肖瀟

摘要：計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)利用計(jì)算機(jī)科學(xué)和技術(shù)的成果建立被仿真的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)建立的模型進(jìn)行仿真，已成為現(xiàn)代家具分析與設(shè)計(jì)的重要工具。該文利用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)研究了平板折疊桌的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，首先我們建立空間坐標(biāo)系，建立了木條末端點(diǎn)坐標(biāo)與轉(zhuǎn)動(dòng)角的關(guān)系模型解決了對(duì)于開槽長(zhǎng)度參數(shù)確定的問題；然后研究了折疊桌的穩(wěn)固性問題，找出滿足穩(wěn)固性要求的約束條件，從而確定了最優(yōu)參數(shù)組合；最后討論了在客戶給定桌面邊緣線方程情況下如何進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的問題。理論分析與仿真結(jié)果表明，本文所建立的模型與提出的仿真思路是可行的。

關(guān)鍵詞：計(jì)算機(jī)仿真；平板折疊桌；轉(zhuǎn)動(dòng)角；結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2015）03-0202-05

Application Research of Computer Emulation Technique on a Flat Folding Table Design

XIAO Xiao

（Information Engineering Department， University of Xiangtan， Xiangtan 411105， China）

Abstract： The Computer Simulation establishes a mathematical model for a system， utilizing the outcome of computer science and technology， and uses the model to reproduce behavior of the system. It has become a crucial tool for modern furniture analysis and design. In this article， Computer Simulation is used to solve flat folding tables design optimizing problem. First， we set up a space coordinates system， and used the relationship between the coordinate of wooden bar endpoint and the rotational angle to establish a model， which solved the confirmation of slotting length parameter problem. Furthermore， we studied the folding tables stability problem， finding the constraints that meet the required stability， and got the best parametric combination. At the end， we discussed how to optimize the design with a given formula of table top edges from the customer. Theoretical analysis and simulating results indicate that the model in this article and the simulating thinking are both feasible.

Key words： computer simulation； flat folding table； rotational angle； structural stability

平板折疊桌由于使用便攜，攜帶方便、能有效地節(jié)省存放和運(yùn)輸空間，甚至還能做得一物多用等，近年來越來越受到人們的歡迎[1]。然而，在平板折折疊桌的設(shè)計(jì)過程卻是非常復(fù)雜的，設(shè)計(jì)的產(chǎn)品除了滿足其獨(dú)特的外觀造型設(shè)計(jì)外，同時(shí)還需要設(shè)計(jì)好能滿足使用功能的結(jié)構(gòu)[2-3]。要想設(shè)計(jì)一款好的平板折疊桌，不論是金屬材質(zhì)還是木制材質(zhì)，首先必須進(jìn)行適合的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，以及支持構(gòu)件位置運(yùn)動(dòng)要求的尺寸設(shè)計(jì)。目前，就我們所知，在市場(chǎng)上平板折疊桌的設(shè)計(jì)中， 大多數(shù)多廠家采用試探的方式進(jìn)行設(shè)計(jì)， 雖然試探的方式也能解決一些問題，但也存在難以克服的弊端：1）由于需要反復(fù)試探，會(huì)產(chǎn)生大量的廢品與次品，增大了設(shè)計(jì)成本；2）試探發(fā)設(shè)計(jì)出來的平板折疊桌，存在不能很好的折攏疊平的情況，這充分說明這種設(shè)計(jì)具有較大的盲目性，缺乏有效的理論指導(dǎo)。為此，本文嘗試采用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)來研究平板折疊桌的優(yōu)化設(shè)計(jì)，為廠家生產(chǎn)平板折疊桌提供參考。

本文以某廠家擬生產(chǎn)的平板折疊桌為例進(jìn)行分析。某廠家計(jì)劃生產(chǎn)的平板折疊桌，其桌面呈圓形（或橢圓形），桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。在設(shè)計(jì)該平板折疊桌時(shí)需要解決如下幾個(gè)問題：1）對(duì)給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120cm，寬50cm，厚3 cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm，需要確定此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)和桌腳邊緣線等；2）考慮到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)；3）根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

