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“子彈”與“射線”,風馬牛不相及?

2015-09-10 07:22薛麗敏嚴育洪
教學月刊·小學數(shù)學 2015年4期
關(guān)鍵詞:端點射線課例

薛麗敏 嚴育洪

“望”:病例觀察

“射線、直線的認識”是蘇教版教材四年級上冊的內(nèi)容,下面是一位教師對該課的教學片段。

教師課件演示:黑夜里,手電筒的開關(guān)打開,對著墻面。復習以前學過的線段,強調(diào)線段有限長。

教師接著課件演示:將手電筒的光線射向遠方。學生描述光線特點,如直直的、沒有盡頭等。教師揭示:手電筒的光源——燈泡,我們可以把它看作一個端點,它射出的光線向外無限延伸,像這樣的光線就可以看作是射線。然后教學射線的畫法和特征,強調(diào)射線無限長。

教師隨之出示教材夜景燈光圖,然后讓學生列舉現(xiàn)實生活中射線的例子,有一位學生舉例:“子彈射出的是射線?!?/p>

教師頗感意外,想了一會這樣評判:“子彈最終要掉下來的。所以它不是射線?!?/p>

……

教師接著課件演示:把兩個手電筒尾部相連,同時打開,得到一條直線(如下圖)。當教師講到直線沒有端點時,一位學生嘀咕:“明明有一點,怎么說沒有呢?”

最后,教師溝通線段、射線、直線之間的聯(lián)系:直線里可以取出線段和射線,因此線段和射線可以看成是直線的一部分。

……

教學進入練習環(huán)節(jié)。在判斷題中有一題是:小明畫了一條10厘米長的射線。學生都能正確判斷:因為射線無限長。在操作題中有一題是:過一點可以畫多少條直線?過兩點可以畫多少條直線?在匯報“過兩點可以畫多少條直線”時,有一位學生說:“可以畫許多條直線。”在哄堂大笑中,教師重新?lián)Q人得到了正確答案。

……

“問”:病歷記錄

課后,筆者找來那位舉例“子彈射出的是射線”的學生進行回訪:“你對老師的答復滿意嗎?”

學生如此解釋:“子彈最終會掉下來,我想燈光最終也會暗下來?!币源吮硎緦蠋煹牟粷M意。

接著,筆者又找來那位認為“過兩點可以畫許多條直線”的學生進行核實:“你怎么想到可以畫許多條的?”

這位學生捏著衣角說:“我想,鉛筆削得越細,直線就可以畫得越多。”原來作業(yè)紙上教師給的兩個點畫得比較大。

最后,筆者又找來一些學生,給他們出了這樣一道題目:“射線與直線,誰長?”

結(jié)果只有2人答對,其余大多數(shù)認為直線比射線長,理由是“射線是直線的一部分”,還有一些學生認為直線和射線一樣長,理由是“直線和射線都無限長”。

筆者轉(zhuǎn)而問上課教師一個問題:“你覺得你課中說的‘射線可以看成是直線的一部分’,對嗎?”

上課教師沉思了一會:“現(xiàn)在想想,我也感覺好像不對。但教學資料、別的老師都這么說,我也就這么說了?!?/p>

“哪里不對呢?”筆者追問。

“是啊,這也把我問糊涂了。射線和直線都是不可度量的,怎么還有‘射線是直線的一部分’這種說法呢?”上課教師感到困惑,頓了一會,補充道:“不過,語句中用了‘可以看成’,是不是說這不是真的,只是假設吧?”

……

“切”:病理診治

點、直線是原始概念,不能嚴格定義,描述它們的辦法是用公理來刻畫。在《幾何原本》中,只有直線的定義,沒有給出線段的定義。小學對線段、射線、直線都是憑借直觀認識,即使到了初中還有許多這樣直觀的“定義”,如江蘇科學技術(shù)出版社出版的七年級教科書中,線段的概念是這樣出現(xiàn)的:兩點之間的所有連線中,線段最短,然后用畫圖的方式指出圖中的什么線是直線。

在具體教學中,既可以從線段出發(fā),延長一端成射線,延長兩端成直線,也可以從直線出發(fā),截取一端成射線,截取兩端成線段。雖然可以由“此”及“彼”,但它們都是抽象的結(jié)果,彼此之間并沒有什么“血緣”關(guān)系,不存在上述由線段得到的射線、直線還是由直線得到的射線、線段等“推理”問題。

在美國的《發(fā)現(xiàn)幾何》和俄國的《直觀幾何》中是先定義直線,再用直線定義線段。而在許多小學教材(包括蘇教版教材)中,先教學線段,再由線段引出射線和直線,那是考慮到線段能夠在生活中找到原型,其有限性學生也容易理解。

