楊 雄

(婁底職業(yè)技術(shù)學(xué)院 財(cái)經(jīng)貿(mào)易系, 湖南 婁底 417000)

隨機(jī)波動(dòng)率跳擴(kuò)散模型的期權(quán)定價(jià)

楊 雄

(婁底職業(yè)技術(shù)學(xué)院 財(cái)經(jīng)貿(mào)易系, 湖南 婁底 417000)

在赫斯頓、貝特、約翰內(nèi)斯和波爾森等提出的資產(chǎn)價(jià)格模型的基礎(chǔ)上,給出了一個(gè)均值回復(fù)平方根的跳擴(kuò)散過程模型,并通過Dynkin公式,得到了期權(quán)價(jià)值所滿足的PDE方程,進(jìn)一步得到解析解,并利用風(fēng)險(xiǎn)中性概率P1,P2所滿足的微分方程進(jìn)行驗(yàn)證,最后指出可通過特征函數(shù)的逆變換來計(jì)算解析解.這個(gè)解對(duì)跳擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)有重要的作用,為進(jìn)一步研究此類期權(quán)定價(jià)的性質(zhì)有一定的應(yīng)用價(jià)值.

跳擴(kuò)散模型; 隨機(jī)波動(dòng)率; 特征函數(shù); 看跌期權(quán); 風(fēng)險(xiǎn)中性概率

0 引言

期權(quán)在眾多的金融產(chǎn)品中居于核心位置,它的定價(jià)問題很早就是人們關(guān)注的問題.期權(quán)定價(jià)的突破性進(jìn)展產(chǎn)生于20世紀(jì)70年代初的Black-Scholes模型,它標(biāo)志著金融工程時(shí)代的到來.由于經(jīng)濟(jì)環(huán)境越來越復(fù)雜,Black-Scholes定價(jià)模型的假設(shè)條件漸漸不符合實(shí)際情況,為了更準(zhǔn)確的預(yù)測期權(quán)的實(shí)際價(jià)格,許多學(xué)者從波動(dòng)率、紅利、利率和交易費(fèi)用等方面不斷完善定價(jià)模型,同時(shí)探索相應(yīng)模型的數(shù)值計(jì)算方法,得到了許多有價(jià)值的成果.Eraker Johannes和Polson擴(kuò)展了貝特的模型,并提出了一種估計(jì)策略,他們還研究標(biāo)準(zhǔn)普爾和納斯克指數(shù)的波動(dòng)結(jié)構(gòu),指出了波動(dòng)率跳過程在模型中的優(yōu)越性,但沒有得到期權(quán)定價(jià)的封閉公式.本文首先對(duì)前人的研究成果進(jìn)行綜述,然后在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵循Eraker Johannes和Polson提出的模型條件下,研究隨機(jī)波動(dòng)率跳擴(kuò)散模型的歐式看跌期權(quán),得到了一個(gè)歐式看跌期權(quán)封閉形式的公式.

1 赫斯頓、貝特、約翰內(nèi)斯和波爾森模型

設(shè)(Ω,F,P)為概率空間,F=(Ft)0≤t≤T,本章所考慮資產(chǎn)定價(jià)和波動(dòng)率過程將在這個(gè)空間中定義.隨機(jī)波動(dòng)率資產(chǎn)價(jià)格模型由赫斯頓定義如下:

(1)

(2)

(3)

Eraker等人[4]提出了一種估計(jì)策略,并給出了參數(shù)估計(jì)、現(xiàn)貨波動(dòng)性、跳躍次數(shù)和跳躍大小,并且使用S&P500指數(shù)和Nasdaq100指數(shù)收益率.此外,他們還研究了標(biāo)準(zhǔn)普爾和納斯達(dá)克指數(shù)的波動(dòng)率結(jié)構(gòu),并且指出波動(dòng)率跳過程在模型中的優(yōu)越性.但他們并沒有提供一個(gè)歐式看跌期權(quán)的價(jià)格封閉公式.我們要考慮的問題是找到一個(gè)歐式看跌期權(quán)封閉形式的公式,其中標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)遵循模型(3).這個(gè)公式不是Eraker工作中的一個(gè)估計(jì),而是對(duì)期權(quán)定價(jià)有一定的作用.

