黃攀峰，張 帆，劉彬彬，馬 駿

（1．西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院智能機(jī)器人研究中心，陜西西安710072；2．西北工業(yè)大學(xué)航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710072）

輻射開環(huán)空間繩系機(jī)器人編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速最優(yōu)控制

黃攀峰1，2，張 帆1，2，劉彬彬1，2，馬 駿1，2

（1．西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院智能機(jī)器人研究中心，陜西西安710072；2．西北工業(yè)大學(xué)航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710072）

輻射開環(huán)空間繩系機(jī)器人（tethered space robot，TSR）編隊(duì)是一種新型的空間繩系編隊(duì)系統(tǒng)，其在構(gòu)型穩(wěn)定性、任務(wù)靈活性以及燃料消耗方面具有明顯的優(yōu)勢。研究了輻射開環(huán)TSR編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速最優(yōu)控制問題。首先建立了輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的自旋動力學(xué)模型；然后對編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制問題以及hp－自適應(yīng)偽譜法求解最優(yōu)控制問題的基本原理進(jìn)行了描述，并設(shè)計了基于hp－自適應(yīng)偽譜法的編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)；最后通過仿真算例對設(shè)計的閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證和分析。

空間繩系機(jī)器人編隊(duì)；輻射開環(huán)；自旋轉(zhuǎn)速；最優(yōu)控制

0 引 言

空間繩系機(jī)器人（tethered space robot，TSR）是一種新型的具有繩系結(jié)構(gòu)的空間機(jī)器人系統(tǒng)［1－8］，其主要應(yīng)用于空間在軌捕獲和軌道清理任務(wù)。輻射開環(huán)TSR編隊(duì)系統(tǒng)是一種新型的采用輻射開環(huán)編隊(duì)構(gòu)型的TSR編隊(duì)系統(tǒng)，由一個空間平臺、多個TSR及多根繩系組成?？臻g平臺具備多繩系回收、釋放及控制能力，以輻射開環(huán)形式通過繩系與TSR連接，空間平臺能夠通過自身的執(zhí)行機(jī)構(gòu)產(chǎn)生自旋運(yùn)動，進(jìn)而促使整個編隊(duì)構(gòu)型以一定的角速度在空間中進(jìn)行自旋運(yùn)動，利用自旋運(yùn)動產(chǎn)生的離心力維持各TSR繩系的張力并保持編隊(duì)構(gòu)型。特殊的編隊(duì)形式和自旋運(yùn)動使得輻射開環(huán)TSR編隊(duì)系統(tǒng)具有以下優(yōu)點(diǎn)：

（1）繩系結(jié)構(gòu)和自旋運(yùn)動使得編隊(duì)構(gòu)型獲得較高的穩(wěn)定性，并能減少維持編隊(duì)構(gòu)型所需的燃料消耗；

（2）通過控制各TSR繩系的收放進(jìn)而能夠改變編隊(duì)系統(tǒng)構(gòu)型，提高空間任務(wù)靈活性；

（3）相比各TSR首尾相互連接的閉環(huán)形式的編隊(duì)構(gòu)型，輻射開環(huán)形式的編隊(duì)構(gòu)型中，整個編隊(duì)系統(tǒng)的自旋運(yùn)動以及TSR繩系的收放和控制均可以由處于編隊(duì)中心的空間平臺實(shí)現(xiàn)，控制方式簡單。

基于以上優(yōu)點(diǎn)，輻射開環(huán)TSR編隊(duì)系統(tǒng)在多種空間任務(wù)中具有潛在應(yīng)用價值，包括空間多點(diǎn)觀測，太陽帆、大型空間天線、大型太陽能電池板等空間輕質(zhì)膜、網(wǎng)結(jié)構(gòu)的柔性支撐，具有輕質(zhì)量、低成本的特點(diǎn)。

