【摘 要】本文從文化價(jià)值、社會(huì)價(jià)值、教育價(jià)值三方面來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，探討了“學(xué)力”的概念，結(jié)合“杏壇杯”活動(dòng)的優(yōu)秀課例，對(duì)如何在實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生的“學(xué)力”進(jìn)行了思考。

【關(guān)鍵詞】學(xué)科價(jià)值;數(shù)學(xué);學(xué)力;實(shí)踐

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）30-0046-04

【作者簡(jiǎn)介】王應(yīng)標(biāo)，江蘇省清江中學(xué)（江蘇淮安，223001）副校長(zhǎng)，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，正高級(jí)教師。

2015年江蘇省“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學(xué)展評(píng)活動(dòng)的主題是：發(fā)現(xiàn)學(xué)科價(jià)值，發(fā)展學(xué)生學(xué)力。本文將結(jié)合展評(píng)活動(dòng)的主題和南京市第一中學(xué)王偉老師的課堂教學(xué)，談一些感悟和思考。

一、充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值

數(shù)學(xué)是關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)（恩格斯語(yǔ)），是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語(yǔ)言和有效工具。既然是一門科學(xué)，它就包括數(shù)學(xué)知識(shí)（理論、方法、問題、語(yǔ)言等）、數(shù)學(xué)活動(dòng)（抽象、推理、數(shù)學(xué)化等），以及數(shù)學(xué)社會(huì)建制（研究范式、數(shù)學(xué)共同體等）。數(shù)學(xué)追求一種完全確定、完全可靠的知識(shí)，數(shù)學(xué)的對(duì)象必須是明確無(wú)誤的概念，作為推理出發(fā)點(diǎn)的命題必須明確、清晰，推理過程的每一步驟都必須明確可靠，整個(gè)認(rèn)識(shí)過程必須前后一貫而不容許自相矛盾。

1.數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。

它是指數(shù)學(xué)對(duì)于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等其他學(xué)科發(fā)展的作用和意義。馬克思曾指出：所有的科學(xué)，只有當(dāng)數(shù)學(xué)運(yùn)用其中時(shí)，才稱得上是完善的。這一論斷已被科學(xué)的發(fā)展所證實(shí)。自然科學(xué)作為“關(guān)于自然現(xiàn)象的有條理的知識(shí)”，作為“對(duì)于表達(dá)自然現(xiàn)象的各種概念之間的關(guān)系的理性研究”，數(shù)學(xué)為此提供了不可或缺的方法、語(yǔ)言、基礎(chǔ)。同樣，社會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)化至少包括以下幾個(gè)方面：“一是在研究方法和手段上，能夠成功應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法;二是在認(rèn)識(shí)和思維方式上，更多地采用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)的態(tài)度去審視各種社會(huì)現(xiàn)象，考察社會(huì)問題，揭示社會(huì)科學(xué)研究對(duì)象的本質(zhì);三是社會(huì)科學(xué)研究應(yīng)從數(shù)學(xué)及其相關(guān)研究，特別是數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)文化中汲取有益的養(yǎng)料，這主要是社會(huì)科學(xué)思想的數(shù)學(xué)化;四是社會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)化并不排斥、拒絕或替代必要的定性研究，而是與之有機(jī)地結(jié)合起來?！盵1]

2.數(shù)學(xué)的社會(huì)價(jià)值。

它是指數(shù)學(xué)對(duì)于社會(huì)生產(chǎn)、社會(huì)生活、社會(huì)發(fā)展和人類進(jìn)步的作用和意義。現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展顯示，高新技術(shù)不僅是國(guó)家富強(qiáng)的關(guān)鍵因素，也是保持國(guó)家競(jìng)爭(zhēng)力的關(guān)鍵因素，而高新技術(shù)的基礎(chǔ)是應(yīng)用科學(xué)，應(yīng)用科學(xué)的基礎(chǔ)又是數(shù)學(xué)。X射線計(jì)算機(jī)層析攝影儀（簡(jiǎn)稱CT）的問世是上世紀(jì)醫(yī)學(xué)中的奇跡，其原理是基于不同的物質(zhì)有不同的X射線衰減系數(shù)。如果能夠確定人體的衰減系數(shù)的分布，就能重建其斷層或三維圖像。但能否通過測(cè)量到的X射線平均值求出整個(gè)衰減系統(tǒng)的分布呢？人們利用數(shù)學(xué)中的Radon變換解決了此問題，Radon變換已成為CT理論的核心。人們?cè)?jīng)形容數(shù)學(xué)在軍事中的應(yīng)用：第一次世界大戰(zhàn)是化學(xué)戰(zhàn)（火藥），第二次世界大戰(zhàn)是物理戰(zhàn)（原子彈），海灣戰(zhàn)爭(zhēng)是數(shù)學(xué)戰(zhàn)。數(shù)學(xué)在以計(jì)算機(jī)為代表的信息文明時(shí)代，對(duì)社會(huì)發(fā)展的深層次動(dòng)力越來越強(qiáng)大。