2 模型介紹和偏微分方程

2.1 模型介紹

假定風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度M存在,資產(chǎn)價(jià)格St服從跳擴(kuò)散過程且波動(dòng)率為vt,如下是一個(gè)純粹的均值回復(fù)平方根的跳擴(kuò)散過程,即我們的模型是由以下偏微分方程給出:

(4)

2.2 偏微分方程

(5)

因?yàn)槊恳粋€(gè)復(fù)合泊松過程可以作為一個(gè)泊松隨機(jī)測度[5],所以方程(5)右邊的最后一項(xiàng)可改寫成如下積分形式

設(shè)U(x1,x2)為有界實(shí)值函數(shù),對(duì)于x1,x2二次連續(xù)可微且

(6)

通過二維Dynkin公式配方[6],u由一個(gè)偏積分微分方程(PIDE)求得,即

λ(2)∫R[u(x1,x2+z,t)-u(x1,x2,t)]φz(z)dz,

(7)

3 封閉形式公式的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格

假設(shè)C是看跌期權(quán),t是當(dāng)前時(shí)間,T是到期時(shí)間,St是當(dāng)前時(shí)間t的股票價(jià)格[7],k是執(zhí)行價(jià)格,ST是期權(quán)到期時(shí)間的價(jià)格.標(biāo)的股票St的歐式看跌期權(quán)的最終收益是:max(K-ST,0).只有當(dāng)K>ST時(shí),持有人將行使他的權(quán)得,且增益為K-ST,否則,當(dāng)K≤ST時(shí),持有人購買的期權(quán)價(jià)值為0.

假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率r是恒定的,歐式看跌期權(quán)價(jià)格在時(shí)間t等于預(yù)期收益貼現(xiàn)回報(bào)

C(St,vt,t;k,T)=e-r(T-t)EΜ[max(K-ST,0)|St,vt] =

Ke-r(T-t)P2(St,vt,t;K,T)-StP1(St,vt,t;K,T)

(8)

此外,EM[ST|St,vt]=er(T-t)St,t≥0,

假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格St和波動(dòng)率vt同時(shí)滿足式(4),我們要計(jì)算一個(gè)歐式看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格K.為此,我們引用St到Lt=lnSt變化的變量,即St滿足式(4)和它的逆St=eLt.同時(shí)設(shè)k=lnK是執(zhí)行價(jià)格的對(duì)數(shù).在跳擴(kuò)散鏈規(guī)則中,lnSt滿足:

(9)

應(yīng)用二維Dynkin公式結(jié)合價(jià)格公式(9)和波動(dòng)vt所滿足的微分方程(4),我們得到一個(gè)歐式看跌期權(quán)的價(jià)值,作為一個(gè)股票收益Lt表示如下

即

并且滿足下面的微分方程:

(10)

在目前的狀態(tài)變量下,式(8)的最后一行變?yōu)?/p>

(11)

且在到期時(shí)間t=T的邊界條件是

(12)

且在到期時(shí)間t=T的邊界條件是

(13)

算子A的定義是

λv∫R[f(l,v+z,t;k,T)-f(l,v,T;k,T)]φz(z)dz

(14)

證明 把式(11)代入到式(10)中.首先,我們計(jì)算

(15)

根據(jù)在到期時(shí)間t=T的邊界條件(12),利用算子A的定義, 式(15)轉(zhuǎn)化為

(16)

根據(jù)邊界條件(13),有

關(guān)于變量K特征函數(shù)的定義為

則fj也滿足相似的偏微分方程

(17)

其中當(dāng)k>l時(shí),Ik>l=1否Ik>l=0.