自旋運(yùn)動能夠促進(jìn)編隊(duì)構(gòu)型的穩(wěn)定，也是輻射開環(huán)TSR編隊(duì)在大多數(shù)空間任務(wù)中的主要運(yùn)動狀態(tài)。不僅在空間觀測等需要連續(xù)改變編隊(duì)中各TSR相對位置的空間任務(wù)中具有重要意義，而且在太陽帆支撐、構(gòu)建空間柔性平臺等空間任務(wù)中也能夠依靠自旋運(yùn)動產(chǎn)生的離心力達(dá)到穩(wěn)定柔性結(jié)構(gòu)的目的，即達(dá)到利用自旋運(yùn)動產(chǎn)生的離心力保持編隊(duì)構(gòu)型的目的。另外，特殊的輻射開環(huán)構(gòu)型使得整個編隊(duì)的展開、保持、重構(gòu)以及自旋運(yùn)動的控制等都可以由空間平臺單獨(dú)完成?？梢娮孕\(yùn)動對輻射開環(huán)TSR編隊(duì)具有極其重要的意義。自旋轉(zhuǎn)速是用來衡量編隊(duì)自旋運(yùn)動快慢的主要物理量。從實(shí)際應(yīng)用方面來說，不同的空間任務(wù)中所要求的編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速不同，而且同一空間任務(wù)中也有可能要求自旋轉(zhuǎn)速根據(jù)需要發(fā)生變化。因此，編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制是輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的關(guān)鍵技術(shù)之一。

輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的自旋轉(zhuǎn)速最優(yōu)控制問題可以描述為：在某種條件約束下（編隊(duì)構(gòu)型約束、控制量約束等），依靠空間平臺的自旋扭矩控制編隊(duì)的自旋轉(zhuǎn)速沿著一定的軌跡，從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的最終狀態(tài)，并滿足某種指標(biāo)最優(yōu)（燃料消耗最少或轉(zhuǎn)移時間最短）。本文針對輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的自旋轉(zhuǎn)速最優(yōu)控制問題展開研究。首先在合理假設(shè)條件下建立了輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的自旋動力學(xué)模型；然后對編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制問題以及hp－自適應(yīng)偽譜法求解最優(yōu)控制問題的基本原理進(jìn)行了描述，并設(shè)計了基于hp－自適應(yīng)偽譜法的編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速閉環(huán)最優(yōu)控制器；最后通過仿真算例對提出的最優(yōu)控制器進(jìn)行了驗(yàn)證和分析。

1 編隊(duì)自旋動力學(xué)

1．1 建模假設(shè)

圖1為輻射開環(huán)TSR編隊(duì)構(gòu)型和典型空間應(yīng)用示意圖。其自旋動力學(xué)模型與一般繩系衛(wèi)星模型的主要差別在于：前者的繩系長度在100m量級，而后者大多在10km甚至100km量級；另外，前者在二維平面內(nèi)進(jìn)行自旋運(yùn)動，面外運(yùn)動可忽略，各TSR的繩系始終保持直線張緊狀態(tài)，系繩拉力作為離心力來保持編隊(duì)構(gòu)型，而后者并不自旋，繩系拉力可作為控制量（僅能提供拉力）。因此，繩系的質(zhì)量和柔性特性的影響相對于繩系衛(wèi)星模型來說便可以忽略。另外，由于繩系較短，決定了整個編隊(duì)的孔徑較小，因此在空間環(huán)境下重力梯度、軌道攝動等外部因素的影響較小，可忽略。

圖1 輻射開環(huán)TSR編隊(duì)

文獻(xiàn)［9－15］中關(guān)于空間柔性網(wǎng)展開的研究為輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的動力學(xué)建模提供了一種新的思路，即從自旋運(yùn)動的特性出發(fā)建立輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的自旋動力學(xué)模型。理想的輻射開環(huán)TSR編隊(duì)系統(tǒng)中各TSR相對空間平臺對稱分布，因此編隊(duì)系統(tǒng)自旋運(yùn)動時各TSR的運(yùn)動也完全相同，因此本文以結(jié)構(gòu)最為簡單的二體輻射開環(huán)TSR編隊(duì)系統(tǒng)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)并建立輻射開環(huán)TSR編隊(duì)系統(tǒng)自旋運(yùn)動的動力學(xué)模型。建模過程中將空間平臺看作具有一定轉(zhuǎn)動半徑的剛體輪轂，各TSR看作質(zhì)點(diǎn)，空間平臺通過執(zhí)行機(jī)構(gòu)能夠提供一定的自旋扭矩，并能夠很好地控制各TSR的繩系拉力；另外，忽略形變、摩擦和環(huán)境因素引起的能量耗散。

