張金科，伍小杰，趙明龍，王 釗

（中國礦業(yè)大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，江蘇 徐州 221008）

0 引言

近年來，電力電子學(xué)在工業(yè)、航天、能源和家居等領(lǐng)域取得了蓬勃的發(fā)展。在中高壓大功率逆變器中，開關(guān)器件常工作在較低的開關(guān)頻率以減少損耗并提高變頻器出力，但這會造成電流劇烈畸變、諧波增大甚至出現(xiàn)失穩(wěn)以致變頻器不能工作等嚴(yán)重問題。為什么開關(guān)頻率降低會帶來上述影響就成了一個(gè)很重要的研究課題，已有學(xué)者從變頻器建模的角度進(jìn)行了深入的研究[1]，本文則主要從混沌的角度來嘗試分析上述問題。

混沌是一門研究確定論系統(tǒng)內(nèi)在隨機(jī)性的科學(xué)[2]，在過去二十多年里已有眾多學(xué)者將它應(yīng)用在電力電子變換器的研究中[3-5]，并形成一套有效的研究方法，如對變換器建立基于開關(guān)周期的離散模型和雅可比矩陣特征值判斷穩(wěn)定性等[6-9]。與電力變換器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相對應(yīng)，變換器模型的實(shí)質(zhì)是一組非線性微分方程的疊加，因此在建模時(shí)常把變換器與被控對象組成的系統(tǒng)看作分段光滑的非線性動(dòng)力系統(tǒng)。文獻(xiàn)[4]研究了DC-DC變換器中的混沌現(xiàn)象，建立了實(shí)用的迭代離散模型，但對工作在正弦逆變狀態(tài)的正弦脈寬調(diào)制（SPWM）逆變器討論較少；文獻(xiàn)[10]系統(tǒng)地研究了單相SPWM在主電路及控制器參數(shù)變化時(shí)的混沌分岔現(xiàn)象，在文獻(xiàn)[4]迭代離散模型的基礎(chǔ)上建立了新的離散數(shù)學(xué)模型，并針對正弦逆變的情況討論了參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，但未涉及開關(guān)頻率方面的研究；文獻(xiàn)[11]研究了H橋直流斬波電路中的邊界碰撞分岔現(xiàn)象；文獻(xiàn)[12]研究了DC-DC變換器中的混沌現(xiàn)象，并總結(jié)了混沌研究中常用的建模方法。

當(dāng)前電力電子中的混沌研究主要集中在數(shù)學(xué)建模、參數(shù)變化分析等方面，對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的討論多是圍繞控制器系數(shù)、直流側(cè)電壓、阻感負(fù)載參數(shù)等方面，開關(guān)頻率對系統(tǒng)產(chǎn)生的分岔混沌現(xiàn)象還鮮有研究。本文嘗試從開關(guān)頻率對逆變器的影響切題，系統(tǒng)地研究了由不同開關(guān)頻率造成的分岔現(xiàn)象，對電流時(shí)域解中的開關(guān)頻率指數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了合理的簡化，得出了使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)域圖，并和仿真得出的二維分岔圖進(jìn)行了對比分析。本文以H橋?yàn)檠芯繉ο?，討論了電流脈寬調(diào)制中的混沌現(xiàn)象，對深入研究低開關(guān)頻率下的非線性現(xiàn)象研究有指導(dǎo)意義。

1 單相SPWM逆變器精確離散模型

圖1是SPWM的H橋逆變器電路圖。

圖1 單相SPWM逆變器電路圖Fig.1 Circuit diagram of single-phase SPWM inverter

單相SPWM逆變器存在2種工作狀態(tài)：狀態(tài)1為VT1和 VT3開通，VT2和 VT4關(guān)斷；狀態(tài) 2為 VT2和 VT4開通，VT1和VT3關(guān)斷。相應(yīng)的狀態(tài)方程分別如式（1）和（2）所示。

假設(shè)狀態(tài)1的工作時(shí)間為tn，并定義占空比dn=tn/Ts，則狀態(tài) 2 的工作時(shí)間為（1-dn）Ts，其中 Ts為控制器的時(shí)鐘周期，fs=1/Ts即為逆變器的開關(guān)頻率。

