張曉瑩　陳宏業(yè)

摘 要：單一學(xué)科已經(jīng)很難滿足結(jié)構(gòu)可靠性和安全性的要求，流固耦合分析必須解決耦合界面信息傳遞問題。本文使用徑向基函數(shù)插值法很好的完成了數(shù)據(jù)傳遞，這一整套方法可廣泛應(yīng)用于大型的流固耦合問題分析中。

關(guān)鍵詞：流固耦合；數(shù)據(jù)傳遞；徑向基函數(shù)

目前，流固耦合問題在工程領(lǐng)域中大多分別對(duì)流域和固體域分析，計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）分析軟件和計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)（CSD）軟件之間信息傳遞是這類問題求解的關(guān)鍵，而流固不匹配網(wǎng)格給數(shù)據(jù)傳遞帶來了困難。在實(shí)際計(jì)算中，空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算網(wǎng)格從表面延伸到空間相對(duì)長度足夠大處，且在固定表面斜率較大處，需要增加網(wǎng)格的密度。然而，有限元結(jié)構(gòu)網(wǎng)格分散在整個(gè)結(jié)構(gòu)空間中，為了導(dǎo)出所需的整體剛度系數(shù)，在剛體表面盡可能的控制好網(wǎng)格密度。由此可以看出，為了實(shí)現(xiàn)空氣動(dòng)力與結(jié)構(gòu)耦合計(jì)算，重要的是尋找一種高品質(zhì)的插值方法計(jì)實(shí)現(xiàn)兩網(wǎng)格系統(tǒng)的數(shù)據(jù)交換。

在耦合分析過程中，結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和氣動(dòng)網(wǎng)格之間存在載荷、位移、溫度、熱流、流速等的數(shù)值交換。流固耦合數(shù)值傳遞方法通?？煞譃榫植坎逯捣ê偷恼w插值法。其中常見的局部插值法有常體積轉(zhuǎn)換法[1]、加權(quán)余量法[2]、映射點(diǎn)插值法[3]等；常見的整體插值法有樣條函數(shù)法[4]、Shepard方法[5]等。

1 徑向基函數(shù)插值法

1.1 徑向基函數(shù)

在實(shí)際的項(xiàng)目工程中，被描述的對(duì)象通常用函數(shù)來定量化表示，而和對(duì)象之間的關(guān)系可以用方程來表示。如何使用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來描述實(shí)際的對(duì)象并計(jì)算這些方程為應(yīng)用數(shù)學(xué)工程的重要任務(wù)。當(dāng)使用函數(shù)描述實(shí)際對(duì)象時(shí)，首先需要一個(gè)函數(shù)空間。通常采用正余弦、指數(shù)或多項(xiàng)式函數(shù)空間可以逼近幾乎所有的映射關(guān)系，其映射功能十分強(qiáng)大。

一般選用高斯函數(shù)作為基函數(shù)，徑向基函數(shù)空間：給定一個(gè)一元函數(shù)：xRφ∈，在定義域dxR∈上，對(duì)于多變量輸入也可以使用函數(shù)φ；RBF函數(shù)徑向?qū)ΨQ且光滑性能好，任意階導(dǎo)數(shù)均存在。

其中，X是m維輸入向量12（，，）mXXXX=...，iC是i第個(gè)徑向基函數(shù)的中心，M是隱層單元的個(gè)數(shù)，||||iXC.是歐式范數(shù)，通常表示輸入向量和中心之間的距離，隨著||||iXC.的增大，與中心距離加大，函數(shù)值變小，說明對(duì)與中心越遠(yuǎn)的點(diǎn)，對(duì)函數(shù)影響越小，所以擬合函數(shù)更具有光滑性。容易看出，輸入點(diǎn)離隱元的中心越近，獲得的輸出也越大。

σ決定了該基函數(shù)圍繞中心的寬度，為使高斯函數(shù)形狀適度，通常采用以下公式計(jì)算：

2mdmσ= （1.2）

md是所選中心的最大距離。

1.2 計(jì)算耦合矩陣

將模型表面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，各節(jié)點(diǎn)需要傳遞的物理量為（，，）sxyz，其中（1，2）jSj=...為耦合界面各節(jié)點(diǎn)物理量歸一化處理的結(jié)果。假設(shè)以上曲面為流固耦合界面，為了求出新建網(wǎng)格各節(jié)點(diǎn)的物理值為（1，2）jSj=...，需要推導(dǎo)出耦合矩陣，即為將數(shù)據(jù)從流體域傳遞到固體域時(shí)所需要的耦合矩陣。

