熊永臣，羅時(shí)軍，楊俊濤

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北十堰442002）

并聯(lián)雙量子點(diǎn)體系中的RKKY相互作用及局域磁矩

熊永臣，羅時(shí)軍，楊俊濤

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北十堰442002）

借助數(shù)值重整化群方法研究了并聯(lián)雙量子點(diǎn)體系中，在位庫倫排斥作用及溫度對(duì)體系局域態(tài)密度及磁矩的影響。計(jì)算表明：態(tài)密度中觀察到的RKKY相互作用與在位庫倫作用成反比關(guān)系；隨著溫度的變化，局域磁矩依次經(jīng)歷自由軌道區(qū)間、局域磁矩區(qū)間、自旋三重態(tài)區(qū)間以及Kondo屏蔽區(qū)間。計(jì)算結(jié)果和微擾理論的結(jié)果是吻合的。相關(guān)結(jié)論可以用來描述半導(dǎo)體量子點(diǎn)器件、磁性雜質(zhì)、磁性分子結(jié)及相關(guān)團(tuán)簇吸附問題的強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)。

雙量子點(diǎn)體系；RKKY相互作用；數(shù)值重整化群；強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系；Kondo效應(yīng)

在過去的三四十年間，凝聚態(tài)物理的發(fā)展取得了極為矚目的成就，弄清楚了許多材料的大部分物性問題。然而，還是存在一些疑難問題亟待解決，其中最為突出的莫過于強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系的相關(guān)問題。所謂強(qiáng)關(guān)聯(lián)，指的是電子與電子之間存在較強(qiáng)的相互作用。傳統(tǒng)的能帶理論建立在單電子近似的基礎(chǔ)上，忽略了電子與電子之間、電子與聲子之間的相互作用［1］，因而在處理過渡族金屬氧化物等強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系時(shí)遭到了失?。?］。

耦合的多量子點(diǎn)體系被看作是研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)問題非常理想的對(duì)象，一方面在于體系中量子點(diǎn)之間、量子點(diǎn)和導(dǎo)帶之間的各類參數(shù)便于控制；另一方面則在于量子點(diǎn)體系所展現(xiàn)出來的物理現(xiàn)象大部分可以在能夠達(dá)到的溫度下進(jìn)行觀測(cè)。在量子點(diǎn)體系的相關(guān)研究中，Kondo效應(yīng)及量子相變是重點(diǎn)研究的問題，涉及近藤問題、近藤絕緣體以及重費(fèi)米子問題，吸引了大批理論及實(shí)驗(yàn)工作者的注意。另一方面，隨著近年來量子計(jì)算機(jī)［3］及自旋電子學(xué)［4］的快速發(fā)展，作為量子器件的重要備選，量子點(diǎn)體系也自然成為研究者們關(guān)注的重點(diǎn)。

筆者采用數(shù)值重整化群（Numerical Renormal?ization Group，NRG）方法［5-6］研究了并聯(lián)雙量子點(diǎn)體系的局域態(tài)密度和局域磁矩受在位庫倫排斥作用的影響，并探討了磁矩對(duì)溫度的響應(yīng)特性。結(jié)論顯示，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果與微擾理論的結(jié)果相符，結(jié)論對(duì)進(jìn)一步厘清低溫下該體系的量子態(tài)、Ruder?man-Kittel-Kasuya-Yosida（RKKY）相互作用的起源及Kondo屏蔽的物理過程有重要參考價(jià)值。

1　模型及計(jì)算方法

雙量子點(diǎn)體系模型如圖1所示。為研究其RKKY相互作用及局域磁矩，采用式（1）給出的An?derson模型來描述其哈密頓量：

式中：εk為導(dǎo)帶電子的能級(jí)；ckσ為其湮滅算符；為其產(chǎn)生算符；k為波矢；σ為自旋方向，；niσ為第i個(gè)量子點(diǎn)自旋 σ， niσ=diσ；ni為總的粒子數(shù)算符，ni=ni↑+ni↓；ε為量子點(diǎn)的能級(jí)；U為量子點(diǎn)在位庫倫排斥作用；Vk描述導(dǎo)帶和量子點(diǎn)之間的混合作用。為避免參數(shù)太多導(dǎo)致模型過于復(fù)雜，假定2個(gè)量子點(diǎn)完全等同，且2個(gè)量子點(diǎn)與導(dǎo)帶之間的連接也左右對(duì)稱。

圖1　并聯(lián)雙量子點(diǎn)體系示意圖

考慮到量子點(diǎn)之間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)作用，采用NRG方法來處理該模型。該方法是一個(gè)非微擾的方法，且被證明在處理強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系和量子點(diǎn)雜質(zhì)問題上非?？煽浚?-8］。在具體的數(shù)值實(shí)現(xiàn)過程中，選擇離散化參數(shù) Λ為1.8～2.2，每1個(gè)迭代步驟保留1800～2000個(gè)態(tài)。同時(shí)，假設(shè)導(dǎo)帶的色散關(guān)系為線性關(guān)系，導(dǎo)帶的態(tài)密度為常數(shù)ρ0，因而雜化方程也是常數(shù)。延遲格林函數(shù)可表示為