3.數(shù)學(xué)的教育價(jià)值。

它是指數(shù)學(xué)對(duì)于人的生存與發(fā)展的作用和意義。這里可以分為人的謀生價(jià)值與發(fā)展價(jià)值，其中人的發(fā)展主要是指人的理性發(fā)展。一方面，由于數(shù)學(xué)在社會(huì)生活和社會(huì)生產(chǎn)中的廣泛應(yīng)用，人要生存，并且要提高生存質(zhì)量，必須學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)解決各種各樣的實(shí)際問題，也就是數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值;另一方面，從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展中可以看到，數(shù)學(xué)對(duì)于人的發(fā)展，尤其是人的理性發(fā)展，具有重大的影響。[2]《幾何原本》被稱為“數(shù)學(xué)家的圣經(jīng)”，已經(jīng)成為訓(xùn)練邏輯推理的最有力的教育手段，在數(shù)學(xué)史乃至人類科學(xué)史上具有無(wú)與倫比的崇高地位，它對(duì)人類的貢獻(xiàn)不僅僅在于產(chǎn)生了一些重要的、美妙的定理，更重要的是它孕育了一種理性精神?！耙魳纺芗ぐl(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活。但，數(shù)學(xué)能給予以上的一切。”德國(guó)數(shù)學(xué)家F·克萊因道出了數(shù)學(xué)的教育價(jià)值。

二、對(duì)“學(xué)力”概念的理解

“學(xué)力”即學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)實(shí)力，是有關(guān)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)素質(zhì)的綜合性概念。日本的“學(xué)力”研究已有近70年的歷史，我國(guó)學(xué)者鐘啟泉等在1997年也對(duì)“學(xué)力”進(jìn)行了研究?！皩W(xué)力”一般被視為“通過學(xué)校里的學(xué)習(xí)而獲得的能力”或“以學(xué)業(yè)能力為表征的學(xué)力”。

1.“學(xué)力”的一般內(nèi)涵。

在古漢語(yǔ)中，“學(xué)力”大概有以下三種涵義：學(xué)問的力量，學(xué)習(xí)的能力，學(xué)問的效力。而在現(xiàn)代漢語(yǔ)中，“學(xué)力”的涵義被窄化為“學(xué)習(xí)能力”。鐘啟泉先生認(rèn)為，學(xué)力是作為教學(xué)成果的知識(shí)與能力，大體有四個(gè)組成部分：關(guān)心、動(dòng)機(jī)、態(tài)度，思考力、判斷力，技能，知識(shí)、理解。袁運(yùn)開先生認(rèn)為：學(xué)力為通過后天學(xué)習(xí)和實(shí)踐獲得的態(tài)度、能力和知識(shí)的集合，學(xué)力的養(yǎng)成包括積極態(tài)度的培養(yǎng)，學(xué)習(xí)能力、理解能力、提出問題和解決問題的能力的培養(yǎng)，社會(huì)適應(yīng)能力的提高，以及知識(shí)的積累等。還有人認(rèn)為，學(xué)力是指一個(gè)人在學(xué)問上達(dá)到的程度，包括認(rèn)知、情感、技能三要素。[3]

日本的國(guó)語(yǔ)詞典《廣辭苑》里也有對(duì)“學(xué)力”的解釋：一是指學(xué)問的力量;二是指因?qū)W習(xí)而獲得的能力或作為學(xué)習(xí)成績(jī)表現(xiàn)出來的能力。這和我國(guó)古漢語(yǔ)中“學(xué)力”的涵義相似。日本從二戰(zhàn)后至今已有近70年的“學(xué)力”研究歷史，有關(guān)學(xué)生學(xué)力低下的論爭(zhēng)始終是日本各個(gè)時(shí)期的教育概念轉(zhuǎn)變與教育改革的導(dǎo)火線。“學(xué)力”是日本教育研究的主題概念，但始終沒有形成一個(gè)公認(rèn)的、統(tǒng)一的概念，其主要原因是隨著時(shí)代和社會(huì)的變遷，人們對(duì)“學(xué)力”的涵義的理解也隨之發(fā)生變化。[4]