1 平板折疊桌優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的建立

為了描述的方面，我們首先進(jìn)行符號(hào)約定： [h]表示為折疊后桌子的高度，[β]表示為轉(zhuǎn)動(dòng)角，R表示為桌面圓半徑，LLi表示為第i根木條的開槽長(zhǎng)度，l表示為最長(zhǎng)腳木條的長(zhǎng)度，di 表示為第i根木條的寬度。

1.1折疊桌高度確定情況下的加工參數(shù)模型

首先，我們來考慮單根木條的末端在折疊過程中的運(yùn)動(dòng)軌跡。每根木條與圓形桌面利用合頁(yè)進(jìn)行連接（鉸鏈），因才每根木條只能繞連接點(diǎn)沿著垂直于桌面平面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其末端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓心，以木條長(zhǎng)度為半徑做圓弧運(yùn)動(dòng)。圖1描繪了一根木條s的末端從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程，圓弧AB即為木條s末端的運(yùn)動(dòng)軌跡。

由上述分析可知單根桌腿木條的末端點(diǎn)在折疊過程中的動(dòng)態(tài)變化相對(duì)簡(jiǎn)單，但由于每根桌腿木條的連接點(diǎn)不一樣，長(zhǎng)度不一樣，每一組的桌腿木條用一個(gè)根鋼筋相連，因此，桌腳邊緣線的變化將是十分復(fù)雜的。

圖1 桌腿腳末端點(diǎn)的在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的運(yùn)動(dòng)軌跡

其次主要考慮加工參數(shù)的確定問題。我們第一步得考慮桌腿木條的開槽長(zhǎng)度與哪些因素有關(guān)，只有去除不相關(guān)的因素才能更好的建立模型。然后我們?cè)倏紤]木條數(shù)量對(duì)哪些參數(shù)有影響以及“腳角”與鋼筋鏈接位置變化情況等。

最后，我們將鋼筋連接點(diǎn)與邊緣線等構(gòu)成一定關(guān)系，得出我們所需要的模型。

由題目所給出的已知條件其中由桌子一旁的釘鋼筋的兩個(gè)點(diǎn)所在的連線上的點(diǎn)，由于折疊桌子具有嚴(yán)格的對(duì)稱性，因此只考慮桌子半邊的變化情況。為了建模的方便，我們首先需要定義平板折疊桌的坐標(biāo)系統(tǒng)，其坐標(biāo)系統(tǒng)定義如下：

圖2 折疊桌的坐標(biāo)系統(tǒng) 圖3 坐標(biāo)的標(biāo)號(hào)方式

如圖2所示，以桌面圓心為坐標(biāo)系原點(diǎn)，以過桌面圓心且與用于固定桌腿木條的鋼筋平行的直線為x軸，以過桌面圓心且與x軸垂直的線為y軸，以過桌面圓心并且垂直于桌面平面的直線為z軸，建立了坐標(biāo)系。

在上述坐標(biāo)系中，可以求得每一組桌腿與桌面連接點(diǎn)中心的坐標(biāo)。如圖3所示，用[x1，x2，…，xn]表示連接處的x坐標(biāo)，用[y1，y2，…，yn]表示連接處的y坐標(biāo)，其中n表示每一組桌腿木條的數(shù)量。由上述分析和題意可知一組桌腳木條與桌面連接點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公式為：

[xi=R-0.5di-（i-1）diyi=-R2-x2izi=0]

式中R為桌面圓的半徑，[di]為每根桌腿木條的寬度，其中i=1...n。

了描述的方便，我們給出如下的定義：

定義1（轉(zhuǎn)動(dòng)角）：將每組桌腿木條與桌面平面的夾角稱之為轉(zhuǎn)動(dòng)角，并記為[β]。

下面我們將給出每根桌腿木條與鋼筋連接處的坐標(biāo)：

[x'i=R-0.5di-（i-1）diy'i=-cosβ×l/2z'i=-sinβ×l/2]

