□文/羅天奇　蔣志強(qiáng)　張麗娟

需求不確定性下報(bào)童模型最優(yōu)定價(jià)策略

□文/羅天奇蔣志強(qiáng)張麗娟

（西北師范大學(xué)知行學(xué)院甘肅·蘭州）

［提要］本文研究具有加法的隨機(jī)需求的報(bào)童模型中，隨機(jī)需求不確定性對于最優(yōu)決策和平均利潤的影響。

報(bào)童；定價(jià)；需求不確定性；隨機(jī)比較

收錄日期：2015年7月10日

一、引言

零售商從事各種各樣的活動改進(jìn)需求，如銷售點(diǎn)顯示：忠誠獎勵計(jì)劃與銷售激勵計(jì)劃，等等。然而，一個(gè)有趣的問題是：如果由于某些活動改進(jìn)需求使市場需求隨機(jī)較大，這些努力能否增加零售商的訂貨量？如果零售商價(jià)格制定者，然后對上述問題的答案是不清楚：零售商等購的數(shù)量可能更多，持平，或更少。這一結(jié)果直觀上很容易理解。隨著市場的不斷擴(kuò)大，零售商可以設(shè)定一個(gè)更高的價(jià)格來獲得更高的單位利潤的在訂貨時(shí)降低庫存風(fēng)險(xiǎn)。

各種銷售的努力可能會提高市場的需求，一些公司努力減少需求的不確定性。另一個(gè)有趣的問題就產(chǎn)生了：一個(gè)公司應(yīng)該為更多或更少的價(jià)格高于或低于如果減少需求的不確定性？因此，這是本文的第二個(gè)動機(jī)。

具體而言，我們考慮一個(gè)單周期庫存的定價(jià)問題，報(bào)童需要決定訂單數(shù)量的單一產(chǎn)品和銷售價(jià)格的隨機(jī)實(shí)現(xiàn)之前，價(jià)格敏感的需求。報(bào)童定價(jià)模型中加法和乘法需求是兩種常用的模型，乘法需求模型表示確定的產(chǎn)品需求依賴價(jià)格函數(shù)和隨機(jī)擾動，這個(gè)分支通常不考慮供應(yīng)的不確定性（請參考Yao等，2006）。

我們主要考慮需求不確定性（或隨機(jī)性）的加法模型，銷售的努力可能通過影響需求的隨機(jī)性，提高預(yù)測的準(zhǔn)確性或可能影響的隨機(jī)性的大小。

二、基本記號和預(yù)備

我們研究內(nèi)部生產(chǎn)模型，給出了隨機(jī)比較一些結(jié)果。本文模型中，我們假設(shè)公司應(yīng)急供應(yīng)選擇好的公司。如果需求不滿足，那么相關(guān)的成本單位銷售價(jià)格p。如果需求被緊急購買滿足，那么相關(guān)的成本是e。如果p>e，那么是企業(yè)有較好的應(yīng)急供應(yīng)存在。本文中，我們假設(shè)零售商的最優(yōu)價(jià)格P*。如果這個(gè)假設(shè)不滿足，那么公司就沒有行使緊急購買選擇權(quán)動機(jī)，因此問題成為一個(gè)失去的銷售模式。在這種情況下，本文還大多數(shù)的結(jié)果成立。此外，該模型可以被看作是一個(gè)雙源模型的特殊情況：一個(gè)是隨機(jī)產(chǎn)量不可靠的來源但有較低單位成本c（訂單在銷售季節(jié)之前），另一個(gè)來源可靠，具有較高的單位成本E（如果真實(shí)需求超過最初的訂單數(shù)量）。該模型是不同于傳統(tǒng)的雙/多個(gè)源模型如Burke等人（2007）。令D（p，δ）表示具有單位銷售價(jià)格p和市場擾動δ的隨機(jī)需求函數(shù)，并且p和δ相互獨(dú)立。先前的文章集中于乘積模型，我們集中在加法模型。對于這一模型，需求函數(shù)表示如下：

D（p，δ）=d（p）+δ

這里δ定義在［Lδ，Uδ］上，（Uδ>Lδ>0）和E［δ］=λ。因此，E［D（p，δ）］=d（p）+λ。我們假設(shè)d（p）是連續(xù)的嚴(yán)格遞減的非負(fù)的函數(shù)并且二階微分函數(shù)定義在［c，p］上，這里p是最大的可接受價(jià)格我們假設(shè)對所有的p