上述課例中,一位學生舉例“子彈射出的是射線”,教師的回應是“子彈最終要掉下來的。所以它不是射線”,這樣的反對理由并不能讓人信服,這從課后那位學生的不滿可以看出。因為數(shù)學中研究的射線和直線在現(xiàn)實生活中是不存在的,“只能存在于人們的想象之中”,我們只能把某些線近似地看作射線,如太陽光線、射燈的光線、x光射線甚至上述課例中的手電筒的光線等等。實際上,生活中的這些“射線”都有盡頭,手電筒的光線更不用說,嚴格地說,它們都是線段。數(shù)學源于生活但又高于生活,數(shù)學不完全等同于生活,數(shù)學中所說的“射線”與生活中所說的x光射線的“射線”并非一回事情,數(shù)學中所說的“直線”與生活中所說的“直線”也并非一回事情(生活中所說的“直線”常常說的是“直的線”,也就是數(shù)學中的線段)。所以用“子彈最終要掉下來”的解釋來推翻學生的舉例,缺乏充足的說服力,可以被學生“燈光最終也會暗下來”的類比輕而易舉地推翻。

在上述課例的練習中,學生出現(xiàn)了“過兩點可以畫許多條直線”的知識錯誤,根本原因就在于“數(shù)學不完全等同于生活”。數(shù)學中,點是沒有大小的,線是沒有粗細的,而生活中,點常常畫得有大小,線常常畫得有粗細。許多教師不明就里,為了讓學生關(guān)注或為了讓學生注意,在黑板、投影或作業(yè)紙上人為地把點畫得很大、把線畫得很粗,結(jié)果讓學生誤以為點有那么大、線有那么粗,于是就產(chǎn)生了“鉛筆削得越細,直線就可以畫得越多”這種想法。由此要提醒教師的是:要選取更接近數(shù)學的生活原型,例如選用紅外線射出的光線要比手電筒射出的光線更好——點更小,線更細。另外,如果呈現(xiàn)了手電筒以及情景圖中射燈那么粗的光線,教師應該及時細化,抽象出一條線。

對“點的無限小”和“線的無限細”,從上述課例中學生的哄堂大笑和教師重新?lián)Q人回答的行為表現(xiàn)可以看出,教師和學生普遍存在理解困難。對此,教師可以通過以下方式讓學生來體會“點的無限小”:在三角形ABC中(如下圖),線段BC比線段DE長,按照一般思維,如果點有固定大小,那么線段BC上的點要比線段DE上的點多,然而,從A點向BC邊上的任意一點連線,DE邊上都有一點與之對應,例如G點與F點對應、I點與H點對應。理解了“點的無限小”,“線的無限細”也就迎刃而解。

如果說對“點的無限小”和“線的無限細”,在小學教學中只需點到為止,那么對“線的無限長”,本節(jié)課卻繞不開了。從課后多數(shù)學生回答“直線比射線長”的錯誤中可以看出,學生對“無限長”的理解還是模糊的,并沒有真正理解“無限”的含義。當然,教師也不能排除學生受前一個教學環(huán)節(jié)的影響,教師在溝通線段、射線、直線之間聯(lián)系的時候,采用了在直線里截取射線的做法,由此得到“射線是直線的一部分”的結(jié)論,這樣的做法和說法很容易讓學生誤以為射線比直線短。另外,直線可以向兩端延長,而射線只能向一端延長,也可能給學生造成錯覺。

學生的認識困難也常常源自于教師的認識困惑——“射線和直線都是不可度量的,怎么還有‘射線是直線的一部分’這種說法”,雖然許多教師在沿用別人的說法,其實心里是打了問號的。實際上,分析無限量之間的關(guān)系,要擺脫有限量的比較——“部分小于整體”的觀點束縛,運用有關(guān)理論來分析無限量:從集合的角度看,直線和射線可以看作兩個不同的點集,射線集合中的元素都包含于直線集合之中,所以射線集合是直線集合的真子集。因此,“射線是直線的一部分”是正確的,并非像上述教師所認為的只不過是“可以看成”。這如同可以說“自然數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)”,但不能說“自然數(shù)比偶數(shù)多”。因為偶數(shù)、自然數(shù)的個數(shù)都是無限的。如果給出一個自然數(shù) n,總會有一個偶數(shù) 2n 與它對應(如下圖),即自然數(shù)和偶數(shù)是一一對應的關(guān)系,所以它們應該是一樣多。另外,上述三角形ABC中,雖然線段BC比線段DE長,但線段DE上的點與線段BC上的點一樣多,也可以間接說明這種有限與無限的問題。

那么,在本課教學中,教師怎樣可以更好地讓學生體會射線和直線的無限長呢?一般教師的做法是讓學生想象,為了渲染效果,讓學生閉上眼睛聽教師詩一般的引導語——“這條直直的線,繼續(xù)延伸,穿過了美麗的校園,繼續(xù)直直地延伸,穿過了美麗的××市,繼續(xù)延伸……穿過了廣袤的原野,繼續(xù)延伸……穿過了波濤洶涌的大?!^續(xù)延伸……延伸……”教師的語氣由強慢慢變?nèi)?,由急慢慢變緩,引導學生感受“無限”。對于小學生來說,還無法從較為理性的方面去認識無限,只能通過這種感性的知覺去體會。