1．2 參考系與坐標(biāo)定義

圖2為二體輻射開環(huán)TSR編隊(duì)系統(tǒng)簡化結(jié)構(gòu)示意圖，編隊(duì)系統(tǒng)中包括空間平臺和與空間平臺依靠繩系連接的兩個TSR（TSR1和TSR2）。圖中O1為空間平臺的幾何中心，O2為TSR1的繩系與空間平臺的連接點(diǎn)，分別以O(shè)1和O2為原點(diǎn)建立參考坐標(biāo)系O1x1y1和O2x2y2，其中O2x2沿TSR1繩系方向，O2y2垂直于O2x2。為了描述方便，將連接TSR1和TSR2的兩條繩系稱為旋臂1和旋臂2。設(shè)旋臂1和旋臂2的長度大小分別為L1和L2，設(shè)旋臂1和旋臂2承受的繩系拉力大小分別為T1和T2，TSR1和TSR2質(zhì)量分別為m1和m2，空間平臺的轉(zhuǎn)動半徑和轉(zhuǎn)動慣量分別為r0和I，空間平臺提供的自旋扭矩為M。

圖2 二體輻射開環(huán)TSR編隊(duì)簡化模型

1．3 自旋動力學(xué)模型

設(shè)參考坐標(biāo)系O1x1y1和O2x2y2中的單位坐標(biāo)列陣分別為

式中，ex1、ey1、ex2和ey2分別為坐標(biāo)系O1x1y1和O2x2y2中的單位坐標(biāo)向量。輻射開環(huán)TSR編隊(duì)系統(tǒng)自旋過程中，空間平臺在旋轉(zhuǎn)的同時受到TSR1和TSR2的繩系拉力作用。由于假設(shè)條件中將空間平臺看作剛體輪轂，因此坐標(biāo)系O1x1y1中，由剛體定軸轉(zhuǎn)動角動量定理可得

式中，θ、φ1和φ2的定義如圖2所示（下文中將角度偏差φ1和φ2稱為旋臂角）；ω為空間平臺的自旋角速度。顯然各TSR受到的外力只有空間平臺連接的繩系的拉力，對于TSR1有

由泊松公式可以得到

將式（5）和式（6）代入式（4），并將ex1、ey1投影在O2x2y2坐標(biāo)系中，整理可得

進(jìn)而可以得到

同理，對于TSR2有

綜合式（3）、式（8）和式（9）可得

式（10）即為二體輻射開環(huán)TSR編隊(duì)系統(tǒng)自旋運(yùn)動時的動力學(xué)模型，進(jìn)一步可擴(kuò)展到n體輻射開環(huán)TSR編隊(duì)系統(tǒng)的情況

式中，Ln為連接TSRn的旋臂n的長度；Tn為旋臂n承受的繩系拉力；mn為TSRn的質(zhì)量；φn為旋臂n的旋臂角。式（11）即為n體輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的自旋動力學(xué)模型，是具有2n＋1個非線性微分方程的方程組。

本文將對輻射開環(huán)TSR編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速最優(yōu)控制問題展開研究。首先在式（11）的基礎(chǔ)上提出以下假設(shè)條件：

（1）編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制過程中各旋臂的長度不變且相等，即

（2）各TSR具有相同的質(zhì)量，即

在以上假設(shè)條件下，輻射開環(huán)TSR編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制過程中，各旋臂承受的繩系拉力變化將完全相同，各旋臂的變化也將完全相同。此時式（11）可以寫為

式中，T為編隊(duì)中旋臂承受的繩系拉力；φ為編隊(duì)中的旋臂角；L為編隊(duì)中旋臂的長度。

2 編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速最優(yōu)控制

2．1 編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速最優(yōu)控制問題

自旋運(yùn)動是輻射開環(huán)TSR編隊(duì)大多數(shù)空間任務(wù)中的主要運(yùn)動狀態(tài)。自旋轉(zhuǎn)速是衡量編隊(duì)自旋運(yùn)動快慢的主要物理量。實(shí)際應(yīng)用中，不同的空間任務(wù)中所要求的編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速不同，而且同一空間任務(wù)中也有可能要求自旋轉(zhuǎn)速根據(jù)需要發(fā)生變化。從第1節(jié)內(nèi)容可以看到，輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的自旋動力學(xué)模型是由多個非線性微分方程組成的復(fù)雜的方程組，其分析和計算都非常復(fù)雜，從而對編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制的研究造成了一定的難度。