2 流固界面數(shù)據(jù)傳遞

2.1 耦合界面信息傳遞原理

CFD和CSD之間的數(shù)據(jù)交換必須遵循一定的原則。主要?dú)w納了以下兩個(gè)個(gè)基本原則。

（1） 動(dòng)力連續(xù)性

接觸界面要滿足力的守恒，耦合界面上任一點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)流體域和固體域的力平衡：

fxsxsyfyszfzσσσσσσ........=............ （2.1）

上式中，z sxsysσσσ為固體域上任一點(diǎn)在耦合邊界上沿xyz、、方向的應(yīng)力分量； fxfyfzσσσ為流體域上任一點(diǎn)在耦合邊界上沿xyz、、方向的應(yīng)力分量。

（2）位移和速度連續(xù)性

流固界面上流體、固體對(duì)應(yīng)點(diǎn)位移、速度和溫度的一致性。

位移連續(xù)條件可表示為：

fsSS= （2.2）

式中，sS為結(jié)構(gòu)域在耦合邊界的位移值，fS為流體域在耦合邊界的位移值。

（3）能力守恒原理

耦合界面的能量守恒原理包含兩部分，從力學(xué)角度分析，耦合界面上流體力與固體力在界面位移上所做的虛功相等；從物理學(xué)角度分析，流體吸收的熱量等于固體傳遞的熱量。

由虛功原理得：

TTssffuFuFδδ=gg （2.3）

式中，fuδ、suδ分別代表耦合界面對(duì)應(yīng)流體、固體節(jié)點(diǎn)虛位移，sF、fF分別代表耦合界面對(duì)應(yīng)流體、固體節(jié)點(diǎn)力。

2.2 CFD/CSD數(shù)據(jù)交換

流固耦合的分析過程：在高超聲速流場(chǎng)作用下，結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生較大的位移變形和溫度變化，因此會(huì)對(duì)周圍的流體域產(chǎn)生較大的變形作用和熱流傳導(dǎo)，而流體域的變化會(huì)進(jìn)一步改變作用在結(jié)構(gòu)表面上的壓力，從而形成流固相互耦合的作用。

本文采用了一種徑向基函數(shù)插值方法，實(shí)現(xiàn)了耦合界面不匹配網(wǎng)格位移值的交換。步驟如下：

（1）首先計(jì)算出流體節(jié)點(diǎn)壓力，將流體網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)壓力數(shù)值傳遞給結(jié)構(gòu)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)。然后計(jì)算結(jié)構(gòu)在流體壓力作用下的位移響應(yīng)。

（2）由于固體域發(fā)生變形，耦合界面和固體域發(fā)生同樣的變形，需要將固體位移變形插值到流體網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上。首先從變形的固體模型中得到所有節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與位移值，使用RBF方法得到數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換矩陣，通過該矩陣求出流體域所有節(jié)點(diǎn)位移值。

（3）計(jì)算在結(jié)構(gòu)位移邊界條件下新的流場(chǎng)的壓力值，再把壓力值通過耦合數(shù)據(jù)傳遞到結(jié)構(gòu)域，完成循環(huán)迭代求解。

（4）將得到固體域各節(jié)點(diǎn)位移值與前一次的位移值做比較，直到位移變化收斂到一定范圍內(nèi)，固體分析結(jié)果才是流固耦合結(jié)果。

3.結(jié)論

（1） 該算法與局部插值算法相比，局部插值方法需要某種形式的搜索能力，要完成耦合界面節(jié)點(diǎn)數(shù)值交換必然十分困難，需要單獨(dú)開發(fā)程序，這將大大提高編程的難度。該算法可適用于不同的模型。

（2） RBF插值法能夠高精度的擬合數(shù)萬個(gè)數(shù)據(jù)，徑向基函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)管理能力比較強(qiáng)，從而能夠模擬更加復(fù)雜的插值算法。

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[5]Duchon，J.Splines minimizing rotation-invariant semi-norms immobile spaces[J]，Constructive Theory of Functions of Several Variables，1976，1（1）：85-100.

作者簡介

張曉瑩（1993-），女，漢族，黑龍江佳木斯市人，單位：鄭州大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院 研究方向：工程結(jié)構(gòu)分析。

陳宏業(yè)（1985—），男，漢族，河南駐馬店人，助教，碩士，研究方向：安全技術(shù)及工程。