其實,這種“看不見”的想象是可以外化和顯化的,在本質(zhì)上,射線和直線可以看成點的無限延伸。首先,教師可以從線段開始讓學生感受到線是點的集合。先出示兩個點(如下圖),用多媒體演示連點成線的動態(tài)過程,并指出為了說明線段的“有頭有尾”,在數(shù)學上一般要標出端點。以此換一個角度讓學生重新認識已經(jīng)學過的線段。

此時學生也就明白,正因為線段“有頭有尾”,所以有限長,才能測量長度。之后,教師用多媒體把一個端點繼續(xù)延伸形成不同長度的線段,讓學生體會端點的符號意義。

有了前面的基礎,教師就可以對線段從新開始、從頭開始做全程的動態(tài)演示:由一點開始,向一個方向延伸,到一點結(jié)束,這樣的“有始有終”就形成了一條線段。然后順著這個思路,射線就是這樣的點的運動:由一點出發(fā),向一個方向無限延伸,永遠不停止,沒有終點,這樣的“有始無終”就形成了一條射線。接著,教師就可以讓學生把想象中的這條射線畫出來。受限于紙面,學生會想辦法表示出射線的無限,憑經(jīng)驗可能會出現(xiàn)如下表征方式:

當然也可能有學生受前面環(huán)節(jié)的啟發(fā),以不標端點來表示無限長,從而直接想到射線的一般畫法。為了強化學生對射線無限長的認識,教師可以畫出“長短”不同的射線,讓學生辨析長短,從而認識到射線沒有長短,不同“長短”的射線都表示無限長。

由光線引入體現(xiàn)了從生活走向數(shù)學,也就是我們所說的橫向數(shù)學化,而現(xiàn)在由點引入則體現(xiàn)了縱向數(shù)學化,可以避免學生受光線粗細、發(fā)散、容易被阻擋等非本質(zhì)屬性因素的影響。小學教學中,兩者可以互為補充。

前面說到線段、射線、直線之間沒有“血緣”關(guān)系,它們相互獨立。而一旦數(shù)學教學把靜態(tài)的結(jié)果化的結(jié)論變成動態(tài)的過程性的教學情境、任務的有機串聯(lián),之后,它們之間似乎就有“血緣”關(guān)系??梢哉f,這里是點的運動把它們緊緊地連接在了起來。

如果把射線形象地看成“射出”的點的軌跡,那么上述課例中學生所舉的“子彈射出的是射線”例子與燈光情景相比,更容易讓學生“看到”點(子彈頭)動成線(子彈頭射出的軌跡)的動態(tài)過程。由此可見,這個例子是一種很好的生成資源,教師應該開發(fā)利用。

一旦突破射線的無限性,直線的教學就輕而易舉了,沒有必要再像上述課例那樣依然靠“手電筒”這樣的生活原型來引出直線概念,完全可以直接從相關(guān)的數(shù)學概念導出:第一種方案是把線段的兩端無限延伸,第二種方案是把射線的另一端無限延伸。為了讓學生對線段、射線、直線三者關(guān)系有一個整體的認識,可以把這兩種變化方式都列入教學環(huán)節(jié)中,一個可以作為新知的引出,一個可以作為新知的鞏固。至于哪一個為先,從知識上看,都能接得上,從環(huán)節(jié)上看,由剛教的射線知識引出的第二種方案可能更為自然。當然,最后還可以這樣演示:由一點出發(fā),向兩頭無限延伸,這樣的“無始無終”就形成了一條直線。

上述課例中,在從手電筒引出直線時,一位學生嘀咕:“明明有一點,怎么說沒有呢?”這是教學概念與實際現(xiàn)象相脫節(jié)的緣故,也是心理學中的“沉錨效應”。在心理學中,我們的行動、決策、價值判斷等常常易受第一印象或第一信息支配,就像沉入海底的錨一樣把人們的思想固定在某處,這就是“沉錨效應”。確實,受前面所學的線段、射線端點的影響,學生要能夠區(qū)分“點”與“端點”是有一定的難度。所以,我們應該一開始就留給學生正確的第一印象,而點動成線的直線形成方式就能夠很好地做到這一點。

接下來緊連著“在直線上截取線段和射線”這一教學環(huán)節(jié),可以由剛才的“延長”行為反向成現(xiàn)在的“截取”行為,讓學生對線段、射線和直線三者關(guān)系的認識更全面、更深刻。這樣,像課后訪談那樣,學生可能會對“線段和射線是直線的一部分”這種說法產(chǎn)生錯誤理解,解決之策是,在這一個教學環(huán)節(jié)之后,教師應趁熱打鐵,出示“射線與直線,誰長”這一問題讓學生思辨。與單純的“小明畫了一條10厘米長的射線”判斷題相比,這一問題更能夠檢測學生對“無限”的理解,使問題在第一時間內(nèi)暴露并得到澄清。

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