摘要：本文結(jié)合不定積分的計(jì)算，對(duì)變形前后函數(shù)定義域的變化進(jìn)行了分析，并歸結(jié)為三種類(lèi)型，給出了改進(jìn)的措施，對(duì)保證不定積分計(jì)算的正確性、提高教學(xué)質(zhì)量，有重要的作用。

關(guān)鍵詞：不定積分;變形;定義域;歸類(lèi)分析

中圖分類(lèi)號(hào)：O172???? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A???? 文章編號(hào)：1674-9324（2014）41-0117-02

1 引言

不定積分的計(jì)算，往往需要對(duì)被積表達(dá)式進(jìn)行相應(yīng)的變形。但是，如果不注意變形的恒等性，則會(huì)引起變形前后被積函數(shù)定義域的變化，從而使計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤。下邊結(jié)合具體實(shí)例，對(duì)不定積分變形中函數(shù)定義域的前后變化情況做如下的分析與歸類(lèi)，給出了教學(xué)中的改進(jìn)措施，以確保不定積分計(jì)算的正確性。

2 使用有關(guān)微分公式導(dǎo)致函數(shù)定義域的變化

例1.求I=■arcsinxdx.

解：I=■xarcsinx-■■

=xarcsinx+■■■=xarcsinx+■+c.

求解分析：被積函數(shù)的定義域是x∈[-1，1]，本題是求被積函數(shù)在閉區(qū)間[-1，1]上的不定積分，但微分公式darcsinx=■卻要求x≠±1，即x∈（-1，1）.但計(jì)算結(jié)果F（x）=xarcsinx+■卻是在開(kāi)區(qū)間內(nèi)（-1，1）成立，變形前后函數(shù)的定義域發(fā)生了改變，結(jié)果欠妥。

正解：將函數(shù)F（x）=xarcsinx+■的定義域從開(kāi)區(qū)間（-1，1）延拓到x∈[-1，1]即可。

例2.求I=■■dx.

解：I=2■cos■d■=2sin■+c.

求解分析：被積函數(shù)的定義域是x∈（0，+∞），但微分公式■dx=d■卻是在x∈[0，+∞]內(nèi)成立，因而F（x）=2sin■+c的定義域比原被積函數(shù)的定義域擴(kuò)大了，結(jié)果欠妥。

正解：在得到結(jié)果F（x）=2sin■后，在x∈（0，+∞）上作對(duì)F（x）的限制即可。

改進(jìn)措施：這類(lèi)錯(cuò)誤由于忽視了有關(guān)公式的成立條件，導(dǎo)致原函數(shù)的定義域與被積函數(shù)的定義域在個(gè)別點(diǎn)處發(fā)生了變化，這時(shí)，對(duì)求得的原函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)延拓或限制即可。

3 使用恒等變形導(dǎo)致函數(shù)定義域的變化

例3.求I=■■.

解：I=■■=-■■d■

=-arcsin■+c.

求解分析：被積函數(shù)的定義域是x<-1或x>1，但變形中的x■=x2■卻僅在x>1時(shí)成立，忽略了x<-1時(shí)的情況，結(jié)果欠妥。

正解：

I=■■=-arcsin■+c1，x>1arcsin■+c2，x<-1.

例4.求I=■■.

解：I=■■=■■

=2ln■+■+c.

求解分析：被積函數(shù)的定義域是x<-2或x>0，但變形中的第一個(gè)等號(hào)卻是在x>0時(shí)成立，忽略了x<-2時(shí)的情況，結(jié)果欠妥。

正解：I=■■=lnx+1+■+c.

這樣的例子還很多，在此不一一列舉。

改進(jìn)措施：這類(lèi)錯(cuò)誤的產(chǎn)生，是因?yàn)樵诤愕茸冃沃?，忽視了變形的恒等性（不是真正的恒等），?dǎo)致被積函數(shù)的定義域在某個(gè)區(qū)間內(nèi)發(fā)生了變化。這時(shí)，除了對(duì)函數(shù)的定義域進(jìn)行全面的討論外，還要注意使用的變形是不是真正的恒等變形，使變形前后被積函數(shù)的定義域保持一致，亦可采取其他的方法進(jìn)行求解。

4 使用變量替換導(dǎo)致函數(shù)定義域的變化

例5.求I=■■dx.

解：令x=sect，則dx=secttantdt，

I=■■secttantdt=■dt=t+c=arccos■+c.

求解分析：令f（x）=■，則其定義域?yàn)閤<-1或x>1，變形■=■=tant沒(méi)有討論t的取值范圍，忽略了x<-1時(shí)的情況，故結(jié)果欠妥。

正解：

■=|tant|=tant，t∈（0，■）（x>1）-tant，t∈（-■，0）（x<-1）

正確的結(jié)果為：

I=arccos■+c，x>1-arccos■+c，x<-1

例6.求I=■■.

解：令x=■，則dx=-■，代入I得：

I=-■■-arcsin■+c=-arcsin■+c

求解分析：被積函數(shù)的定義域?yàn)閤>1或x<-■.但變形■■=■■中沒(méi)有考慮t<0即x<-■的情況，結(jié)果欠妥。

改進(jìn)措施：這類(lèi)錯(cuò)誤是由于在對(duì)不定積分進(jìn)行變量替換變形時(shí)，忽略了新舊變量間取值范圍的一致性，導(dǎo)致了變形前后函數(shù)定義域發(fā)生了變化。為此，在使用換元法進(jìn)行變量替換時(shí)，一定要注意對(duì)使用的變量替換做分析，使得替換前后的定義域完全相同，出現(xiàn)擴(kuò)大就需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)南拗?，出現(xiàn)縮小要進(jìn)行相應(yīng)的延展，保證變量替換及變形中新舊變量取值的前后一致性，進(jìn)而保證變形前后被積函數(shù)的定義域不發(fā)生變化。

參考文獻(xiàn)：

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[3]樊映川，等.高等數(shù)學(xué)講義（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，1980：372.

[4]盛祥耀.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1994：298.

作者簡(jiǎn)介：吳維峰（1963-），男（漢族），濰坊工程職業(yè)學(xué)院副教授，主要從事高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。