史鵬軍

摘 要： 本文通過(guò)深入解析第一類換元積分公式，給出了巧用第一類換元積分公式快速計(jì)算不定積分的方法，該方法還可以判斷一個(gè)不定積分能否直接利用該公式進(jìn)行計(jì)算，大大提高了解題效率.

關(guān)鍵詞： 第一類換元積分公式 復(fù)合函數(shù) 不定積分

不定積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，直接積分法、換元積分法、分部積分法是計(jì)算不定積分的基本方法，第一類換元積分法（也稱為湊微分法）是最基礎(chǔ)的，也是應(yīng)用最廣泛的積分方法，因此，熟練掌握第一類換元積分法是后繼學(xué)習(xí)第二類換元積分法和分部積分法的基石.筆者就怎樣巧用第一類換元積分公式快速計(jì)算不定積分談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)和體會(huì)，供初學(xué)者借鑒.

1.深入解析第一類換元積分公式.

設(shè)函數(shù)f（u）具有原函數(shù)，u=φ（x）可導(dǎo)，則有換元積分公式[1]

？蘩f[？準(zhǔn)（x）]？準(zhǔn)′（x）dx=？蘩f[？準(zhǔn)（x）]d？準(zhǔn)（x）=[？蘩f（u）du]■.

（1）題設(shè)中的條件，函數(shù)f（u）具有原函數(shù)，即f（u）可積，其實(shí)f（u）一定是基本積分公式表中某一類型的函數(shù).

（2）由？蘩f[？準(zhǔn)（x）]d？準(zhǔn)（x）可以看出，被積函數(shù)無(wú)論多么復(fù)雜，也只能看做二重復(fù)合函數(shù)的積分.

（3）若不定積分？蘩g（x）dx可以用此公式計(jì)算，則一定可化成？蘩g（x）dx=k？蘩f[？準(zhǔn)（x）]d？準(zhǔn)（x）（k是非零常數(shù)）的形式.

2.將基本積分公式表中的變量x全部換成一般的初等函數(shù)？準(zhǔn)（x），得到下列廣義基本積分公式表.下面只列舉一部分.

①？蘩x■dx=■x■+c（u≠-1）→？蘩？準(zhǔn)（x）■d？準(zhǔn)（x）=■？準(zhǔn)（x）■+C（u≠-1）；

②？蘩■dx=ln|x|+C→？蘩■d？準(zhǔn)（x）==ln|？準(zhǔn)（x）|+C；

③？蘩a■dx=■+C→？蘩a■d？準(zhǔn)（x）=■+C；

④？蘩e■dx=e■+C→？蘩e■d？準(zhǔn)（x）=e■+C；

⑤？蘩cosxdx=sinx+C→？蘩cos？準(zhǔn)（x）d？準(zhǔn)（x）=sin？準(zhǔn)（x）+C；

⑥？蘩■dx=arctanx+C→？蘩■d？準(zhǔn)（x）=arctam？準(zhǔn)（x）+C；

3.怎樣巧用第一類換元積分公式計(jì)算不定積分？蘩g（x）dx？

（1）分析被積函數(shù)g（x）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，根據(jù)基本積分公式表中被積函數(shù)的類型，確定復(fù)合函數(shù)f[？準(zhǔn)（x）]，將g（x）化成g（x）=h（x）f[？準(zhǔn)（x）]；

（2）直接計(jì)算d？準(zhǔn)（x）=t（x）dx，比較t（x）和h（x）得到常數(shù)k，k=■，于是得到？蘩g（x）dx=k？蘩f[？準(zhǔn)（x）]d？準(zhǔn)（x）；

（3）利用廣義基本積分公式表直接寫出結(jié)果.

注：第（2）步如果將t（x）和h（x）作比較，得到的不是常數(shù)k，而是關(guān)于x的函數(shù)，此時(shí)不能直接用第一類換元積分公式計(jì)算，需要對(duì)被積函數(shù)g（x）先做恒等變形，然后作分析.

4.舉例說(shuō)明.

例1：計(jì)算？蘩xe■dx.

解：被積函數(shù)直接就是h（x）f[？準(zhǔn)（x）]的形式，直接計(jì)算d（x■）=2xdx，比較2x和x得常數(shù)k=■=■，于是有廣義基本積分公式④得：

？蘩xe■dx=■？蘩e■d（x■）=■e■+C.

例2：計(jì)算？蘩（1+2x）■dx.

解：被積函數(shù)直接就是h（x）f[？準(zhǔn)（x）]的形式，h（x）=1，？準(zhǔn)（x）=1+2x，d？準(zhǔn)（x）=2dx，比較得k=■，于是有廣義基本積分公式①得：

？蘩（1+2x）■dx=■？蘩f（1+2x）■d（1+2x）=■·■（1+2x）■+C=■（1+2x）■+C.

例3：計(jì)算？蘩■dx.

解：？蘩■dx=？蘩■■dx，h（x）=■，d（■）=■dx，比較得k=1，于是？蘩■dx=？蘩■d（■）=arcsin■+C.

例4：計(jì)算？蘩cos■xdx.

解：cos■x可以看成u■和u=cosx的復(fù)合，d（cosx）=sinxdx，但是經(jīng)比較k=■不是常數(shù)，因此？蘩cos■xdx不能直接用第一類換元積分公式計(jì)算.此時(shí)可用三角公式將被積函數(shù)變形為：cos■x=■.

即？蘩cos■xdx=？蘩■dx=■？蘩dx+？蘩cos■xdx，

而？蘩cos2xdx可巧用公式求解得？蘩cos2xdx=■？蘩cos2xd（2x）=■sin2x+C，

于是？蘩cos■xdx=■x+■sin2x+C.

總之，第一類換元積分法主要是計(jì)算復(fù)合函數(shù)的不定積分，積分運(yùn)算是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，因此，初學(xué)者只要熟練掌握復(fù)合函數(shù)和微分運(yùn)算的基本知識(shí)，就可以運(yùn)用本文所給出的方法快速計(jì)算不定積分.

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2008.