其中j=1,2,Re[·]表示復(fù)數(shù)的實(shí)部,假設(shè)τ=T-t,特征函數(shù)f1由下式給出

f1(l,v,t;x,t+τ)=exp(g1(τ)+vh1(τ)+iX1),

f2(l,v,t;x,t+τ)=exp(g2(τ)+vh2(τ)+ixl+rτ),

其中

證明 求解特征函數(shù)的解析解,令τ=T-t,我們推測函數(shù)f1由下式給出

f1(l,v,t;x,t+τ)=exp(g1(τ)+vh1(τ)+ixl)

(18)

并滿足邊界條件:g1(0)=0=h1(0),這樣的特征函數(shù)f1總是存在.為了替代式(18)為式(17),首先計(jì)算

f1(l+y,v,t;x,t+τ)-f1(l,v,t;x,t+τ)=(eixy-1)f1(l,v,t;x,t+τ),

f1(l,v+z,t;x,t+τ)-f1(l,v,t;x,t+τ)=(ezh1(τ)-1)f1(l,v,t;x,t+τ),

(ey-1)f1(l+y,v,t;x,t+τ)=(ey-1)eg1(τ)+vh1(τ)+ix(l+y)=(ey-1)eixyf1(l,v,t;x,t+τ).

將以上所有條件代入式(17)中,并消除同類項(xiàng),進(jìn)而

合并含V的項(xiàng),則其系數(shù)之和為0,進(jìn)而兩個(gè)常微分方程如下所示

(19)

(20)

設(shè)η1=ρσ(ix+1)-k代入式(20)式可得

所以

對(duì)方程兩邊同時(shí)積分，得到

將上式代入式(20)中,再對(duì)方程兩邊同時(shí)關(guān)于τ積分可得

進(jìn)而f2(l,v,t;x,t+τ)=exp(g2(τ)+vh2(τ)+ixl+rτ),其中g(shù)2(τ),h2(τ),η2和Δ2如引理所示.

(21)

其中j=1,2.

為了證明式(21),首先有

EM[eix(lnSt-lnk)|lnSt=Lt,vt=v]=EM[eix(Lt-k)|Lt=l,vt=v]=

因此

總之,我們已經(jīng)證明了如下定理.

定理3 一個(gè)歐式看跌期權(quán)的價(jià)值

4 總結(jié)

推出了隨機(jī)波動(dòng)跳擴(kuò)散模型,特別波動(dòng)也是跳過程,引用Dynkin公式推導(dǎo)出資產(chǎn)價(jià)格滿足的偏微分方程,并在此基礎(chǔ)上得到了一個(gè)歐式看跌期權(quán)公式,最后運(yùn)用特征函數(shù)的逆變換得到了一個(gè)歐式看跌期權(quán)解析解,這個(gè)解對(duì)跳擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)有重要的作用,為進(jìn)一步研究此類期權(quán)定價(jià)的性質(zhì)有應(yīng)用價(jià)值.

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[責(zé)任編輯：李春紅]

Stochastic Volatility Jump Diffusion Model for Option Pricing

YANG Xiong

(Department of Finance and Trade, Loudi Vocational and Technical College, Loudi Hunan 417000, China)

Heston was presented in this paper, Bert, Johannes and paulson proposed, on the basis of asset price model, presents a jump diffusion process model of mean reversion square root, and through Dynkin formula, obtained the option value of the PDE equations, further analytical solution, and by using the risk neutral probability satisfy the differential equation for validation, finally it is pointed out that by inverter for calculating analytic solution of characteristic function. The solution has important effect to jump diffusion option pricing, in order to further study the nature of such option pricing has certain application value.

jump diffusion model; stochastic volatility; characteristic function; put option; risk neutral probability

2015-04-08

楊雄(1977-)，男，湖南邵陽人，講師，碩士，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué). E-mail: 1977516250qq.com

O29

A

1671-6876(2015)04-0295-08