胥中勝

數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)解題中的應(yīng)用

胥中勝

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)和形是數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雙基”，用數(shù)形結(jié)合的思想在教學(xué)中把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，不但能夠讓一下圖像形狀變成數(shù)字進(jìn)而進(jìn)行變形，而且能使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，把數(shù)學(xué)題目中的一些抽象的數(shù)量關(guān)系和一些隱藏的條件關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，在具體的幾何圖形中，通過(guò)圖形之間的聯(lián)系和幾何意義建立數(shù)量之間的聯(lián)系，由此就可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、變難為易的目的。

數(shù)形結(jié)合；解題；應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想是一種把一些文字，一些數(shù)字特點(diǎn)的信息用形象的形狀轉(zhuǎn)換出來(lái)，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常用圖形的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明數(shù)和文字的事實(shí)，同時(shí)又將文字和數(shù)的抽象的性質(zhì)轉(zhuǎn)變?yōu)樾蔚姆绞?。這樣讓數(shù)和形聯(lián)系得更加緊密。在解答數(shù)學(xué)題中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法，從圖形的性質(zhì)著手分析，讓數(shù)學(xué)中許多抽象的概念、定理更為直觀、形象使理解起來(lái)更為簡(jiǎn)單，配合代數(shù)的計(jì)算和分析的嚴(yán)謹(jǐn)使解答起來(lái)更加方便。下面我們可以從集合和絕對(duì)值問(wèn)題方面來(lái)闡述數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)解題中的應(yīng)用。

一、集合問(wèn)題

在集合的運(yùn)算中，通常借助數(shù)軸、韋恩圖來(lái)表示，在圖形上反應(yīng)，并處理集合的交、并、補(bǔ)等集合運(yùn)算，使問(wèn)題在圖形上直觀的反應(yīng)出來(lái)，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，這樣讓運(yùn)算變得快捷。

例：某年級(jí)先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂(lè)的講座，其中有75人聽(tīng)了數(shù)學(xué)講座，68人聽(tīng)了歷史講座，61人聽(tīng)了音樂(lè)講座，17人同時(shí)聽(tīng)了數(shù)學(xué)、歷史講座，12人同時(shí)聽(tīng)了數(shù)學(xué)、音樂(lè)講座，9人同時(shí)聽(tīng)了歷史音樂(lè)、講座，還有6人聽(tīng)了全部講座，求聽(tīng)講座的人數(shù)。

分析：由于75人聽(tīng)了數(shù)學(xué)講座，68人聽(tīng)了歷史講座，61人聽(tīng)了音樂(lè)講座，則這三個(gè)組共有75+68+61人，17人同時(shí)聽(tīng)了數(shù)學(xué)、歷史講座，12人同時(shí)聽(tīng)了數(shù)學(xué)、音樂(lè)講座，9人同時(shí)聽(tīng)了歷史、音樂(lè)講座，還有6人聽(tīng)了全部講座，根據(jù)容斥原理可知，聽(tīng)講座的共有68+75+61-（17+12+9）+6人。

解：68+75+61-（17+12+9）+6=204-38+6=172.

所以，聽(tīng)講座的人數(shù)為：172人。

在本例的求解中回避了抽象分析的思路,根據(jù)韋恩圖我們很容易直觀的發(fā)現(xiàn)題意中所隱藏的等量關(guān)系,從而此問(wèn)題變可以迎刃而解。

小結(jié):運(yùn)用韋恩圖在解答集合題上,實(shí)質(zhì)則是將用文字和數(shù)字表達(dá)的集合含義轉(zhuǎn)化為用圖形語(yǔ)言來(lái)闡述,這樣顯得更為直觀，才不會(huì)被題中的含義繞暈，這就是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的具體體現(xiàn)。在解答這類(lèi)問(wèn)題中運(yùn)用好韋恩圖可以提高解題的速度和提高數(shù)學(xué)思維的能力。

二、絕對(duì)值問(wèn)題

例：已知實(shí)數(shù)a,b的位置如圖所示，以下計(jì)算正確的是（ ）

分析：此題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，絕對(duì)值與數(shù)軸等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，能正確判斷實(shí)數(shù) 的正負(fù)以及絕對(duì)值大?。?/p>

解：根據(jù)圖形可知：∵a在b的左邊，∴a ＜b，∴選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∵a與b符號(hào)相反，且a到原點(diǎn)的距離大于b到原點(diǎn)的距離，∴a＋b＜0，ab ＜0，與b符號(hào)相反，且a到原形是數(shù)學(xué)的重要組成部，∴選項(xiàng)A與C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選D．

在數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)和形是數(shù)學(xué)的重要組成部分，是提高數(shù)學(xué)思維能力和培養(yǎng)數(shù)學(xué)修養(yǎng)的重要因素。在中學(xué)階段不僅是要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力及發(fā)展學(xué)生的智力，把數(shù)字形象化這樣有利于開(kāi)發(fā)學(xué)生想象思維，提高學(xué)生的智力的突破口。學(xué)生數(shù)學(xué)能力的差異主要是通過(guò)數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性，敏捷性等方式來(lái)體現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性。因此在中學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合不僅是一種解題方法，又是一種培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)的、不可缺少的數(shù)學(xué)思想。將數(shù)形結(jié)合方法運(yùn)用到解答中主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面是是將題目中的數(shù)據(jù)，條件，關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的圖形，通過(guò)圖形更直觀的分析題中需要解決的問(wèn)題，分析其幾何意義；另一方面：則是將一些圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的函數(shù)關(guān)系、限制條件，通過(guò)數(shù)字進(jìn)行相應(yīng)的變距離，∴a＋b＜0，ab力和培養(yǎng)數(shù)學(xué)修養(yǎng)的重僅是要培養(yǎng)學(xué)生的解題生的思維能力及發(fā)展學(xué)化這樣有利于開(kāi)發(fā)學(xué)生智力的突破口。學(xué)生數(shù)過(guò)數(shù)學(xué)思維的靈活性、來(lái)體現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合有利活性和深刻性。因此在不僅是一種解題方法，礎(chǔ)的、不可缺少的數(shù)學(xué)運(yùn)用到解答中主要體現(xiàn)是將題目中的數(shù)據(jù)，條圖形，通過(guò)圖形更直觀一些圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的通過(guò)數(shù)字進(jìn)行相應(yīng)的變C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故問(wèn)題，分析其幾何意換得到處理。二者都是數(shù)形結(jié)合，不可單看一方面。

由于數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要求教師在長(zhǎng)期的教學(xué)過(guò)程中潛移默化的讓學(xué)生掌握，而不僅僅是依靠幾節(jié)課專(zhuān)門(mén)針對(duì)數(shù)形結(jié)合解題方法來(lái)講解例子，因?yàn)檫@樣是不能讓學(xué)生真正理解和掌握數(shù)形結(jié)合思想方法的。

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(作者單位：四川平昌縣尖山小學(xué))