上世紀(jì)80年代初期，日本中央教育審議會(huì)針對(duì)教育現(xiàn)狀，反思二戰(zhàn)后偏重基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)的傳統(tǒng)學(xué)力觀，明確提出學(xué)校教育的目標(biāo)應(yīng)該充分尊重學(xué)生的個(gè)性與創(chuàng)造性的發(fā)展，即重視個(gè)性和創(chuàng)造性的“新學(xué)力觀”。日本文部省通過2005年《創(chuàng)造新時(shí)代的義務(wù)教育》報(bào)告、2006年《審議階段報(bào)告》、2008年修改發(fā)布的《學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)》，對(duì)“生存能力”和“扎實(shí)的學(xué)力觀”的內(nèi)涵作出了漸變的修改。“扎實(shí)的學(xué)力”觀點(diǎn)可以看成“新學(xué)力觀”的延續(xù)和發(fā)展。

2.數(shù)學(xué)學(xué)科的“學(xué)力”內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)學(xué)科的“學(xué)力”是指因數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而獲得的能力或作為學(xué)習(xí)成績(jī)表現(xiàn)出來的能力。借鑒日本“扎實(shí)的學(xué)力”觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)科的“學(xué)力”分成三個(gè)部分：基礎(chǔ)知識(shí)和技能，主動(dòng)學(xué)習(xí)的態(tài)度，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心能力。數(shù)學(xué)學(xué)科的核心能力主要是指：從數(shù)學(xué)角度提出問題，數(shù)學(xué)表征與變換，數(shù)學(xué)推理與論證，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)地解決問題，數(shù)學(xué)交流?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：數(shù)學(xué)教育在學(xué)校教育中占有特殊的地位，它使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理，使學(xué)生具有實(shí)事求是的態(tài)度、鍥而不舍的精神，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界。從某種意義上說，這也可以看成對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)力的一種解讀。

三、“杏壇杯”活動(dòng)中的課堂實(shí)踐

1.教學(xué)過程的呈現(xiàn)與亮點(diǎn)。

王偉老師參賽的課題是《二項(xiàng)式定理》，它是學(xué)生學(xué)習(xí)了計(jì)數(shù)原理后，對(duì)排列組合知識(shí)的相關(guān)應(yīng)用。本節(jié)課將“類比引領(lǐng)、問題驅(qū)動(dòng)、自主探究”作為教學(xué)設(shè)計(jì)的核心思想。

在“創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣”環(huán)節(jié)，王偉老師通過兩次“有放回的摸球”，引導(dǎo)學(xué)生將摸球的結(jié)果和二項(xiàng)展開式建立內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，引發(fā)和強(qiáng)化學(xué)生主動(dòng)探究的欲望。王老師設(shè)置的“有放回的摸球”問題情境，對(duì)于學(xué)生來說是親切熟悉的，因?yàn)樗鼇碓从趯W(xué)生的生活，這一情境啟發(fā)學(xué)生在游戲和新知識(shí)之間建立本質(zhì)聯(lián)系，更為以后學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其概率分布中的二項(xiàng)分布做鋪墊，體現(xiàn)了教師良好的數(shù)學(xué)教育素養(yǎng)。

在“類比引領(lǐng)，問題驅(qū)動(dòng)”環(huán)節(jié)，王老師通過三次“有放回的摸球”，引導(dǎo)學(xué)生深入討論（a+b）3的展開式與摸球結(jié)果的聯(lián)系，學(xué)生之間展開數(shù)學(xué)交流，其中生3通過自己的思考提出了數(shù)學(xué)問題，生4給予了恰當(dāng)?shù)幕貞?yīng)，學(xué)生有一定的時(shí)間和空間相互切磋，學(xué)生的“說理”論證得到充分的展示，在二項(xiàng)展開式和摸球游戲的兩個(gè)模型之間建立了本質(zhì)聯(lián)系。

在“自主探究，形成定理”環(huán)節(jié)，由于之前的“腳手架”效應(yīng)，學(xué)生從特殊到一般得出二項(xiàng)展開式，重點(diǎn)對(duì)通項(xiàng)形式進(jìn)行探究，進(jìn)而得到了二項(xiàng)式定理，學(xué)生數(shù)學(xué)地解決了本節(jié)課的問題。整個(gè)過程自然流暢，水到渠成，體現(xiàn)了教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的理解和駕馭能力。

