)容。

1.1 數(shù)學(xué)模式

數(shù)學(xué)模式即數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，指特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)ο笙到y(tǒng)的關(guān)系結(jié)構(gòu)[2]。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就是學(xué)生頭腦中數(shù)學(xué)模式的形成、識(shí)別及其應(yīng)用的過(guò)程。

1.2 數(shù)學(xué)思維模式

數(shù)學(xué)思維模式是指主體在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中形成的相對(duì)穩(wěn)定的思維樣式[3]。數(shù)學(xué)思維的基本過(guò)程是數(shù)學(xué)思維模式的形成與運(yùn)用。數(shù)學(xué)思維模式的運(yùn)用就是主體對(duì)數(shù)學(xué)模式的識(shí)別，也是主體獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的思維程序和方式；數(shù)學(xué)思維模式的形成依賴于主體已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，并且在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程和思維模式的運(yùn)用過(guò)程中不斷得到豐富和發(fā)展。

重要的數(shù)學(xué)思維模式主要有逼近模式、疊加模式、變換模式、映射模式、退化模式、遞歸模式、笛卡爾模式、交軌模式等[3]。下面介紹大學(xué)數(shù)學(xué)中這些重要的思維模式，并借助一些典型問(wèn)題體會(huì)這些重要數(shù)學(xué)思維模式的運(yùn)用(這里所舉例題僅對(duì)應(yīng)某個(gè)思維模式運(yùn)用的某一側(cè)面)。

2 大學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思維模式

2.1 逼近模式

逼近模式是最常見的數(shù)學(xué)思維模式，指從條件出發(fā)向目標(biāo)推進(jìn)，或從結(jié)論返溯至條件，或從條件及結(jié)論雙向推進(jìn)，逐步架構(gòu)條件到結(jié)論的聯(lián)系，進(jìn)而解決問(wèn)題的思維方式。據(jù)此，逼近模式的具體形式表現(xiàn)為正向逼近(順推演繹法)、逆向逼近(逆求分析法)、雙向逼近等。

【分析】這是一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在零點(diǎn)的問(wèn)題，考慮用羅爾定理證明。此類問(wèn)題(利用微分中值定理證明介值類問(wèn)題)均可采用用雙向逼近法: 從結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)，從條件考察輔助函數(shù)滿足定理的條件，雙向推進(jìn)。

首先，觀察結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-x；

其次，考察輔助函數(shù)F(x)是否滿足羅爾定理的條件。

除了上述3個(gè)具體形式，逼近模式還有無(wú)窮逼近(極限法)。

2.2 疊加模式

疊加模式即“以分求合”，也就是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行橫向分解或縱向分層，化整為零，各個(gè)擊破。疊加模式具體有：爬坡法(即從對(duì)特殊情形的疊加，得到一般解)；邏輯劃分法(即把問(wèn)題劃分為若干個(gè)不相重疊的子問(wèn)題分別解決，子問(wèn)題的結(jié)果疊加即可得到原問(wèn)題的解)；中途點(diǎn)法(即在條件與結(jié)論中間設(shè)立若干小目標(biāo)作為中途點(diǎn)，把原問(wèn)題分解成子問(wèn)題串，依次解決子問(wèn)題，疊加即得原問(wèn)題的解，這種模式中前面問(wèn)題往往是后面問(wèn)題的鋪墊)。

【分析】這是一個(gè)“1∞”型未定式的極限問(wèn)題：當(dāng)x趨于∞時(shí)，函數(shù)的底數(shù)的極限為1，而指數(shù)的極限不存在且趨于∞，因此，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則無(wú)法確定該極限值或判定其存在性。

設(shè)立中途點(diǎn)3： 當(dāng)x<0時(shí)，作變換x=-t，即可以得到

2.3 變換模式

變換模式是一種“由難化易，由繁化簡(jiǎn)”的變更問(wèn)題方法，有等價(jià)變換和不等價(jià)變換兩種模式。

等價(jià)變換指把原問(wèn)題變更為新的表達(dá)形式，兩種形式互為充要條件，答案相同，如大學(xué)數(shù)學(xué)中，利用等價(jià)無(wú)窮小替換、洛必達(dá)法則、泰勒公式求極限，求積分的換元法、分部積分法等都是等價(jià)變換，線性代數(shù)中求解線性方程(組)，運(yùn)用的是方程的同解變形，也是一種等價(jià)變換。

不等價(jià)變換可能增加(減少)命題的條件，或加強(qiáng)(減弱)命題的結(jié)論，導(dǎo)致新的表達(dá)形式擴(kuò)大(縮小)了原問(wèn)題的適用范圍，從而產(chǎn)生不等價(jià)的結(jié)果。如采用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

例3 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【分析】?jī)蛇吶?duì)數(shù)，整理得

ln(x+3)-ln(x+4)].