式i=1...n，l表示第一根木條的長(zhǎng)度。

為了能得到桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述，需要建立每根桌腿木條末端的坐標(biāo)與轉(zhuǎn)動(dòng)角的數(shù)學(xué)模型。

圖4 桌腿木條的幾何關(guān)系圖

如圖4所示，第i根木條AD交鋼筋于C點(diǎn)，AE為桌面平面內(nèi)的直線垂直于x軸于E點(diǎn)，CB垂直AE。顯然有：

[sin∠CAE=BDAC=sinβ×l/2（xi-x'i）2+（yi-y'i）2+（zi-z'i）2]

用[θi]表示[∠CAE]，即：

[θi=arcsinsinβ×l/2（xi-x'i）2+（yi-y'i）2+（zi-z'i）2]

綜上所述，我們即可得到第i根木頭末端的坐標(biāo)與轉(zhuǎn)動(dòng)角關(guān)系的數(shù)學(xué)模型：

[x''i=R-0.5di-（i-1）diy''i=yi-（l-yi）*cos（θi） if yi

下面我們進(jìn)一步討論，如何確定每根木條的開槽起始位置與長(zhǎng)度。由上述分析可知，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角[β]最大時(shí)，每根木條的末端點(diǎn)離與鋼筋連接點(diǎn)最近，因此當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角[β]最大時(shí)每根木條與鋼筋的連接點(diǎn)的位置為開槽的起始位置。同樣，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角[β]最小時(shí)，每根木條的末端點(diǎn)離與鋼筋連接點(diǎn)最遠(yuǎn)，因此當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角[β]最小時(shí)每根木條與鋼筋的連接點(diǎn)的位置為開槽的結(jié)束位置。

令ki為木條i的末端距離開槽起點(diǎn)位置的距離，ki為木條i的末端距離開槽結(jié)束位置的距離，則：

[ki=l+yi-（xi-x'i）2+（yi-y'i）2+（zi-z'i）2]

[k'i=l/2]

那么木條i的開槽長(zhǎng)度[LLi]為：

[LLi]=[（xi-x'i）2+（yi-y'i）2+（zi-z'i）2-l/2-yi]

1.2考慮穩(wěn)固性與成本的加工參數(shù)模型

由于折疊桌立于地面的穩(wěn)固主要依賴于著地的四個(gè)腳，其余未著地的部分可以近似看成在相應(yīng)特定位置的懸空，而這些特定位置卻不需要逐個(gè)精細(xì)地求，因?yàn)樗鼈兾恢玫男纬墒怯捎阡摻畲┻^各個(gè)木條的不變形以及根據(jù)力平衡和力矩平衡：從中間往兩邊分析，里面木條對(duì)鋼筋的作用力逐漸積累，由于木條受力平衡，可知從里往外的第一根木條把自身重力及桌面壓力作用到鋼筋上，受到鋼筋的支持力，則鋼筋受到其反作用力；鋼筋把受到第一根木條的作用力又作用到從里往外的第二根木條上，第二根木條把自身重力和桌面壓力與鋼筋對(duì)其作用力作用到鋼筋上，由此可見，把第一第二根木條看成整體可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，并以此類推，將除最長(zhǎng)的木條外所有的木條看成一個(gè)整體。最后，全部歸結(jié)到最外側(cè)的木條上，對(duì)其進(jìn)行受力分析，再利用力矩平衡來確定鋼筋的點(diǎn)的位子，即可確定桌腳與水平地面的夾角；再由[sinβ=h/l]可根據(jù)顧客要求的高度和直徑大小來做出桌子的穩(wěn)固性。根據(jù)桌子穩(wěn)定性的約束條件，在加工方便的情況下，以用材最少為目標(biāo)優(yōu)化問題。

假設(shè)應(yīng)客戶要求，給定桌面的高度[h]和桌面的寬度[D]，所以在最省材料時(shí)不能從寬減少，只能從木板的長(zhǎng)來考慮減料問題；則在固定一點(diǎn)的鋼筋位置時(shí)有桌腳，則要使木板越短，即就是使桌角越短就越省料，則這樣的話就是桌腳與水平地面的夾角就越大。下面我們首先進(jìn)行穩(wěn)固性分析。