一般情況下，希望輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的自旋轉(zhuǎn)速發(fā)生變化后，編隊(duì)仍然能夠保持理想的輻射開環(huán)構(gòu)型并以變化后的自旋轉(zhuǎn)速作勻速自旋運(yùn)動。理想的輻射開環(huán)構(gòu)型要求旋臂角φ及其角速度˙φ保持為零值，同時自旋轉(zhuǎn)速ω保持恒定值。因此將φ、˙φ和ω作為編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制任務(wù)中需要控制的狀態(tài)變量。另外，從式（14）可以看到，輻射開環(huán)TSR編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制過程中，可能的控制量包括空間平臺的自旋扭矩M和各旋臂的繩系拉力T。但是考慮到旋臂的繩系拉力需要提供編隊(duì)自旋運(yùn)動過程所需要的離心力，其大小將根據(jù)編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速的變化而變化。在這種情況下，旋臂繩系拉力能夠提供的控制量大小必然非常有限，其實(shí)現(xiàn)也非常困難。另一方面，空間任務(wù)有可能要求編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速發(fā)生較大范圍、快速的變化，因此需要較大的控制量來實(shí)現(xiàn)編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速的控制。綜合以上考慮，本文將采用實(shí)現(xiàn)較為簡單，且能提供較大控制量的空間平臺的自旋扭矩M作為編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制過程的控制量。

最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的一個重要組成部分。其所研究的問題是：對一個控制系統(tǒng)，在給定的性能指標(biāo)要求下，如何選擇控制規(guī)律，使性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)（極值）。將輻射開環(huán)TSR編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制問題用最優(yōu)控制理論進(jìn)行求解，即尋找最優(yōu)控制變量u＊（t），在一系列約束條件下，使得編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制過程中控制量（空間平臺的自旋扭矩M）的消耗達(dá)到最少，或者所用的時間最少，寫成目標(biāo)函數(shù)的形式，即為

在約束條件方面，主要包括動力學(xué)約束、路徑約束以及終端約束。取狀態(tài)變量為

取控制量為

則由式（14）可以得到

式（18）即為編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制過程的動力學(xué)約束。狀態(tài)變量ω、φ和，控制量M也需要滿足一定的條件，即路徑約束

另外，編隊(duì)系統(tǒng)自旋轉(zhuǎn)速的初始狀態(tài)和最終狀態(tài)也需要滿足一定的終端約束

2．2 hp－自適應(yīng)偽譜法基本原理

hp－自適應(yīng)偽譜算法為經(jīng)典的Guass偽譜算法和有限元法的結(jié)合，相對傳統(tǒng)的Guass偽譜算法，它在求解復(fù)雜的非光滑問題時，精度更高且收斂速度更快。本文采用hp－自適應(yīng)偽譜算法求解輻射開環(huán)TSR編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制過程的最優(yōu)解。

針對式（15）、式（18）～式（21）構(gòu)成的最優(yōu)控制問題，hp－自適應(yīng)偽譜算法首先將時域區(qū)間分為若干段，并在每段上選取一定數(shù)量的Legendre－Gauss點(diǎn)作為配點(diǎn)，然后在每個單元上利用Lagrange多項(xiàng)式逼近系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制變量，并通過插值函數(shù)的微分和被積函數(shù)的高斯積分來近似系統(tǒng)的狀態(tài)微分和性能指標(biāo)，從而將連續(xù)的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為離散的非線性規(guī)劃問題，最后通過使用自適應(yīng)的配點(diǎn)調(diào)整策略和相關(guān)的規(guī)劃求解算法求解離散后的非線性規(guī)劃問題，從而實(shí)現(xiàn)對于最優(yōu)控制問題的求解。由以上的分析可知，hp－自適應(yīng)偽譜算法主要包括兩個部分。

2．2．1 Legendre－Gauss－Radau離散

通過K＋1個節(jié)點(diǎn)（0＝t0＜t1＜…＜tk＝T）將最優(yōu)控制問題在t∈［0，T］上分為K個單元，對于任意單元k，通過以下變換將時間區(qū)間由t∈［tk－1，tk］轉(zhuǎn)換到τ∈［－1，＋1］：

將系統(tǒng)的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為

將系統(tǒng)的動力學(xué)約束轉(zhuǎn)換為

同理可以實(shí)現(xiàn)對路徑約束條件和邊界約束條件的轉(zhuǎn)換。這樣的分段方式還引入了內(nèi)點(diǎn)約束

在任意單元k上選取Nk個LG點(diǎn)，并使用分段的起始點(diǎn)τ＝－1和所選取的LG點(diǎn)構(gòu)造Nk＋1階的Lagrange插值多項(xiàng)式，則有