于是局域態(tài)密度為

此外，局域磁矩可看作雙量子點(diǎn)對(duì)整個(gè)體系磁矩的貢獻(xiàn)，即

式中：Sz為系統(tǒng)總自旋的z分量；為統(tǒng)計(jì)平均值；0為不考慮量子點(diǎn)存在時(shí)的情況。

2　結(jié)果與討論

此部分討論強(qiáng)關(guān)聯(lián)范圍內(nèi)（U＞＞Γ），在位庫倫排斥作用U以及溫度對(duì)該量子點(diǎn)體系局域態(tài)密度和磁矩的影響。將導(dǎo)帶半寬D選為能量單位，且將費(fèi)米能級(jí)選在εF=0。與此同時(shí)，選定量子點(diǎn)能級(jí)在粒子—空穴對(duì)稱點(diǎn)，即有ε=-U/2，顯然，在此條件下體系半滿，即總電子數(shù)N為2。

圖2 a～b分別給出了零溫下U=0.1及U=0.15時(shí)，體系的局域態(tài)密度A（ω）。從圖中可以看出A（ω）關(guān)于費(fèi)米能級(jí)ω=0是完全對(duì)稱的。此時(shí)，由于U的存在，每個(gè)量子點(diǎn)趨向于單占據(jù)。除了處在ω=0處的Kondo峰和處在ω=±U/2處的2個(gè)庫倫峰之外，二者之間還發(fā)現(xiàn)了另外2個(gè)峰。這2個(gè)峰的產(chǎn)生主要在于，在并聯(lián)的多量子點(diǎn)體系中，存在量子點(diǎn)之間的RKKY相互作用。對(duì)于這個(gè)RK?KY作用存在的物理機(jī)制，可作如下解釋：由于2個(gè)量子點(diǎn)上的電子均與導(dǎo)帶電子之間存在反鐵磁的關(guān)聯(lián)耦合作用，即，那么量子點(diǎn)之間必然存在這樣一個(gè)鐵磁的、經(jīng)由導(dǎo)帶電子作為媒介而產(chǎn)生的關(guān)聯(lián)作用。同時(shí)，也發(fā)現(xiàn)隨著U的增大，RKKY峰越發(fā)靠近費(fèi)米能級(jí)。在圖2 c中，給出了RKKY峰所處位置ω=±JRKKY隨U的變化關(guān)系，其中帶空心圓的實(shí)線表示的是擬合函數(shù)，帶實(shí)心三角的實(shí)線則表示使用NRG方法得到的數(shù)值結(jié)果。可以發(fā)現(xiàn)擬合函數(shù)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合得非常好。這里，擬合函數(shù)可表示為JRKKY=6.4Γ2/U，這與微擾理論得到的結(jié)果是一致的［9］。

圖2　不同U對(duì)應(yīng)的局域態(tài)密度A（ω）及RKKY峰所處位置ω=±JRKKY與U的關(guān)系

接下來討論U對(duì)局域磁矩μ2（T）的影響，并給出μ2（T）在有限溫度下的響應(yīng)特性。圖3給出了U為0.06～0.20范圍內(nèi)，μ2（T）隨溫度T的變化關(guān)系，曲線從下到上分別對(duì)應(yīng)U=0.06～0.20（間隔為0.02）的磁矩—溫度變化關(guān)系，虛線所示的曲線對(duì)應(yīng)U=0.10。從中可以觀察到很清晰的4個(gè)區(qū)間。以U=0.10為例：1）當(dāng)T較高時(shí)，如T＞U，各量子點(diǎn)上的電子相互獨(dú)立，此時(shí)體系處在自由軌道區(qū)間，即多體態(tài)是等概率的，每個(gè)量子點(diǎn)對(duì)于μ2（T）貢獻(xiàn)1 8，總的局域磁矩為1/4；2）當(dāng)T繼續(xù)降低，如T=0.01＜U，此時(shí)量子點(diǎn)上的電子處在局域磁矩區(qū)間，多體態(tài)等概率，而則被抑制。此時(shí)每個(gè)量子點(diǎn)對(duì)磁矩的貢獻(xiàn)為1/4；3）若T降低到T～JRKKY區(qū)間，如T=0.001，由于RKKY相互作用的影響，量子點(diǎn)上的電子形成一個(gè)局域自旋三重態(tài)，體系的自旋S為1，則μ2（T）=S（S+1）/3=2/3；4）隨著T繼續(xù)降低（T～10-5），由于局域自旋受到了導(dǎo)帶電荷的部分Kondo屏蔽，可觀察到一個(gè)緩慢的下墜。剩下的自旋S為1/2，低溫下μ2（T）為1/4。這個(gè)屏蔽的溫度就是Kondo溫度。注意到在局域磁矩區(qū)間和自旋三重態(tài)區(qū)間，μ2（T）的大小與理論值稍有偏差，主要是由于在此溫度下，體系還有部分激發(fā)態(tài)存在。隨著U的增大，RKKY相互作用減弱，因此在圖3中可以看到曲線向左移動(dòng)。另外，隨著U/Γ的增大，量子點(diǎn)上電荷之間的自旋關(guān)聯(lián)更趨于自旋三重態(tài)的理論值1/2，因此在圖3中也可以看到U=0.20的最高點(diǎn)要大于U較小的曲線。

