劉宏偉，尹麗娟

(華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，北京102206)

0 引言

在“工程電磁場(chǎng)”的時(shí)諧電磁場(chǎng)部分教學(xué)中，利用復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋爾方程，通過推導(dǎo)得到了電介質(zhì)復(fù)介電常數(shù)和介質(zhì)損耗角等物理概念。但絕大多數(shù)學(xué)生很難理解復(fù)介電常數(shù)的物理意義，而在教材中由于篇幅所限也沒有對(duì)這方面的內(nèi)容做詳細(xì)地闡述。

本文從時(shí)諧電磁場(chǎng)情況下電介質(zhì)的電極化物理過程出發(fā)，通過理論推導(dǎo)，建立了介質(zhì)損耗與復(fù)介電常數(shù)的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，以電容器為例，得到了時(shí)諧場(chǎng)情況下的等效電路，進(jìn)一步得到電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)實(shí)部和虛部與頻率的關(guān)系，并指導(dǎo)本科生測(cè)量了電介質(zhì)的介質(zhì)損耗角正切，得到了復(fù)介電常數(shù)的頻率特性。實(shí)踐表明，學(xué)生通過該過程的理論學(xué)習(xí)和實(shí)驗(yàn)，能夠較好地理解復(fù)介電常數(shù)這一重要的物理概念，同時(shí)為加強(qiáng)工程電磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容作了一次嘗試。

1 理論推導(dǎo)

介電常數(shù)，又稱電容率，是電位移矢量D與電場(chǎng)強(qiáng)度E之比，其單位為F/m。在靜電場(chǎng)下測(cè)得的介電常數(shù)稱為靜態(tài)介電常數(shù)。在交變電場(chǎng)作用下，因?yàn)殡娊橘|(zhì)的極化強(qiáng)度是電子位移極化、離子位移極化和固有偶極矩取向極化三種極化機(jī)制的和。當(dāng)電介質(zhì)開始受靜電場(chǎng)作用時(shí)，要經(jīng)過一段時(shí)間后，極化強(qiáng)度才能達(dá)到相應(yīng)的數(shù)值，這個(gè)現(xiàn)象稱為極化弛豫，所經(jīng)過的這段時(shí)間稱為弛豫時(shí)間[1]。電子位移極化和離子位移極化的弛豫時(shí)間很短(電子位移極化的弛豫時(shí)間比離子位移極化的還要短)，取向極化的弛豫時(shí)間較長(zhǎng)，所以極化弛豫主要是取向極化造成的。當(dāng)電介質(zhì)受到交變電場(chǎng)的作用時(shí)，由于電場(chǎng)不斷在變化，所以電介質(zhì)中的極化強(qiáng)度也要跟著不斷變化，即極化強(qiáng)度和電位移均隨時(shí)間作周期性的變化。如果交變電場(chǎng)的頻率足夠低，取向極化能跟得上外加電場(chǎng)的變化，這時(shí)電介質(zhì)的極化過程與靜電場(chǎng)作用下的極化過程沒有多大的區(qū)別。由于電場(chǎng)不斷變化，電矩隨之不斷變化而互相碰撞、摩擦引起損耗。如果交變電場(chǎng)的頻率足夠高，電介質(zhì)的極化就會(huì)跟不上外電場(chǎng)的變化而出現(xiàn)滯后，即弛豫現(xiàn)象，那么D與E之間就會(huì)存在相位差，導(dǎo)致介電常數(shù)為一個(gè)復(fù)數(shù)。

所謂介質(zhì)損耗，就是在某一頻率下供給介質(zhì)的電能，其中有一部分因強(qiáng)迫固有偶極矩的轉(zhuǎn)動(dòng)而使介質(zhì)變熱，即一部分電能以熱的形式而消耗。下面從電磁場(chǎng)理論角度做進(jìn)一步推導(dǎo)。

若作用在電介質(zhì)上的交變電場(chǎng)為

由于極化弛豫，電極化強(qiáng)度矢量P和D都將落后與電場(chǎng)E，設(shè)滯后角為δ，則D可寫為

其中，D1=D0cosδ，D2=D0sinδ

復(fù)數(shù)形式的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量為

由式(4)可見，介電常數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)。實(shí)部和虛部都與滯后的角度有關(guān)。在不同的頻率下，滯后的角度也不相同，因而復(fù)介電常數(shù)是角度的函數(shù)，因而也是頻率的函數(shù)。對(duì)于大多數(shù)電介質(zhì)材料，D和E成正比，不過比例系數(shù)不是常數(shù)，而是與頻率有關(guān)。并有

為了反映這個(gè)情況，引入兩個(gè)與頻率有關(guān)的介電常數(shù):

當(dāng)頻率趨近于零時(shí)，極化不出現(xiàn)滯后，這時(shí)相角δ=0°。由此可見，當(dāng)頻率接近于零時(shí)，ε1(ω)就接近于靜態(tài)介電常數(shù)。下面證明在介質(zhì)中以熱的形式所消耗的能量與ε2(ω)有關(guān)。以電容器為例，因?yàn)殡娙萜髦械碾娏鲝?qiáng)度為

其中，σ為電容器板上的自由電荷面密度。在單位體積內(nèi)電介質(zhì)所消耗的平均功率為

可見，能量損失與sinδ成正比。因此，sinδ稱為損耗因子;因?yàn)楫?dāng)δ很小時(shí)，sinδ≈tanδ，所以有時(shí)也稱tanδ為損耗因子。