1）穩(wěn)固性分析

在固定桌腳與水平面的夾角時(shí)分析有，鋼筋越高，中間木條的開槽長(zhǎng)度越低固定鋼筋的位置，肯定要大于桌面的半徑。本文就以其中的一個(gè)腳受力分析，由上圖中分析不同方向不著地的木條對(duì)鋼筋的受力，然后再有一個(gè)角的木條對(duì)鋼筋的作用力傳送到最外邊著地的木條上，圖6是分析上圖中1木條的受力情況，圖7為木條2的受力情況。

圖5 木頭1的受力情況 圖6 木頭2的受力情況

由圖5和圖6的受力分析可知每一條木條對(duì)鋼筋的作用力與其對(duì)鋼筋的水平夾角有關(guān)，和其受到的自身的重力[mig]有關(guān)，[mi]為第i根木條的質(zhì)量，g為引力常量，G為桌面的重力，G/n為每根桿受到桌面對(duì)其豎直向下的力；假設(shè)折疊后有n根木條數(shù)，則有原來的木條數(shù)為n/2根。則有每根不著地的木棒對(duì)鋼筋的受力為：

[Fi=G/n+migcosθi]

其方向與鋼筋最小夾角[θi]有關(guān)。由在四角中不同方向的木條對(duì)鋼筋的合力豎直向下設(shè)為F，即：

[F=i=1nG/n+migcosθi]

再對(duì)最外的木條受力分析，根據(jù)力矩平衡原理來確定鋼筋的固定點(diǎn)，設(shè)鋼筋到鉸鏈的距離為[s]；l為最外邊木條的長(zhǎng)度；[β]為最外木條與水平地面的夾角；[F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3]分別為最外木條受桌子的壓力，不著地的木條對(duì)鋼筋的合力，自身的重力沿桿上的分力；[FN]為地面對(duì)桿的支持力；[FS]為三個(gè)分力合力沿水平面的分力；[F'1，F(xiàn)'2，F(xiàn)'3]桌子的壓力，不著地的木條對(duì)鋼筋的合力，自身的重力垂直于桿的分力；如圖7所示：

圖7 最外的木條受力分析

分別為建立下列關(guān)系式：

[F1=（G/n）sinβF2=FsinβF3=mgsinβ]

[FN=F1+F2+F3sinβFS=F1+F2+F3cosβ]

則有力矩[J]：

[J=2F1+F2+F3cosβ?sinβ?l]

再由垂直于桿的力為：

[F1'=（G/n）cosβF2'=FcosβF3'=mgcosβ]

由于[F'1]在支點(diǎn)所以沒有作用；則產(chǎn)生的力矩為：[J2'=F'x]，[J3'=F3'?0.5l]

下面，計(jì)算支點(diǎn)到鋼筋點(diǎn)的過程，由力矩平衡原理有：

[J=J2'+J3']

[2F1+F2+F3cosβ?sinβ?l=F'x+F3'?12l]

[x=（2（G/n）+F+mgsinβ2l-0.5l）/F]

[x=2G/n+i=1nG/n+migcosθi+mgsinβ2l-0.5li=1nG/n+migcosθi]

綜上所述，平板折疊桌達(dá)到穩(wěn)固的條件為：

[x≥2G/n+i=1nG/n+migcosθi+mgsinβ2l-0.5li=1nG/n+migcosθi]

2）優(yōu)化模型的建立

假設(shè)長(zhǎng)方形平板的長(zhǎng)為a，寬為b（即桌面直徑），最長(zhǎng)木條的長(zhǎng)度為l，平板桌展開后的高度為h，被看作整體的中間所有木條所承載桌面壓力占所有木條承載桌面壓力的比重為r，整個(gè)桌子的重力為Mg，桌面的重力為mg，鋼筋對(duì)木條的支撐力為N，最長(zhǎng)木條的重力為[m'g]，桌面的面積為[s1]，木條的寬度為[b']，鋼筋位置到與桌面連接點(diǎn)的距離為x，木條根數(shù)為n。

