陳玉鳳

動(dòng)靜結(jié)合是道家境界之一，一方面是指道家在練功方式上強(qiáng)調(diào)靜功與動(dòng)功的密切結(jié)合，在練動(dòng)功時(shí)要掌握“動(dòng)中有靜”，在練靜功時(shí)要體會(huì)“靜中有動(dòng)”。高中數(shù)學(xué)解題中有很多問題也蘊(yùn)含著“動(dòng)”與“靜”關(guān)系的把握，動(dòng)靜結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的方法之一，本文結(jié)合筆者的經(jīng)驗(yàn)和大家一同感悟使用“動(dòng)靜結(jié)合”轉(zhuǎn)化的解題策略的幾種典型情形。

一、動(dòng)靜相對(duì)，動(dòng)靜互換

例1：過圓x2+y2=r2內(nèi)部一點(diǎn)M（a，b）作動(dòng)弦AB，過A，B分別作圓的切線，設(shè)兩條切線的交點(diǎn)為P，求證：點(diǎn)P恒在一條定直線上運(yùn)動(dòng)。

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），不妨將A，B，P都視為定點(diǎn)（視動(dòng)為靜），先求直線AB的方程.切線PA的方程為x1x+y1y=r2，切線PB的方程為x2x+y2y=r2

∵點(diǎn)P在切線上，∴x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2

這表明A，B都在直線x0x+y0y=r2上，故直線AB的方程為x0x+y0y=r2

又因點(diǎn)M（a，b）在直線AB上，所以x0a+y0b=r2

任意點(diǎn)P（x0，y0）都滿足上式，故動(dòng)點(diǎn)P必在定直線ax+by=r2上（換靜為動(dòng)）

點(diǎn)評(píng)：常與變、動(dòng)與靜的角色是相對(duì)的，同一對(duì)象，根據(jù)需要隨時(shí)靈活選擇和變換其角色，能使復(fù)雜的問題得以較為簡(jiǎn)單解決。

二、動(dòng)中有靜，動(dòng)中找靜

例2：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱A1B1上，點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在棱AD上，若EF=1，則三棱錐P-EFQ體積的最大值為 ? ? 。

[A][B][C][D][D1][A1][B1][C1][P][Q][F][E] [A][B][C][D][D1][A1][B1][C1][P][Q][F][E] [圖1]

分析：讀題成圖（圖1左側(cè)），求三棱錐P-EFQ體積，頂點(diǎn)P在動(dòng)，底面三角形EFQ在動(dòng)，變?cè)?，怎么求呢？此時(shí)將動(dòng)點(diǎn)E、F作“靜態(tài)”處理，視“動(dòng)”為“靜”，連接A1D和B1C（圖1右側(cè)），發(fā)現(xiàn)三角形EFQ始終在對(duì)角面A1B1CD上運(yùn)動(dòng)，它的面積恒為定值××1=，頂點(diǎn)P到底面三角形EFQ的距離即為P到對(duì)角面A1B1CD的距離，即PD，所以所求的三棱錐體積最大值為。

點(diǎn)評(píng)：從以上例題可以看出，充分挖掘題目的隱含條件，洞察問題的本質(zhì)，將問題視為運(yùn)動(dòng)變化過程中的某一靜止時(shí)刻，如上例中動(dòng)三角形在定矩形中運(yùn)動(dòng)，動(dòng)中找靜，以靜制動(dòng)，排除干擾，化繁為簡(jiǎn)，使問題迎刃而解。

三、靜中有動(dòng)，靜中覓動(dòng)

例3：已知圓C∶（x-2）2+y2=1，點(diǎn)P在直線l∶x+y+1=0上，若過點(diǎn)P存在直線m與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A為PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0的取值范圍是 ? ? 。

[A][B][P][O][x][y][y][A][B][P][O][x][C] [圖2]

分析：解決這道題，就是先“固定”點(diǎn)P，讓A與B“動(dòng)起來”，則當(dāng)=滿足題意，而∈[，+∞]（如圖2），所以≤，即PC≤3，從而得（x0-2）2+（-x0-1）2≤32，解得x0∈[-1，2]。

點(diǎn)評(píng)：辯證法認(rèn)為動(dòng)與靜是相對(duì)的，是事物運(yùn)動(dòng)變化過程中的兩個(gè)方面，二者相互依存，相互蘊(yùn)含，相互轉(zhuǎn)化.從例3可以看出，對(duì)一些表面看似靜態(tài)的但含有“變?cè)钡膯栴}，不妨讓變?cè)皠?dòng)起來”，從而打開解題通道，準(zhǔn)確無(wú)誤解決問題。

綜上所述，數(shù)學(xué)解題過程中蘊(yùn)含著“動(dòng)”與“靜”這種對(duì)立和統(tǒng)一的關(guān)系.解題中若能有效聯(lián)想上面三類“動(dòng)靜結(jié)合”的解題策略，會(huì)使一些復(fù)雜的問題巧妙地得到解決。

·編輯 王團(tuán)蘭