在“新知運(yùn)用，鞏固深化”環(huán)節(jié)，例題的選擇源于書本，例1和例2都是書本原有的例題。例1是二項(xiàng)式定理的直接應(yīng)用及簡(jiǎn)單變形應(yīng)用，通過該例強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)公式的記憶和理解。例2的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別。從知識(shí)角度分析，這是本節(jié)課的難點(diǎn)。例題的選擇則高于課本，例3的第一種解法是二項(xiàng)式定理的變式應(yīng)用，需要學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)變換能力，例3的第二種解法是類比（a+b）n的推導(dǎo)過程，是對(duì)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式的本質(zhì)理解。

問題是科學(xué)思維的起點(diǎn)。在教學(xué)過程中，王偉老師以問題為中心，進(jìn)行創(chuàng)造性教學(xué)。以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)過程的各個(gè)環(huán)節(jié)，不斷通過問題激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí)的熱情。這樣就使學(xué)生的學(xué)習(xí)成為自主探究、自主發(fā)現(xiàn)和自主創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過程。在本節(jié)課的教學(xué)過程中，對(duì)于每一個(gè)問題，王老師都是讓學(xué)生通過獨(dú)立思考或合作交流解決。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程的始終，都能積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，積極思考問題，主動(dòng)探求問題的答案。

2.對(duì)初始情境的進(jìn)一步探討。

“二項(xiàng)式定理”是數(shù)學(xué)選修2-3第一章第1.3節(jié)第一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容。其形成過程是組合形式的應(yīng)用，同時(shí)也是自成體系的知識(shí)塊。二項(xiàng)展開式與多項(xiàng)式乘法有密切的聯(lián)系。

2.1從多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算探源二項(xiàng)式定理

多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加。由多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則可以得到（a1+a2+a3）（b1+b2）（c1+c2+c3+c4）展開式共有3×2×4項(xiàng)，即從第一個(gè)括號(hào)內(nèi)任取一項(xiàng)乘以第二個(gè)括號(hào)中的一項(xiàng)再乘以第三個(gè)括號(hào)內(nèi)的一項(xiàng)得到結(jié)果中的一項(xiàng)。再體會(huì)（a+b）2、（a+b）3結(jié)果中項(xiàng)的形成過程，進(jìn)一步把（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）展開過程分成三個(gè)步驟：①不合并同類項(xiàng)共有多少項(xiàng)？②合并后各項(xiàng)應(yīng)為什么？③如何得到每一項(xiàng)的系數(shù)？最后推廣至（a+b）n。

2.2從實(shí)際問題應(yīng)用探源二項(xiàng)式定理

在解決實(shí)際問題的過程中也能獲得二項(xiàng)式定理展開式的靈感。例如：

問題1：4個(gè)袋中有紅球a、白球b各一個(gè)，每次從4個(gè)袋子中各取一個(gè)球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？在4個(gè)袋子中，

這恰是（a+b）4的展開式。進(jìn)一步推廣到（a+b）n。

問題2：桶里有大小相同、質(zhì)地相同的a、b兩小球，有放回地取4次，有幾種不同的取法？

與問題1解法類似。

問題3：某城市的街道縱橫織成方格網(wǎng)，行人只能在街道上行走，方向規(guī)定朝東或朝南前行，某同學(xué)欲從A處前往B處，有多少種走法？

可以從簡(jiǎn)單的問題研究起：

將其繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，觀察新的方網(wǎng)格圖，發(fā)現(xiàn)恰是二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)排列（楊輝三角）。

2.3從推理思維方面探源二項(xiàng)式定理

類比推理和歸納推理是數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的兩種思維方式，在研究二項(xiàng)式定理時(shí)，從（a+b）1、（a+b）2、（a+b）3的展開式出發(fā)不僅可以歸納出一般的結(jié)論，而且在計(jì)算中可以感受到一般結(jié)果是如何形成的。

（a+b）1=a+b，

（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2，

（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3

思考：（a+b）4=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）=？

1）（a+b）4展開后各項(xiàng)形式分別是什么？

a4 a3b a2b2 ab3 b4

2）各項(xiàng)前的系數(shù)代表著什么？

各項(xiàng)前的系數(shù)就是在4個(gè)括號(hào)中選幾個(gè)取b的方法種數(shù)。

3）你能分析說明各項(xiàng)前的系數(shù)嗎？

以上三種初始情境和王偉老師采用的初始情境有所不同，筆者以為，從理解二項(xiàng)式定理的角度看，各有千秋，如果從提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力角度來看，課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)可以變換一下視角：刪除第四個(gè)應(yīng)用環(huán)節(jié)，把上面的方法作為一種補(bǔ)充，使學(xué)生能夠融會(huì)貫通，更本質(zhì)地理解知識(shí)。

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