由題意可知，優(yōu)化設(shè)計(jì)平板折疊桌的主要目標(biāo)是在滿足穩(wěn)固性要求的前提下，使得加工方便用料最少。由于折疊桌受到寬度的制約，一旦用戶寬度的要求確定，其平板的寬度也就確定了因此只有長(zhǎng)度才是決策變量，因此追求用料最省，實(shí)際上就是要求平板的長(zhǎng)度越短越好，這就構(gòu)成了第一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)；有題意可知加工方便實(shí)際上是指木條數(shù)越多加工難道越大，因此追求加工方便就是要求木條數(shù)越少越好，這就構(gòu)成了第二個(gè)目標(biāo)。

1.3 根據(jù)客戶需求確定加工參數(shù)確定模型

該模型需要解決如何根據(jù)折疊桌的高度、桌面邊緣的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀等，確定平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，從而滿足客戶的需求。

實(shí)際上，我們只需要在上述2個(gè)模型的基礎(chǔ)上繼續(xù)完善數(shù)學(xué)模型，將模型轉(zhuǎn)換為帶坐標(biāo)的方程格式，將其余的設(shè)計(jì)參數(shù)設(shè)置成桌高、木條數(shù)、邊緣線坐標(biāo)等的方程，形成一系列數(shù)量關(guān)系式，達(dá)到只要我們將客戶需求的數(shù)據(jù)輸入關(guān)系式，就會(huì)得出一組設(shè)計(jì)參數(shù)。最后就是隨便給一組數(shù)據(jù)（客戶需求）設(shè)計(jì)一款成品。

2 仿真過程與結(jié)果

本節(jié)主要討論在matlab7.0的環(huán)境下，如何根據(jù)上述建立的模型進(jìn)行仿真，從而能有效地求出相應(yīng)的加工參數(shù)。

2.1 折疊桌高度確定的加工參數(shù)優(yōu)化仿真

我們根據(jù)建立的模型，設(shè)計(jì)如下的仿真的步驟如下：

Step1：建立空間坐標(biāo)系，利用建立的模型計(jì)算出每根木條與桌面連接點(diǎn)的坐標(biāo)；

Step2：利用建立的模型計(jì)算出每根木條與鋼筋連接點(diǎn)的坐標(biāo)；

Step3：利用建立的模型計(jì)算出每根木條與桌面所在平面的夾角；

Step4：利用建立的模型計(jì)算出每根木條末端的坐標(biāo)；

Step5：利用建立的模型計(jì)算出開槽的起始位置和結(jié)束位置，從而計(jì)算每根木條的開槽的長(zhǎng)度。

相應(yīng)參數(shù)的設(shè)定如下：初始數(shù)據(jù)為桌面半徑R=25，di=2.5，l=57.5.

仿真結(jié)果如下：當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角為60度時(shí)得到的桌腳邊緣線如圖8所示，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角從60度開始每次遞減10度直到10度時(shí)結(jié)束所得到的桌腳邊緣線動(dòng)態(tài)變化過程如圖9所示，得到對(duì)應(yīng)的卡槽長(zhǎng)度，從第一塊木頭到第二十塊木頭依次為：0， 9.347， 12.7778， 15.5722， 17.8629， 19.7126， 21.1586， 22.225， 22.9279， 23.277， 23.277， 22.9279， 22.225， 21.1586， 19.7126， 17.8629， 15.5722， 12.7778， 9.347， 0. 由折疊桌子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以看出折疊桌子在拼接的過程中小木條是按著一定的角度在隨著鋼筋旋轉(zhuǎn)，最終達(dá)到穩(wěn)固狀態(tài)，我們求得折疊桌在拼接后的每個(gè)小木條桌角的旋轉(zhuǎn)的角度，在此期間桌角形成了一個(gè)上升拋物線的形式，并得到了每個(gè)并計(jì)算了折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)如卡槽和每根小木條的槽長(zhǎng)度等。在此基礎(chǔ)上我們利用計(jì)算所得倒的參數(shù)重建平板折疊桌，充分地體現(xiàn)了本文建立的模型是正確的、合理的、也是與實(shí)際貼近的。