其中

系統(tǒng)性能指標(biāo)可進(jìn)一步離散化為

式中，i＝1，2，…，Nk，矩陣D滿足

式中，i＝1，2，…，Nk；j＝1，2，…，Nk＋1。任意單元k上的終端狀態(tài)可以近似為

將式（26）和式（31）代入系統(tǒng)的路徑約束、邊界約束和內(nèi)點(diǎn)約束，從而可以將系統(tǒng)的路徑約束條件和終端約束條件離散化為

在完成對于指標(biāo)函數(shù)和系統(tǒng)約束的經(jīng)典Guass偽譜算法離散后，連續(xù)的最優(yōu)控制問題就轉(zhuǎn)化為了離散的非線性規(guī)劃問題。

2．2．2 hp－自適應(yīng)配點(diǎn)調(diào)整

對于任意的單元，選取相鄰兩個配點(diǎn)的中點(diǎn)，令

由式（26）計算系統(tǒng)的狀態(tài)向量矩陣X（k）∈RNk×n以及控制向量矩陣U（k）∈RNk×m，定義重點(diǎn)殘差矩陣＾R1和＾R2為

式中，m、n和q分別表示狀態(tài)變量、控制變量和路徑約束的維數(shù)。定義單元k上的殘差e（k）為

取矩陣＾R1每一行的最大值組成列向量r（k），引入規(guī)范化殘差向量

式中，r（k）為算數(shù)平均值，滿足

按照以下步驟進(jìn)行自適應(yīng)配點(diǎn)調(diào)整：

步驟1 若e（k）小于設(shè)定的閾值，則不進(jìn)行調(diào)整；

步驟2 若e（k）大于設(shè)定的閾值，且e（k）為矩陣＾R2中的元素，則在不滿足路徑約束處重新分段；

步驟3 若e（k）大于設(shè)定的閾值，且e（k）為矩陣＾R1中的元素，β（k）中的元素數(shù)量級相近，則通過增加單元內(nèi)的配點(diǎn)數(shù)來減小誤差；

步驟4 若e（k）大于設(shè)定的閾值，且e（k）為矩陣＾R1中的元素，β（k）中的元素數(shù)量級相差較大，則在最大元素對應(yīng)點(diǎn)處重新進(jìn)行分段。

2．3 閉環(huán)最優(yōu)控制器設(shè)計

利用hp－自適應(yīng)偽譜算法可以得到輻射開環(huán)TSR編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制過程中的最優(yōu)控制u＊（t）和最優(yōu)狀態(tài)軌跡x＊（t）。為了保證編隊(duì)的自旋轉(zhuǎn)速能夠沿著規(guī)劃的軌跡變化，本文設(shè)計了如圖3所示的閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)。

圖3 閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)

首先通過基于hp－自適應(yīng)偽譜法的求解器獲得編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速的理想控制律u＊（t）和理想狀態(tài)變化x＊（t），然后通過PD控制器對真實(shí)測量的狀態(tài)變化x（t）與理想狀態(tài)x＊（t）之間的偏差進(jìn)行控制，進(jìn)而將PD控制器輸出與理想控制律u＊（t）的和作為閉環(huán)控制的輸出u（t），最后通過u（t）對輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的自旋轉(zhuǎn)速進(jìn)行控制。其中δ（t）為測量誤差。

3 仿真算例與分析

本節(jié)將通過數(shù)字仿真的形式，對提出的輻射開環(huán)TSR編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證和分析。仿真場景設(shè)計如下：初始狀態(tài)時二體輻射開環(huán)TSR編隊(duì)以ω＝π／12的角速度在空間中作勻速自旋運(yùn)動，此時旋臂角和旋臂角速度均為0。空間任務(wù)要求編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速加速到ω＝π／3，并以ω＝π／3的自旋轉(zhuǎn)速繼續(xù)進(jìn)行勻速自旋運(yùn)動。編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速的加速過程中要求旋臂角滿足一定的約束條件，當(dāng)加速結(jié)束后，旋臂角及其加速度變?yōu)?。