頻閃采樣法是一種以時(shí)鐘周期Ts為采樣間隔的建模方法，它忽略單個(gè)采樣周期內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)的變化，而只關(guān)注采樣點(diǎn)時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，其基本原理是使用第nTs時(shí)刻的狀態(tài)來表示第（n+1）Ts時(shí)刻的狀態(tài)。設(shè)nTs時(shí)刻的電感電流為in，連續(xù)求解微分方程（1）和（2）可得第（n+1）Ts時(shí)刻的電流為：

當(dāng)采用比例控制時(shí)，占空比dn作如下取值：

其中，k為比例系數(shù)；Iref為給定電流量。

2 分岔、混沌現(xiàn)象觀察及分析

對于離散映射式（3），通過改變Ts來研究開關(guān)頻率對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。逆變器仿真參數(shù)為：E=100 V，R=10 Ω，L=10 mH，Iref=5sin（40πt）A，即 α=10 A，τ=0.001 s，f1=20 Hz。其中，f1為給定信號Iref的頻率。

2.1 穩(wěn)定狀態(tài)

取比例控制系數(shù)k=0.8，當(dāng)開關(guān)頻率fs=5kHz時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，取每個(gè)nTs時(shí)刻的電流采樣點(diǎn)繪成頻閃采樣圖，如圖2（a）所示。圖2（b）是把每個(gè)采樣電流點(diǎn)連接起來的直線，它近似反映了采樣周期為Ts的時(shí)域波形，該圖描述了兩相鄰采樣點(diǎn)電流的變化情況。穩(wěn)定狀態(tài)又稱周期一狀態(tài)，頻閃采樣電流的頻譜分析如圖2（c）所示。

圖2 系統(tǒng)在周期一狀態(tài)下的行為Fig.2 System behavior during period 1

2.2 周期二狀態(tài)

當(dāng)開關(guān)頻率fs=3.8 kHz時(shí)，系統(tǒng)處于周期二狀態(tài)，即分岔狀態(tài)。此時(shí)的電流頻閃采樣圖為2條正弦線，如圖3（a）所示。電流時(shí)域圖3（b）顯示了電流在2條正弦線之間的波動(dòng)情況。從頻譜分析圖3（c）中可以看出，在周期二狀態(tài)，電流開始出現(xiàn)高次諧波，THD值也明顯大于周期一。

圖3 系統(tǒng)在周期二狀態(tài)下的行為Fig.3 System behavior during period 2

2.3 混沌狀態(tài)

當(dāng)開關(guān)頻率fs=2.6 kHz時(shí)，系統(tǒng)已經(jīng)處于混沌狀態(tài)，從頻閃采樣圖來看，此時(shí)正弦波不再有明顯的規(guī)律可循，每個(gè)波峰處的峰值近乎隨機(jī)。頻譜分析表明，電流的高次諧波大幅增加，THD也比周期二更高。

圖4 系統(tǒng)在混沌狀態(tài)下的行為Fig.4 System behavior during chaos

2.4 分岔圖與穩(wěn)定性分析

分岔圖是研究混沌的常用方法，它能清楚地表明參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定的影響，僅考慮1個(gè)變量的分岔圖稱為一維分岔圖，考慮2個(gè)變量對系統(tǒng)影響的分岔圖稱為二維分岔圖[13-14]。

對于給定電流信號 Iref=5sin（40πt）A，在其波峰時(shí)刻對電感電流進(jìn)行采樣，繪制出不同開關(guān)頻率下的采樣點(diǎn)，即得電流隨開關(guān)頻率變化的一維分岔圖，如圖5所示。在開關(guān)頻率fs＞4 kHz時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，處于周期一狀態(tài)；在開關(guān)頻率fs＜4 kHz時(shí)，系統(tǒng)不再穩(wěn)定，采樣電流開始分岔，系統(tǒng)處于周期二狀態(tài)；隨著開關(guān)頻率繼續(xù)降低，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，采樣電流不再遵循明顯的規(guī)律，從圖5看出，采樣頻率在2 kHz左右時(shí)系統(tǒng)的無序性最為明顯。當(dāng)開關(guān)頻率fs降至1 kHz以下，H橋逆變器已沒有逆變效果，其輸出是周期與開關(guān)頻率相等的方波，采樣電流逐漸趨近2個(gè)固定的值。

圖5 比例控制下的一維分岔圖（k=0.8）Fig.5 1-D bifurcation diagram with proportional controller（k=0.8）

