梁桂珍，豐瑩瑩

（1.新鄉(xiāng)學院數(shù)學與信息科學學院，河南新鄉(xiāng)453003；

2.鄭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，鄭州450001）

具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)的全局分析

梁桂珍1，豐瑩瑩2

（1.新鄉(xiāng)學院數(shù)學與信息科學學院，河南新鄉(xiāng)453003；

2.鄭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，鄭州450001）

研究了具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)，該系統(tǒng)包含具有階段結(jié)構(gòu)和時滯特征的捕食者種群和兩類具有互惠關(guān)系的食餌種群。通過比較原理得到了該系統(tǒng)持續(xù)生存和捕食者滅絕的充分條件，并證明了該系統(tǒng)為周期系統(tǒng)時其正周期解的存在性和全局穩(wěn)定性。

階段結(jié)構(gòu)；時滯；互惠關(guān)系；持續(xù)生存；Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)

捕食系統(tǒng)方面的研究是現(xiàn)代生態(tài)學領(lǐng)域的重要課題。研究結(jié)果表明，在低密度狀態(tài)下，具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)與實際情況更加吻合。近年來，國內(nèi)外學者對具有該功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)進行了多方面的研究，這些研究包括捕食系統(tǒng)的持久性、時滯和周期解的穩(wěn)定性［1-4］，但具有互惠關(guān)系的食餌種群方面的研究尚不多見。陳婷和魏鳳英研究了具有階段結(jié)構(gòu)特征的捕食者和兩類具有競爭關(guān)系的食餌組成的生態(tài)系統(tǒng)的持久性［4］。在此基礎(chǔ)之上，我們分析、研究了具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)，通過比較原理得到了該系統(tǒng)持續(xù)生存和捕食者滅絕的充分條件，并證明了該系統(tǒng)為周期系統(tǒng)時其正周期解的存在性和全局穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)描述

在本文中，我們考慮了一類具有階段結(jié)構(gòu)和時滯特征的捕食者種群、兩類具有互惠關(guān)系的食餌種群以及捕食者對食餌的Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)，并建立了捕食系統(tǒng)

在系統(tǒng)（1）中，x1（t）和x2（t）分別表示兩類食餌種群的密度，y1（t）和y2（t）分別表示捕食者幼年期和成熟期的種群密度，e1（t）和e2（t）分別表示兩類食餌種群間的競爭率，r1（t）和r2（t）分別表示食餌種群的內(nèi)稟增長率，b1（t）、b2（t）和b3（t）分別代表種群的密度制約，d1（θ）和d2（t）分別表示捕食者幼年期和成熟期的種群死亡率。

2 相關(guān)的定義和引理

由（3）式可以證明，當t≥-τ時，有y1（t）＞0。

綜合以上證明過程可知，系統(tǒng)（1）滿足條件（2）的任一解都是正的，即是系統(tǒng)（1）的正向不變集。

3 系統(tǒng)的持續(xù)生存性

由系統(tǒng)（6）的前兩個方程，并結(jié)合x1（0）、x2（0）的取值，可以得出如下3個結(jié)論：

由（6）式的前兩個方程，并結(jié)合x1（0）、x2（0）的取值，可以得出如下3個結(jié)論：

綜上所述，并由定義1可知，系統(tǒng)（1）是持續(xù)生存的。

4 正周期解的全局穩(wěn)定性

在以下證明過程中，我們假設(shè)系統(tǒng)（1）的所有系數(shù)都是以ω為周期的正連續(xù)有界函數(shù)，這時系統(tǒng)（1）也稱為ω周期系統(tǒng)。

定理4：假設(shè)

若滿足初始函數(shù)（2）的系統(tǒng)（1）滿足定理1的條件，則系統(tǒng)（1）是全局穩(wěn)定的。

5 舉例

為了說明周期解的全局穩(wěn)定性，我們給出生態(tài)系統(tǒng)

可以驗證，系統(tǒng)（7）的系數(shù)滿足定理4的條件。取初始條件為x1（0）=6，x2（0）=10，y1（0）=1，y2（0）=2，并運用Matlab軟件進行數(shù)值模擬，計算結(jié)果見圖1。由圖1可以看出，系統(tǒng)（7）的解是全局穩(wěn)定的。

圖1 系統(tǒng)（7）的周期解的全局穩(wěn)定性

6 結(jié)束語

通過研究一類具有Beddington-DeAnglis功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)，我們得到了捕食系統(tǒng)持續(xù)生存和捕食者滅絕的充分條件，即只有當捕食者成年和幼年的種群密度達到一定程度時，它才不會滅絕。另外，我們還通過Brouwer不動點定理，證明了該系統(tǒng)是周期系統(tǒng)時其正周期解的存在性，并通過構(gòu)造Liapunov函數(shù)，證明了周期解的全局穩(wěn)定性。

［1］ZHENG X L，MENG X L，GAO Y P，et al.Study on A Non-autonomous Predator-prey Dispersion-delay Model with Beddington-DeAngelis Functional Response［J］. Journal of Biomathematics，2014（2）：231-247.

［2］吳麗萍.一個具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的離散捕食者-食餌系統(tǒng)的持久性［J］.北華大學學報（自然科學版），2013（6）：626-630.

［3］熊友兵.具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)的時滯捕食者-食餌模型的周期解［J］.天津工業(yè)大學學報，2007（3）：81-85.

［4］陳婷，魏鳳英.具有年齡結(jié)構(gòu)一捕食兩競爭食餌生態(tài)系統(tǒng)的持久性［J］.福建師大福清分校學報，2009（5）：1-5.

［5］梁桂珍，李坤.非自治的具有階段結(jié)構(gòu)和時滯的捕食系統(tǒng)的動力學行為［J］.數(shù)學雜志，2011（3）：415-422.

［6］田寶丹，王海玲.具有HollingⅠV類功能性反應(yīng)的非自治擴散系統(tǒng)的持久生存［J］.四川師范大學學報（自然科學版），2004（6）：610-613.

【責任編輯 王云鵬】

Global Analysis of a Predator-prey System with Beddington-DeAngelis Functional Response

LIANG Guizhen1，F(xiàn)ENG Yingying2
（1.School of Mathematics andInformation Science，Xinxiang University，Xinxiang 453003，China；
2.School of Mathematics and Statistics，Zhengzhou University，Zhenzhou 450001，China）

In this paper，a predator-prey system with Beddington-DeAngelis functional response was investigated.The system comprised the stage structure feature，the predator population with delay feature and two prey populations with mutually beneficial relationship.According to the comparative principle，some sufficient conditions were proved for the permanence of the system and extinction of the predator，and some sufficient conditions were proved for the existence and global stability of positive periodic solution when this system was a periodic system.

stage structure；delay；mutually beneficial relationship；permanence；Beddington-DeAngelis functional response

O175.21

A

2095-7726（2015）06-0001-06

2015-07-02

河南省科技廳科技攻關(guān)項目（122102310373，132102310482）；新鄉(xiāng)學院科技創(chuàng)新項目（12ZB17）

梁桂珍（1964-），女，內(nèi)蒙古臨河人，教授，碩士，研究方向：生物數(shù)學和非線性分析。