在進(jìn)入本文的主要研究之前，我們首先回顧與本文研究密切相關(guān)的隨機(jī)序概念。為了方便，記隨機(jī)變量Xi的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為F（x）和f（x），剩余分布函數(shù)F（x）=1-F（x）。

定義1.1令Xi，i=1，2，表示兩個(gè)隨機(jī)變量，分別具有分布函數(shù)Fi（t）=P（Xi

（1）如果分布函數(shù)F2（t）stX1）；

三、主要結(jié)果

本文中，我們考慮生產(chǎn)誤差和的結(jié)構(gòu)（見M.Xu，Y.Lu，2013）可接受的定購數(shù)量q具有隨機(jī)擾動ε，Eε=μ，即q+ε。對于和的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)，生產(chǎn)誤差可導(dǎo)致某些管理誤差或某些不被總的生產(chǎn)或訂購數(shù)量影響的因素，不失一般性，我們假設(shè)-q≤Lε≤ε≤Uε具有Lε≤0和Uε≥0。

內(nèi)部生產(chǎn)模型公司的期望利潤是具有投入數(shù)量q和單位銷售價(jià)格p的函數(shù)如下：

π（q，p）=pEδ［D（p，δ）］+sEε，δ［（q+ε-D（p，δ））+］-eEε，δ［（D（p，δ）-q-ε）+］-cq=（p-e）Eδ［D（p，δ）］-（e-s）Eε，δ［（q+ε-D（p，δ））+］+（e-c）q+eμ

令F（x），f（x）和G（x），g（x）分別是δ和ε的分布函數(shù)和密度函數(shù)，其期望利潤函數(shù)表達(dá)式：

對于等式（1），關(guān)于p微分π（q，p）得：

對于給定的價(jià)格p，下面的定理給出了最優(yōu)數(shù)量。

定理1若eμ>c，對任意給定的p，則π（q，p）關(guān)于q是凹的，并且最優(yōu)數(shù)量q*（p）滿足：

注：不失一般性，在這篇文章其他部分，內(nèi)部生產(chǎn)模型中我們總假設(shè)eμ>c。

接下來的定理表明最優(yōu)定價(jià)的唯一性。

定理2若函數(shù)d（p）是對數(shù)凸的，則π（q*，p）是關(guān)于p的凹函數(shù)，因此存在唯一的最大值π（q*，p）。

證明π（q*，p）關(guān)于p，是凹的，僅需要證明：

很多需求函數(shù)具有對數(shù)凸性，例如反比例函數(shù)d（p）=a+b/p（a，b>0），負(fù)冪函數(shù)d（p）=ap-b（a>0，b>1）和指數(shù)函數(shù)d（p）=aeb/p（a，b>0）。

對于給定價(jià)格p，在普通隨機(jī)序下，較大的和的隨機(jī)需求將導(dǎo)致比較低的生產(chǎn)數(shù)量。

定理3對任意給定的可能價(jià)格p，若δ1>stδ2，則q*1（p）> q*2（p）。

證明因δ1>stδ2，暗示F2（x）>F1（x），接下來依據(jù)等式（3）：

這暗示對任意可能的價(jià)格p，q*1（p）>q*2（p），證明完成。

接下來的定理表明，在普通隨機(jī)序下，較大的和的隨機(jī)需求將導(dǎo)致比較低的最優(yōu)價(jià)格。

定理4若δ1>stδ2，則p*1>p*2。

證明在p=p1*處我們估計(jì)，等式（2）在p*1處

滿足＝-λ1，可得：

這里不等式因δ1>stδ2暗示λ2<λ1。因此，可得結(jié)論p*1>p*2。證明完成。

下面定理暗示內(nèi)部生產(chǎn)模型中，在凸序下較小的隨機(jī)需求變化導(dǎo)致較高的隨機(jī)期望利潤。

定理5若δ1>cvδ2，則對任意的q和p，π1（q，p）>π2（q，p）。因此，δ1>cvδ2，暗示π*1>π*2。

證明因δ1>cvδ2暗示λ1=λ2和，可dx］dG（u）≥0，證明完成。得：

主要參考文獻(xiàn)：

［1］Burke，G.J.，Carrillo，J.E.，Vakharia，A.J.，Single versusmultiple supplier sourcing strategies.European Journal of Operational Research.2007.182.1.

［2］M inghui Xu a，Ye Lub，European Journal of Operational Research.2013.227.

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