在實(shí)際工程中，總希望逆變器工作在周期一狀態(tài)。為得到使系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的參數(shù)域，可通過求解離散映射在不動(dòng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)來分析周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。對于式（3）所示的離散映射，令in=in+1，有：

求解式（5）中的未知量in即得系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行在周期一狀態(tài)下的不動(dòng)點(diǎn)，用i*表示。

對式（3）求導(dǎo)，并根據(jù) Floquet理論[15]定義特征乘子

則有：

為求得參數(shù)Ts與k對系統(tǒng)穩(wěn)定的影響，又因?yàn)橄到y(tǒng)穩(wěn)定時(shí)不動(dòng)點(diǎn)i*≈Iref，在不考慮給定量Iref影響的前提下，故可令式（7）中的in=Iref，因此簡化后的特征乘子為：

由式（10）可以看出，比例系數(shù)k與開關(guān)頻率fs近似成線性關(guān)系，滿足式（10）的k與fs所構(gòu)成的區(qū)域稱為系統(tǒng)的穩(wěn)定域，如圖6所示。

圖6 相空間k-Ts里的穩(wěn)定域Fig.6 Stability zone in k-Tsspace

通過仿真給出了比例控制下的二維分岔圖，如圖7所示。圖中黑色區(qū)域表示穩(wěn)定，白色區(qū)域表示混沌，可以看到周期一狀態(tài)位于右下角黑色三角區(qū)域，這與上述計(jì)算得出的穩(wěn)定域是一致的。

圖7 相空間k-Ts上的二維分岔圖Fig.7 2-D bifurcation diagram in k-Tsspace

3 時(shí)滯反饋控制低頻混沌

3.1 控制器設(shè)計(jì)

時(shí)滯反饋控制器TDFC（Time-Delayed Feedback Controller）在比例控制器的基礎(chǔ)上增加了滯后環(huán)節(jié)，其目的是增強(qiáng)周期軌道的穩(wěn)定性，滯后時(shí)間常數(shù)一般選為離散采樣的周期[16-19]。時(shí)滯反饋控制器結(jié)構(gòu)如圖8所示，控制信號γn由比例信號γPn和時(shí)滯信號γDn組成，其中 γPn=k（Iref-in），γDn=η（in-in-1），其中 k、η分別為比例系數(shù)和時(shí)滯系數(shù)。

圖8 時(shí)滯反饋控制器結(jié)構(gòu)Fig.8 Structure of TDFC

采用時(shí)滯反饋控制時(shí)，占空比dn取值如下：

3.2 控制效果

改變時(shí)滯控制器的時(shí)滯系數(shù)，觀察電感電流的穩(wěn)定性。當(dāng)k=0.8、η=0.1時(shí)，電流隨開關(guān)頻率變化的分岔圖如圖9所示。與圖5相比較，比例控制系統(tǒng)在開關(guān)頻率fs＜4 kHz時(shí)便已脫離穩(wěn)定狀態(tài)，而加入TDFC控制的系統(tǒng)在開關(guān)頻率fs＜3 kHz時(shí)才開始變得不穩(wěn)定，這說明TDFC可有效增強(qiáng)系統(tǒng)在中低頻段的穩(wěn)定性。圖10展示了時(shí)滯系數(shù)η=0.1時(shí)相空間k-Ts上的二維分岔情況，與圖7相比，可以看出右下角黑色三角形穩(wěn)定域的范圍大幅增加了。

圖9 TDFC控制下的一維分岔圖（η=0.1）Fig.9 1-D bifurcation diagram with TDFC（η=0.1）

圖10 TDFC控制下的二維分岔圖（η=0.1）Fig.10 2-D bifurcation diagram with TDFC（η=0.1）

當(dāng)k=0.8、η=0.2時(shí)，電感電流的一維分岔圖如圖11所示，當(dāng)開關(guān)頻率fs＜2 kHz時(shí)，系統(tǒng)才開始進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。相空間k-Ts上的二維分岔圖如圖12所示，與圖10相比，可以看出當(dāng)時(shí)滯系數(shù)η=0.2時(shí)，系統(tǒng)在k-Ts相空間右下的大片區(qū)域都能保持穩(wěn)定。仿真表明，在當(dāng)前電路參數(shù)下，控制器參數(shù)取k=0.65、η=0.2時(shí)，系統(tǒng)的開關(guān)頻率在1.5 kHz時(shí)開始出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。

