李成軍

方程（組）與不等式（組）是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是每年中考必考的內(nèi)容. 題目的呈現(xiàn)方式比較多，其中包含了一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，為同學(xué)們的解題提供了一定的思考空間. 下面以幾道近年來(lái)的中考題為例，談?wù)勅绾吻捎脭?shù)學(xué)思想解決方程（組）和不等式（組）中的問(wèn)題，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考.

一、 整體思想

例1 （2014·內(nèi)蒙古呼和浩特）已知m、n是方程x2+2x-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2-mn+3m+n=______.

【分析】本題可以通過(guò)解一元二次方程x2+2x-5=0得到m和n的值，然后代入代數(shù)式求值. 由于m和n的值都帶根號(hào)，代入計(jì)算時(shí)，較麻煩. 如果我們仔細(xì)觀察所求代數(shù)式的特點(diǎn)，將3m轉(zhuǎn)換為m+2m，便可把代數(shù)式變形為m2+2m-mn+m+n，然后利用方程的根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系，便可以整體代入，從而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的目的.

解：因?yàn)閙是方程x2+2x-5=0的實(shí)數(shù)根，所以m2+2m-5=0，即m2+2m=5，又因?yàn)閙+n=-2，mn=-5，所以m2-mn+3m+n=m2+2m-mn+m+n=5-（-5）+（-2）=8.

例2 （2013·湖北鄂州）若關(guān)于x，y的二元一次方程組3x+y=1+a，x+3y=3的解滿足x+y<2，則a的取值范圍為______.

【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題時(shí)，要善于觀察，通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，充分利用整體思想進(jìn)行巧解.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

【分析】本題可以先分別求出各不等式的解集，得到不等式組的解集，再根據(jù)解集中恰有三個(gè)整數(shù)解，得出關(guān)于a的不等式，進(jìn)而求出a的取值范圍. 此題在得到不等式組的解集后，如能利用數(shù)軸分析解集中的整數(shù)解，從而確定a的取值范圍，則既準(zhǔn)確直觀，又可以提高解題的效率.

【分析】此題在解不等式組得出兩個(gè)不等式的解集后，根據(jù)不等式組的解集的確定方法“小大大小中間找”，可以求出a的取值范圍. 但有些同學(xué)可能在通過(guò)不等式組有解去確定a的取值范圍時(shí)有困難，如果能通過(guò)數(shù)軸去分析，利用數(shù)形結(jié)合的思想，會(huì)更直觀簡(jiǎn)便.

解：兩個(gè)不等式的解集分別為x-37，∴a>-36.

【點(diǎn)評(píng)】此類通過(guò)不等式組的條件求相關(guān)字母的取值范圍的問(wèn)題，通常可以借助數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，達(dá)到巧解的目的.

三、 分類討論思想

例5 （2014·山東濰坊）等腰三角形一條邊的長(zhǎng)為3，它的另兩條邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+k=0的兩個(gè)根，則k的值是（ ）.

A. 27 B. 36

C. 27或36 D. 18

【分析】由于等腰三角形的邊有腰和底之分，所以題中給出邊長(zhǎng)為3的一條邊不確定是腰還是底，因此要進(jìn)行分類討論.

解：當(dāng)邊長(zhǎng)為3的邊是底時(shí)，另兩條邊是腰應(yīng)該相等，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)b2-4ac=（-12）2-4k=0，得k=36，此時(shí)方程的兩根是x1=x2=6，即三邊為3、6、6，符合題意；當(dāng)邊長(zhǎng)為3的邊是腰時(shí)，則它的另兩條邊中有一條邊長(zhǎng)為腰等于3，即方程有一個(gè)根是3，∴32-12×3+k=0，從而求出k=27，x2-12x+27=（x-3）（x-9）=0，此時(shí)三數(shù)為3、3、9，不構(gòu)成三角形，因此不符合題意. 所以k的值為36.

【點(diǎn)評(píng)】分類討論后的結(jié)果要看是否符合題中的條件.

【分析】把此分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程（a-1）x=2 后，原分式方程無(wú)解的情況可能是方程出現(xiàn)增根x=2，也有可能是所化成的整式方程（a-1）x=2本身無(wú)解，因此要進(jìn)行討論.

解：方程兩邊同時(shí)乘x-2，得：ax=4+x-2，化簡(jiǎn)，得：（a-1）x=2. 若原方程無(wú)解，則有兩種情形：①當(dāng)a-1=0，即a=1時(shí)，原分式方程無(wú)解；②方程（a-1）x=2的解恰好是原分式方程的增根x=2，代入得a=2. 因此a的值為1或2.

【點(diǎn)評(píng)】增根不適合分式方程，但是滿足并來(lái)源于整式方程，將增根代入整式方程成立. 同時(shí)要注意理解分式方程無(wú)解和有增根的區(qū)別和聯(lián)系，特別是不要忘記考慮分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程本身無(wú)解的情況.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）