仿真過程中PD控制器的參數(shù)根據(jù)實(shí)際的仿真效果進(jìn)行調(diào)整。假設(shè)空間平臺的自旋扭矩M為幅值有限的連續(xù)可控量。另外，仿真過程中利用Matlab環(huán)境的基于hp－自適應(yīng)偽譜法的最優(yōu)控制工具箱GPOPS，獲得輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的理想控制u＊（t）和理想狀態(tài)x＊（t）。實(shí)際應(yīng)用中，狀態(tài)測量都可能會產(chǎn)生誤差，因此為了驗(yàn)證閉環(huán)控制回路控制策略的有效性，仿真中在閉環(huán)控制回路中增加了測量誤差。設(shè)測量誤差δ（t）為幅值在［－0．05，0．05］之間均勻分布的噪聲。其他主要仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

3．1 仿真算例1

目標(biāo)函數(shù)的選取以空間平臺的自旋扭矩消耗最少為原則，即

動力學(xué)約束采用式（18），路徑約束取為

注意到旋臂角φ被限制在－π／2到＋π／2之間，這是因?yàn)樾劢铅粘鲞@個角度限制時，由于二體輻射開環(huán)構(gòu)型的幾何特性，旋臂將與空間平臺發(fā)生纏繞。為了避免纏繞現(xiàn)象，旋臂角的角速度限制在－π／2～＋π／2之間。終端約束取為

以上終端約束要求編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速的初始狀態(tài)時和最終狀態(tài)時，編隊(duì)的自旋轉(zhuǎn)速保持不變，旋臂角及其角速度也保持零值，即保證編隊(duì)最終狀態(tài)時編隊(duì)構(gòu)型和自旋運(yùn)動的穩(wěn)定性。

在以上目標(biāo)函數(shù)和約束條件下，編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖4～圖7所示。

圖4～圖6分別為閉環(huán)最優(yōu)控制策略作用下編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速ω、旋臂角φ和旋臂角角速度˙φ隨時間的變化情況，同時圖中還將各狀態(tài)變量的理想值和實(shí)際值進(jìn)行了比較。編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速ω、旋臂角φ和旋臂角角速度˙φ的理想值是基于hp－自適應(yīng)偽譜算法的求解器得出的最優(yōu)狀態(tài)軌跡。

圖4 ω隨時間變化曲線（仿真算例1）

圖5 φ隨時間變化曲線（仿真算例1）

圖6 ˙φ隨時間變化曲線（仿真算例1）

從圖中可以看到，在滿足約束條件的前提下，編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速ω、旋臂角φ和旋臂角角速度˙φ的理想值能夠有效地從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的終值狀態(tài)，其實(shí)際值在閉環(huán)控制策略的作用下也能夠很好地跟蹤理想值的變化。

圖7為控制量M的理想值和實(shí)際值隨時間的變化曲線。從圖中可以看到，hp－自適應(yīng)偽譜法求解的理想控制量M是約束條件下較為平滑的曲線，而圖中M的實(shí)際值為沿著理想值曲線作小幅度振蕩的曲線，但M的實(shí)際值總體變化趨勢與理想值相同。這是因?yàn)殚]環(huán)控制回路中有按測量誤差進(jìn)行控制的PD控制器，實(shí)際控制量u（t）是hp－自適應(yīng)偽譜法求解的理想的u＊（t）與PD控制器輸出的控制量之和。

圖7 M隨時間變化曲線（仿真算例1）

3．2 仿真算例2

目標(biāo)函數(shù)以控制時間最短為原則，即

動力學(xué)模型采用式（18），路徑約束同算例1中式（40），終端約束取為

在以上目標(biāo)函數(shù)和約束條件下，編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果如圖8～圖11所示。圖8～圖10分別為閉環(huán)最優(yōu)控制策略作用下編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速ω、旋臂角φ和旋臂角角速度˙φ隨時間的變化情況，圖中將各狀態(tài)變量的理想值和實(shí)際值進(jìn)行了比較。與算例1相同，編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速ω、旋臂角φ和旋臂角角速度˙φ的理想值是基于hp－自適應(yīng)偽譜算法的求解器得出的最優(yōu)狀態(tài)軌跡。采用控制時間最短為原則的目標(biāo)函數(shù)時，基于hp－自適應(yīng)偽譜算法求解出的最優(yōu)控制u＊（t）作用下的編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速ω、旋臂角φ和旋臂角角速度˙φ從初值狀態(tài)轉(zhuǎn)移到最終狀態(tài)所消耗的最短控制時間為tf＝53．50s。