圖11 TDFC控制下的一維分岔圖（η=0.2）Fig.11 1-D bifurcation diagram with TDFC（η=0.2）

圖12 TDFC控制下的二維分岔圖（η=0.2）Fig.12 2-D bifurcation diagram with TDFC（η=0.2）

3.3 穩(wěn)定邊界計(jì)算

加入時(shí)滯控制后，系統(tǒng)出現(xiàn)2個(gè)變量即in和in-1，故由式（3）和式（11）定義的離散映射是一個(gè)二階系統(tǒng)。重新定義系統(tǒng)狀態(tài)變量xn=in-1-i*，yn=in-i*，則有如下二階電流離散模型：

結(jié)合式（3）、（11）、（12），消去變量 in+1，可得系統(tǒng)離散狀態(tài)方程：

如圖13所示，在電感電流穩(wěn)定時(shí)占空比是不飽和的，其時(shí)域波形是一條平滑的曲線；當(dāng)電感電流處于分岔狀態(tài)或混沌狀態(tài)，占空比就會出現(xiàn)飽和的情況。所以在穩(wěn)定參數(shù)域內(nèi)，只需要考慮dn不飽和的情況，即：

圖13 不同開關(guān)頻率下的電感電流波形圖Fig.13 Waveforms of inductor current for different switching frequencies

結(jié)合式（14），求式（13）雅可比矩陣有：

根據(jù)Floquet理論，為使系統(tǒng)保持穩(wěn)定，需滿足特征乘子，其中λ是雅可比矩陣J的特征值。令可得如下特征方程：

使用朱利判據(jù)[4]來計(jì)算相空間η-Ts上的穩(wěn)定域，需要滿足下述條件：

結(jié)合式（18）、（19），可得出 η-Ts的關(guān)系滿足如下不等式：

需要注意的是，不動(dòng)點(diǎn)i*是與開關(guān)頻率fs有關(guān)的函數(shù)，但仿真表明開關(guān)頻率對i*的影響很小，當(dāng)fs=3.5 kHz、k=0.8時(shí)，i*=4.383，此時(shí)對應(yīng)的占空比 dn*=0.7468。在對穩(wěn)定域精度要求不高的情況下，不動(dòng)點(diǎn)i*與占空比dn*取上述恒定值是合理的。

式（20）描述的區(qū)域如圖14所示，它是一個(gè)近似三角形的穩(wěn)定域；在交點(diǎn)處，當(dāng)η約取0.22時(shí)，開關(guān)頻率fs可取到最小值約2.0 kHz，這表明在比例系數(shù)k=0.8時(shí)，時(shí)滯控制器的最優(yōu)效果可使開關(guān)頻率降至2 kHz。相空間η-Ts上的二維分岔圖如圖15所示，可以看出仿真得出的穩(wěn)定邊界同上述計(jì)算是基本一致的。

圖14 相空間η-Ts上的穩(wěn)定域（k=0.8）Fig.14 Stability zone in η-Tsspace（k=0.8）

圖15 相空間η-Ts上的二維分岔圖（k=0.8）Fig.15 2-D bifurcation diagramin η-Tsspace（k=0.8）

3.4 PI調(diào)節(jié)器的穩(wěn)定域求解

在使用PI控制器對電流環(huán)進(jìn)行調(diào)節(jié)時(shí)，系統(tǒng)的階次會增加，本文通過聯(lián)立控制器和被控對象的整體模型，并求其雅可比矩陣的特征值來計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)間。

PI控制器的傳遞函數(shù)為：

采用后項(xiàng)差分法，對式（21）進(jìn)行離散化，可得PI控制器的離散方程，即：

則PI輸出控制信號可表示為：

定義新的狀態(tài)變量為 xn=γn-1、yn=in-1、zn=in，則有如下狀態(tài)方程：

易求得式（24）的雅可比矩陣為：

則通過求式（25）的特征值即可解出系統(tǒng)的穩(wěn)定域，本文采用MATLAB編程給出式（25）特征值的數(shù)值解，如圖16所示。

圖16 開關(guān)頻率變化時(shí)的根軌跡圖（Kp=0.6，Ki=0）Fig.16 Eigenvalue locus when switching frequency changes（Kp=0.6，Ki=0）