圖8 平板折疊桌設(shè)計(jì)效果圖 圖9 桌腳邊緣線動(dòng)態(tài)變化圖

2.2考慮穩(wěn)固性與成本的加工參數(shù)優(yōu)化仿真

根據(jù)第二個(gè)模型我們可以計(jì)算得到如下的參數(shù)。首先，由力平衡可得[Mg/4=N+m'g+1-rmg/4]，由力矩平衡得[Mg?l/8+1-rmg?l/8=Nx]，其中：[m'g=Mg/2n]，[mg=s1Mg/ab]，[s1=π?（0.5b）2]，[r=mg/Mg]，[sinα=h/l]，[n=b/b']，所以各木頭的長(zhǎng)度[a=2l+2b']。

在分析確定鋼筋的位置時(shí)，關(guān)鍵在于穩(wěn)定性，[x]要大于桌面的半徑但小于最短木條的最低開槽口的位置，且根據(jù)力平衡有[a=2l+2b']，[x=2h2/l]（其中[b']為木條的寬度，設(shè)定為[2.5cm]）。當(dāng)[h=70cm]，[b=80cm]時(shí)，求得[a=175cm]，[x=52.71cm]。仿真所確定的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)為：平板尺寸175*80[cm]，鋼筋距離鉸鏈位置52.71cm，每根木頭的開槽長(zhǎng)度分別為10.64， 19.46， 25.74， 30.81， 35.08， 38.72， 41.87， 44.58， 46.9， 48.88， 50.54， 51.9， 52.97， 53.76， 54.28， 54.55.

2.3 根據(jù)客戶需求確定加工參數(shù)確定模型

我們假定客戶所給出的折疊桌的高度、大小應(yīng)該是一個(gè)具體的值，客戶所給出桌面邊緣線的形狀和桌腳邊緣線應(yīng)該有具體的方程。為此，我們將按如下的思路來確定加工參數(shù)。

首先為了保證如何才能實(shí)現(xiàn)盡可能地接近客戶所期望的形狀，本文提出了如下的仿真步驟：

Step1：按第一個(gè)模型中的解決思路，根據(jù)桌面邊緣線方程，計(jì)算出桌腳木條與桌面連接點(diǎn)的坐標(biāo)；

Step2：根據(jù)客戶給定的桌腳邊緣線方程確定每根木條末端點(diǎn)的坐標(biāo)；

Step3：根據(jù)每根木條的桌面連接點(diǎn)的坐標(biāo)與每根木條末端點(diǎn)的坐標(biāo)的，計(jì)算機(jī)每根木條的直線方程；

Step4：將所有的木條的直線方程投影到y(tǒng)軸和z軸所確定的平面；

Step5：在y軸和z軸所確定的平面計(jì)算直線投影的交點(diǎn)，并計(jì)算所有交點(diǎn)的加權(quán)平均交點(diǎn)（[y，z]）；

Step6：依次將（[x1，y，z]），（[x2，y，z]），...，（[xn，y，z]）作為第一根木頭、第二根木頭等等與鋼筋的連接點(diǎn)，并重新確定木頭的直線方程；