嚴(yán)格地說(shuō)，應(yīng)分為x<-4,-3-1，3種情形進(jìn)行討論，這一步變換產(chǎn)生的結(jié)果是不等價(jià)的，屬不等價(jià)變換。由于這3種情形的最終求導(dǎo)結(jié)果是相同的，因此，往往形式地套用這樣的法則。于是上式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，整理得

數(shù)學(xué)中由于施行某種運(yùn)算(如取對(duì)數(shù)，乘方、開方等)或形式地套用一些法則，都可能產(chǎn)生不等價(jià)的結(jié)果。

2.4 映射模式

映射模式是一種“映射—反演”的思維方式，即把問(wèn)題從原領(lǐng)域映射到另一領(lǐng)域，在另一領(lǐng)域獲解后再反演回原領(lǐng)域，進(jìn)而解決問(wèn)題。這里的原領(lǐng)域與另一領(lǐng)域的意義是相對(duì)的。如求解二階常系數(shù)線性齊次微分方程。

例4 求微分方程y″-2y′-8y=0的通解.

【分析】先寫出所給微分方程的特征方程為

r2-2r-8=0，即(r+2)(r-4)=0.

將原問(wèn)題映射到代數(shù)方程領(lǐng)域，求解代數(shù)方程，得兩個(gè)不相等的實(shí)根r1=-2,r2=4；再反演回原微分方程領(lǐng)域得所求微分方程的通解

y=C1e-2x+C2e4x.

2.5 退化模式

退化模式是一種“以退求進(jìn)”的思維方式。即將問(wèn)題聯(lián)系轉(zhuǎn)化，后退到能看清關(guān)系或悟出解法的形態(tài)，以退求進(jìn)探尋問(wèn)題的結(jié)論。其具體形式有降次法、降維法、類比法、特殊化法及極端化法等。退化模式與疊加模式及變換模式均有相通之處。

如求解一階非齊次線性方程時(shí)，先將其特殊化，退化為齊次線性方程，求得對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解，然后類比齊次線性方程的通解形式設(shè)解，采用常數(shù)變易法，求得原方程的通解。

2.6 遞歸模式

遞歸模式是一種重要的邏輯模式，指在解決定義在自然數(shù)集上的函數(shù)等類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以先確定函數(shù)序列相鄰各項(xiàng)之間的一般關(guān)系和函數(shù)初始值，然后確定通項(xiàng)或整個(gè)序列。

a0=b0c0；a1=b1c0+b0c1；a2=b2c0+b1c1+b0c2；…

由這些等式可以遞歸地求出c0，c1，c2，…，cn，…。

2.7 笛卡爾模式

笛卡爾模式是通過(guò)建立函數(shù)或方程來(lái)確定數(shù)學(xué)關(guān)系或解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方式。

由于函數(shù)與方程以及不等式的思想對(duì)象具有相似性，在適當(dāng)條件下可以相互轉(zhuǎn)化，因此通常用建立函數(shù)來(lái)解決有關(guān)不等式、方程等方面的問(wèn)題。如證明方程根的存在性問(wèn)題、不等式的證明問(wèn)題等。

[1] G 波利亞.怎樣解題——數(shù)學(xué)教學(xué)法的新面貌[M]. 上海：上海科技教育出版社，2002.

[2] 鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].廣西：廣西教育教育出版社，1996.

[3] 任樟輝.數(shù)學(xué)思維理論[M].廣西：廣西教育教育出版社，2001.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(第六版)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[責(zé)任編輯：李春紅]

2015-04-15

徐新麗(1965-),女,江蘇淮安人,講師,主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)課程論與教學(xué)論研究。E-mail：baomei@tom.com

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