圖16顯示了開關(guān)頻率fs變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡圖，其中控制器的參數(shù)為Kp=0.6、Ki=0，這也是與圖6中的結(jié)果是互為驗(yàn)證的。開關(guān)頻率fs在3.1 kHz處從坐標(biāo)（-1，0）處越過單位圓，則可知此時(shí)發(fā)生的是倍周期分岔。

圖17給出了系統(tǒng)在相空間Ki-Kp-fs下的穩(wěn)定區(qū)間，該圖更直觀地顯示了PI控制器的參數(shù)在不同開關(guān)頻率下的取值范圍。

圖17 系統(tǒng)在相空間Ki-Kp-fs下的穩(wěn)定域圖Fig.17 Stability zone in Ki-Kp-fsspace

4 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 仿真驗(yàn)證

針對式（3）、（11）所定義的離散系統(tǒng)，分別在開關(guān)頻率為3 kHz和2 kHz時(shí)進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖18所示。在k=0.8、fs=3 kHz時(shí)，采用比例控制的H橋逆變器工作在分岔狀態(tài)；在t=0.75 s時(shí)刻加入時(shí)滯環(huán)節(jié)，系統(tǒng)從分岔狀態(tài)過渡到周期一狀態(tài)，電感電流呈穩(wěn)定的正弦波，如圖18（a）所示。當(dāng)開關(guān)頻率fs=2 kHz時(shí)，采用比例控制的H橋逆變器工作在混沌狀態(tài)，電流波形紊亂呈隨機(jī)狀態(tài)；在t=0.75 s時(shí)刻加入時(shí)滯環(huán)節(jié)，當(dāng)時(shí)滯系數(shù)η=0.22時(shí)，控制效果最好，系統(tǒng)從混沌狀態(tài)過渡到周期一狀態(tài)，電感電流輸出正弦且保持在穩(wěn)定狀態(tài)，如圖18（b）所示。

圖18 仿真結(jié)果Fig.18 Simulative results

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

搭建如圖1所示的H橋逆變器實(shí)驗(yàn)平臺，主電路的參數(shù)如下：E=100 V，R=10 Ω，L=10 mH，Iref=5 sin（40πt）A；控制器采用 dSPACE1104 實(shí)驗(yàn)平臺，系統(tǒng)采樣頻率為20 kHz；觀察單相SPWM逆變器在不同開關(guān)頻率下的分岔混沌情況，并使用TDFC進(jìn)行控制，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖19所示。

圖19（a）、（b）展示了逆變器運(yùn)行在穩(wěn)定狀態(tài)的情況，電感電流的頻閃采樣圖是一條規(guī)則的正弦線；當(dāng)開關(guān)頻率降為fs=2.5 kHz時(shí)，系統(tǒng)處于倍周期分岔的臨界點(diǎn)，在時(shí)間t=3.02 s加入TDFC控制后，電感電流過渡到周期一狀態(tài)，電流頻閃采樣圖如19（c）所示；當(dāng)開關(guān)頻率降為fs=2 kHz時(shí)，電感電流時(shí)域波形如圖19（d）所示，系統(tǒng)處于周期二狀態(tài)，加入TDFC控制后，電感電流從分岔狀態(tài)過渡到周期一狀態(tài)并保持穩(wěn)定，其頻閃采樣圖分別為圖19（e）、（f）所示。

圖19 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.19 Experimental results

5 結(jié)論

本文主要研究了開關(guān)頻率對單相SPWM逆變器動(dòng)態(tài)行為的影響，做了以下三方面的工作：第一，采用比例控制下的H橋一階離散模型，在k-Ts相空間內(nèi)對系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析；第二，使用TDFC抑制了系統(tǒng)在中低頻段的混沌狀態(tài)，建立了時(shí)滯反饋控制下的H橋二階離散模型，并給出了相空間η-Ts上的二維分岔圖；第三，研究了PI控制器在不同開關(guān)頻率下的穩(wěn)定條件，通過計(jì)算雅可比矩陣的特征值給出了系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的參數(shù)域。

研究開關(guān)頻率造成的混沌對逆變器的設(shè)計(jì)具有重要指導(dǎo)意義，本文所采用的TDFC可有效消除H橋中因開關(guān)頻率降低帶來的混沌；對于其他類型的逆變器，可以根據(jù)不同的拓?fù)浣⑾鄳?yīng)的離散模型，本文的分析和控制方法具有一定的普適性。