圖3　局域磁矩隨溫度變化的關(guān)系

3　結(jié)論

將數(shù)值重整化群方法運(yùn)用在一個(gè)并聯(lián)雙量子點(diǎn)體系中，討論了在位庫倫排斥作用U及溫度T對(duì)體系局域態(tài)密度及局域磁矩的影響。研究發(fā)現(xiàn)，隨著U的增大，態(tài)密度上的RKKY峰往費(fèi)米能級(jí)移動(dòng)，所在位置與U呈反比例關(guān)系，這與微擾理論得到的結(jié)論是相符的；隨著T的降低，體系依次經(jīng)歷自由軌道區(qū)間，局域磁矩區(qū)間，自旋三重態(tài)區(qū)間以及Kondo屏蔽區(qū)間。相關(guān)結(jié)論可以用來描述半導(dǎo)體量子點(diǎn)器件、磁性雜質(zhì)、磁性分子結(jié)及相關(guān)團(tuán)簇吸附問題的強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)。

［1］李正中.固體理論［M］.2版.北京：高等教育出版社，2002：390.

［2］馮端，金國鈞.凝聚態(tài)物理學(xué)（上卷）［M］.1版.北京：高等教育出版社，2006：385.

［3］D.P.DiVincenzo.Double Quantum Dot as a Quantum Bit［4］I.Zutic，J.Fabian，S.Das Sarma.Spintronics:Fundamen?tals and Applications［J］.Rev.Mod.Phys.，2004（76）: 323-410.

［J］.Science，2005（309）:2173-2174.

［5］H.R.Krishna-Murthy，J.W.Wilkins，K.G.Wilson.Re?normalization-group Approach to the Anderson Model of Dilute Magnetic Alloys I.Static Properties for the Symmet?ric Case［J］.Phys.Rev.B，1980（21）：1003-1043.

［6］R.Bulla，T.A.Costi，T.Pruschke.Numerical Renormal?ization Group Method for Quantum Impurity Systems［J］. Rev.Mod.Phys.，2008（80）:395-450.

［7］ W.Z.Wang.Spectral Properties and Quantum Phase Transitions in Parallel Triple Quantum Dots［J］.Phys. Rev.B，2007（76）:115114.

［8］Y.C.Xiong，J.Huang，W.Z.Wang.Gate-controlled Tran?sitions in Triple Dots with Interdot Repulsion and Magnet?ic Field［J］.J.Phys.:Condens.Matter，2012（24）: 455604.

［9］R.Zitko，J.Bonca.Multiple-impurity Anderson Model for Quantum Dots Coupled in Parallel［J］.Phys.Rev.B，2006（74）:045312.

RKKY Interaction and Local Magnetic Moment for a Parallel Double Dot System

Xiong Yongchen，Luo Shijun，Yang Juntao
（School of Sciences，Hubei University of Automotive Technology，Shiyan 442002，China）

The effects of the on-site Coulomb repulsion and temperature on the local density of states（DOS）and magnetic moment in a parallel double quantum dot system were studied by means of the nu?merical renormalization group method.The results show that the Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida（RKKY）interaction identified in the DOS is inversely proportional to U，and as temperature decreases，the magnetic moment goes through the following regimes:free orbital regime，local moment regime，spin triplet regime and Kondo screened regime.The numerical results are consistent with the perturbation theory.The results can be used to describe the strongly correlated effects of semiconductor quantum dot devices，magnetic impurities embedded in a metallic host，magnetic molecular junction and clusters on metallic surfaces.

DQD；RKKY interaction；NRG；strongly correlated system；Kondo effect

O469

A

1008-5483（2015）04-0059-03

10.3969/j.issn.1008-5483.2015.04.014

2015-10-09

湖北省自然科學(xué)基金（2015CFC789）；湖北汽車工業(yè)學(xué)院重大科研項(xiàng)目預(yù)研基金（2014XY06）；

湖北汽車工業(yè)學(xué)院博士基金（BK201407）

熊永臣（1983-），男，重慶酉陽人，博士，主要從事低維功能材料的量子相變及輸運(yùn)性質(zhì)研究。E-mail：xiongyc_lx@huat.edu.cn