圖8 ω隨時間變化曲線（仿真算例2）

圖9 φ隨時間變化曲線（仿真算例2）

圖10隨時間變化曲線（仿真算例2）

另外，從圖中可以看到，在滿足約束條件的前提下，編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速ω、旋臂角φ和旋臂角角速度的理想值能夠有效地從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的終值狀態(tài)，其實(shí)際值在閉環(huán)控制策略的作用下也能夠很好地跟蹤理想值的變化。但是無論是理想值還是實(shí)際值，編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速ω、旋臂角φ和旋臂角角速度的變化曲線均不如算例1中以控制量消耗最少為原則的目標(biāo)函數(shù)情況下的仿真曲線平穩(wěn)。編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速ω的轉(zhuǎn)移曲線振蕩較為明顯，旋臂角φ在轉(zhuǎn)移過程中也一度接近了約束條件的邊界。因此在式（42）中的目標(biāo)函數(shù)情況下，能夠獲得最短的控制時間，但在相同的狀態(tài)約束條件下，編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)移過程不及算例1中編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)移軌跡平穩(wěn)。

圖11為控制量M的理想值和實(shí)際值隨時間的變化曲線。與算例1類似，理想控制量M是約束條件下較為平滑的曲線，而M的實(shí)際值為沿著理想值曲線作小幅度振蕩的曲線，但M的實(shí)際值總體變化趨勢與理想值相同。與算例1相比，由于目標(biāo)函數(shù)要求以最短的時間實(shí)現(xiàn)編隊(duì)的自旋轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)移過程，因此控制量M的消耗量更大。

圖11 M隨時間變化曲線（仿真算例2）

4 結(jié) 論

編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制是輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的關(guān)鍵技術(shù)之一。本文研究了輻射開環(huán)TSR編隊(duì)的自旋轉(zhuǎn)速最優(yōu)控制問題。建立了輻射開環(huán)TSR編隊(duì)自旋動力學(xué)模型；提出了編隊(duì)的自旋轉(zhuǎn)速最優(yōu)控制問題；設(shè)計了基于hp－自適應(yīng)偽譜法的編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)，并通過仿真算例進(jìn)行了驗(yàn)證和分析。仿真結(jié)果表明，設(shè)計的閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)能夠有效地應(yīng)用在輻射開環(huán)TSR編隊(duì)自旋轉(zhuǎn)速控制任務(wù)中。

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E－mail：pfhuang＠nwpu．edu．cn

張 帆（1986－），女，博士研究生，主要研究方向?yàn)榭臻g繩系機(jī)器人及其編隊(duì)協(xié)同控制。

E－mail：978436992＠qq．com

劉彬彬（1990－），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榭臻g繩系機(jī)器人編隊(duì)動力學(xué)與控制。

E－mail：liubinflip＠163．com

馬 駿（1985－），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)榭臻g繩系系統(tǒng)動力學(xué)與控制。

E－mail：majun315415＠163．com

Optimal control of the rotating velocity of hub－spoke tethered space robot formation

HUANG Pan－feng1，2，ZHANG Fan1，2，LIU Bin－bin1，2，MA Jun1，2
（1．Research Center of Intelligent Robotics，School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China；2．National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China）

The hub－spoke tethered space robot（TSR）formation is a novel formation system．The stability，flexibility and fuel consumption of the hub－spoke TSR formation system have been significantly improved．The optimal control problem of the rotating velocity of the hub－spoke TSR formation system is proposed and studied．Firstly，an analytical model is used to describe the rotating hub－spoke TSR formation system．Secondly，the optimal control problem of the rotating velocity and the theory of the hp－adaptive pseudospectral method are described．Thirdly，a closed－loop optimal control system based on the hp－adaptive pseudospectral method is established．Finally，some digital imitations are implemented to validate the proposed closed－loop optimal control system．

tethered space robot（TSR）formation；hub－spoke；rotating velocity；optimal control

V 445．4

A

10．3969／j．issn．1001－506X．2015．06．21

黃攀峰（1974－），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)榭臻g機(jī)器人動力學(xué)與控制、空間機(jī)器人遙操作技術(shù)。

1001－506X（2015）06－1362－08

2014－04－14；

2014－09－15；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014－11－05。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141105．1513．007．html

國家自然科學(xué)基金（11272256）資助課題