因?yàn)榻橘|(zhì)損耗與電場(chǎng)強(qiáng)度的頻率、溫度以及極化機(jī)制等都有關(guān)系，是一個(gè)比較復(fù)雜的問題。介質(zhì)損耗大的材料，做成元件質(zhì)量也差，有時(shí)甚至不能使用。所以介質(zhì)損耗的大小是判斷材料性能的重要參數(shù)之一。但要注意在某一頻率范圍的介質(zhì)損耗小，并不等于在所有頻率范圍內(nèi)的介質(zhì)損耗都小。

2 電容器在時(shí)諧電場(chǎng)中的等效電路

本文以電容器為例，建立電容器在時(shí)諧電場(chǎng)中的等效電路來研究復(fù)介電常數(shù)與介質(zhì)損耗的關(guān)系。對(duì)于真空中電容量為C0的理想電容器，如圖1的理想電容器上加角頻率為ω的正弦波交變電壓時(shí)，流過的電流為=jωC0。而理想電容器只是一種假設(shè)，實(shí)際的電容器中通常充滿電介質(zhì)，且電介質(zhì)會(huì)存在泄漏電流，則有[2]，

圖1 理想電容器圖

圖2 充滿電介質(zhì)的電容器

并聯(lián)等效電路描述了由電介質(zhì)的漏電流和復(fù)介電常數(shù)虛部引起的損耗。當(dāng)頻率不太高時(shí)，介質(zhì)的微弱電導(dǎo)產(chǎn)生的漏電流在損耗中占主要地位。在一般情況下，兩種損耗機(jī)制都起作用，如圖3所示。電導(dǎo)率等效的介電常數(shù)虛部σ/ω，隨頻率增大而下降，說明高頻時(shí)，電介質(zhì)極化產(chǎn)生的介質(zhì)損耗逐漸占主導(dǎo)地位，與圖3左部趨勢(shì)一致。在圖3右部中，低頻時(shí)虛部趨于零，在某一頻率達(dá)最大，該曲線對(duì)應(yīng)極化損耗，其最大點(diǎn)一般對(duì)應(yīng)某些偶極子微觀運(yùn)動(dòng)的諧振頻點(diǎn)。從實(shí)驗(yàn)中所測(cè)出的復(fù)介電常數(shù)的頻率關(guān)系可以看出哪一種損耗機(jī)制是起主要作用的。

圖3 ε1和ε2與頻率的關(guān)系

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，我們指導(dǎo)本科生測(cè)量了平板電容器的電容和介質(zhì)損耗角正切，進(jìn)一步得出電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)實(shí)部和虛部與頻率的關(guān)系。由于介質(zhì)的各種極化機(jī)制在不同的頻率范圍有不同的響應(yīng)，且不同頻率下產(chǎn)生不同的電導(dǎo)率，所以介質(zhì)的介電常數(shù)和介電損耗都是隨頻率的變化而變化的。

實(shí)驗(yàn)采用的電容器極板為圓形，直徑為A，取20cm，極板間距d為3.4mm。則相對(duì)介電常數(shù)可由下式求出

采用TH2816寬頻LCR數(shù)字電橋測(cè)量電容器的電容和介質(zhì)損耗角正切，該儀器的測(cè)量范圍可達(dá)107Hz，電容器用可以容易獲得的打印紙作為電介質(zhì)，相對(duì)介電常數(shù)為2.5(靜態(tài)值)。實(shí)驗(yàn)中可以直接得到C和tanδ，由式(15)求得復(fù)介電常數(shù)的實(shí)部，由εr2=εr1×tanδ進(jìn)一步可求得虛部。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，由圖可見εr1為2.5，且隨著頻率幾乎不變，這從一方面驗(yàn)證了該介質(zhì)的靜態(tài)相對(duì)介電常數(shù)為2.5;另一方面隨著頻率增加，略微偏離2.5的實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明介質(zhì)損耗角比較小。圖中εr2隨著頻率的增加而下降，說明由電導(dǎo)率引起的介電常數(shù)虛部起的作用逐步減小，而主要是與介質(zhì)極化對(duì)應(yīng)的虛部起作用。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和曲線趨勢(shì)與理論基本吻合。

圖4 相對(duì)復(fù)介電常數(shù)與頻率的關(guān)系

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)復(fù)介電常數(shù)的物理概念，以及介質(zhì)損耗與復(fù)介電常數(shù)的關(guān)系，通過理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)研究得出了復(fù)介電常數(shù)的實(shí)部、虛部與頻率的關(guān)系。實(shí)踐表明，以上工作不僅加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)復(fù)介電常數(shù)的理解，達(dá)到了教學(xué)研究的目的。而且關(guān)于電介質(zhì)復(fù)介電常數(shù)的測(cè)量可以作為工程電磁場(chǎng)課程實(shí)驗(yàn)教學(xué)的一個(gè)新內(nèi)容。

[1]殷之文，《電介質(zhì)物理學(xué)(第二版)》[M]，北京:科學(xué)出版社，2003

[2]倪光正，《工程電磁場(chǎng)原理(第二版)》[M]，北京:高等教育出版社，2009

[3]張三慧，《電磁學(xué)(第二版)》[M]，北京:清華大學(xué)出版社，1999