Step7：根據(jù)木頭的長(zhǎng)度和直線方程即可確定末端點(diǎn)的坐標(biāo)。

關(guān)于最優(yōu)加工參數(shù)問題，由上述分析可知，雖然鋼筋固定的位置已知，但平板的長(zhǎng)度，開槽的長(zhǎng)短等加工參數(shù)仍需要優(yōu)化，因此我們?cè)诘诙€(gè)模型的基礎(chǔ)上建立了如下的模型優(yōu)化平板的長(zhǎng)度與開槽的長(zhǎng)短等加工參數(shù)：對(duì)于平板長(zhǎng)度，因鋼筋位置固定、桌子高度已知，木條所轉(zhuǎn)的角度與木條的長(zhǎng)度存在一個(gè)調(diào)節(jié)關(guān)系，又基于桌子整體的穩(wěn)固性考慮，可以確定木條的一個(gè)最佳轉(zhuǎn)角，初步確定木條的長(zhǎng)度，進(jìn)而，根據(jù)最佳轉(zhuǎn)角的確定原理（最佳轉(zhuǎn)角下桌腿構(gòu)成的面積最大內(nèi)接于橢圓面）綜合確定木條的長(zhǎng)度，給出平板尺寸；對(duì)于開槽的長(zhǎng)短，基于第二問以及前面平板尺寸的確定，得到各木條的開槽范圍，從中篩選最貼近已知的鋼筋位置，進(jìn)而調(diào)整確定最終的開槽范圍。

為了驗(yàn)證建模型的正確性和合理性，我們假定用戶期望的桌面邊緣線為一個(gè)橢圓，即：

[x2a2+x2b2=1]

桌腳邊緣線為一個(gè)拋物線，即：

[x=2pt2y=2pt]

假定客戶要求橢圓形桌面的長(zhǎng)為80，寬為60，高為50，我們得到設(shè)計(jì)的平板折疊桌的效果圖如圖11所示，橢圓形桌面的折疊桌的桌腳邊緣線如圖12所示，不同轉(zhuǎn)動(dòng)角下橢圓形桌面折疊桌的效果圖如圖12；同時(shí)假定平板的寬為40，長(zhǎng)為120，得對(duì)應(yīng)第1至第20根木頭的卡槽長(zhǎng)度分別為：0， 17.9812， 22.5390， 26.3449， 29.4869， 32.0279， 34.0137， 35.4772， 36.4409， 36.9194， 36.9194， 36.4409， 35.4772， 34.0137， 32.0279， 29.4869， 26.3449， 22.5390， 17.9812， 0.

4 結(jié)論

本文利用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)研究了平板折疊桌的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，通過建立空間坐標(biāo)系，建立了木條末端點(diǎn)坐標(biāo)與轉(zhuǎn)動(dòng)角的關(guān)系模型解決了對(duì)于開槽長(zhǎng)度參數(shù)確定的問題；然后研究了折疊桌的穩(wěn)固性問題，找出滿足穩(wěn)固性要求的約束條件，從而確定了最優(yōu)參數(shù)組合；最后討論了在客戶給定桌面邊緣線方程情況下如何進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的問題。本文較好地建立了桌面旋轉(zhuǎn)角和桌邊緣點(diǎn)位置的函數(shù)模型，并有效的對(duì)桌運(yùn)動(dòng)過程動(dòng)態(tài)的描述，仿真結(jié)果與實(shí)際的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)很符合，這表明本文所建立的模型與提出的仿真思路是可行的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 林作新， 伊松林. 實(shí)木家具尺寸穩(wěn)定性的處理方法[J]. 家具， 2012（2）：111-113.

[2] 陳向陽(yáng)， 關(guān)富玲. 折疊結(jié)構(gòu)幾何非線性分析[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)， 2000， 17（4）：435-440.

[3] 詹雋青， 李立順， 易方， 等. 折疊式裝卸臺(tái)展開機(jī)構(gòu)的參數(shù)設(shè)計(jì)[J]. 專用汽車， 2005（2）：27-28.

[4] 劉衛(wèi)國(guó). MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用[M]. 2版. 北京： 高等教育出版社， 2015.

[5] 姜啟源， 謝金星.數(shù)學(xué)建模案例選集[M]. 北京： 高等教育出版社， 2006.

[6] 陳國(guó)華， 韋程?hào)|， 蔣建初， 等.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模方法[M]. 天津： 南開大學(xué)出版社， 2012.

[7] 韓忠庚， 宋明武， 邵廣紀(jì). 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽—獲獎(jiǎng)?wù)撐木x與點(diǎn)評(píng)[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2007.

[8] 楊啟帆， 方道元. 數(shù)學(xué)建模[M]. 杭州： 浙江大學(xué)出版社， 1999.