周　超　黃健萌　高誠輝

福州大學,福州,350116

各向異性分形表面建模研究

周超黃健萌高誠輝

福州大學,福州,350116

為在計算機中對零件表面幾何形貌的各向異性性質(zhì)進行建模,進行了基于功率譜的各向異性分形表面建模研究。基于二維離散傅里葉變換的投影性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，實現(xiàn)了能在指定的單個或多個方向合成具有特定分形參數(shù)的各向異性分形表面的建模算法，并進一步討論了合成表面的幾何形貌與分形參數(shù)以及功率譜圖的關系。研究結(jié)果表明，基于表面功率譜，可以精確、直觀、方便地進行各類各向異性分形表面的建模。

分形表面;各向異性;功率譜;離散傅里葉變換

0　引言

隨著機械系統(tǒng)進一步向微型化發(fā)展,針對機械零件、刀具等表面幾何形貌的研究日益受到關注[1-2]。分形幾何是粗糙表面表征和建模的重要幾何模型,目前已深入開展了基于分形表面的接觸、摩擦、磨損等性能的研究。楊紅平等[3]推導了基于分形幾何的結(jié)合面法向接觸剛度計算模型;Ji等[4]基于分形幾何,建立了粗糙表面的接觸熱傳導預測模型；黃健萌等[5]基于有限元法，建立了在充分考慮粗糙表面接觸微凸體間的相互作用及接觸界面摩擦熱流耦合等影響因素情況下的分形表面與理想剛性平面接觸時的熱力耦合模型。目前的研究工作中，一般將各向同性的分形表面作為幾何模型,然而,實際零件表面存在大量的各向異性特性,研究、完善各向異性分形表面建模算法具有重要的理論和實際意義。文獻[6-8]進行了各向異性分形表面表征和建模的研究。其中,Wu[8]基于傅里葉變換分析了多種類型的各向異性分形表面，給出了相應的頻域表達式以及建模算法。與上述研究工作相比，本文基于二維離散傅里葉變換(discrete Fourier transform,DFT)的投影性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，通過直接修改功率譜圖進行各向異性分形表面建模。該表面建模算法在避免了數(shù)學復雜性的同時,可精細控制任意期望方向的分形參數(shù)。

1　基本理論

1.1二維離散傅里葉變換

二維DFT建立了函數(shù)空域(時域)和頻域的一一對應關系,對于采樣點數(shù)為N2的二維空域信號f(i,k),若令其傅里葉系數(shù)為F(u,v),則其離散傅里葉變換可表示為[9]

(1)

式中,N為沿一個方向的采樣點數(shù),為方便計算,一般取2的整數(shù)次冪;j為虛數(shù)單位,j2=-1;i、k為空域采樣序號;u、v為頻域采樣序號。

相應的離散傅里葉逆變換(inversediscreteFouriertransform，IDFT)為[9]

(2)

對于實二維信號f(i,k),F(u,v)一般為復數(shù),因此可表示為

F(u,v)=|F(u,v)|exp(jφ(u,v))

(3)

F(u,v)共軛對稱,即幅度譜

|F(u,v)|=|F(-u,-v)|

相位譜

φ(u,v)=-φ(-u,-v)

并有以下投影性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)[9-10]:

(1)投影性質(zhì)。若函數(shù)g(x,y)的傅里葉變換記為G(u,v),且g(x,y)向X軸的投影記為p(x)=∫g(x,y)dy,則p(x)的傅里葉變換P(u)=G(u,0)。

(2)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。若函數(shù)g(x,y)的傅里葉變換記為G(u,v),在空域中將g(x,y)旋轉(zhuǎn)角度θ,則G(u,v)在頻域中也旋轉(zhuǎn)了θ。

1.2各向同性分形表面建模

基于分數(shù)布朗運動分形表面的功率譜,采用二維IDFT的分形表面建模算法具有精度高、速度快及建立的分形表面的高度均方根偏差Sq可控的優(yōu)點[11]。

分形表面的功率譜滿足[12]：

(4)

式中,E(*)表示數(shù)學期望;D為分形維數(shù);C為尺度系數(shù)。

u=v=0時,令F(u,v)=0,此時合成表面各采樣點高度的均值為0[13]。若假設分形表面具有平穩(wěn)性,即合成的各表面采樣點高度的均值和均方根偏差不變,則式(4)可寫為[11,13]

(5)

(a)分形表面

(b)功率譜圖1　各向同性分形表面及其功率譜

令表面傅里葉系數(shù)的相位譜φ(u,v)為滿足均勻分布的隨機值,利用式(2)即可完成各向同性分形表面的建模。圖1a所示為基于式(5)建立的分形表面,圖1b所示為其功率譜。建模時,N=64，D=2.6,C2=4.1457×107。由于D和C是與尺度無關的分形參數(shù)，因此本文所建立的分形表面的高度單位為任意長度單位。同時,由文獻[14]可知,合成粗糙表面各采樣點高度的均方根偏差僅與采樣點數(shù)N和|F(u,v)|2有關,因此即使在進行各向異性分形表面建模時,也可保證其平穩(wěn)性。

2　各向異性分形表面建模

2.1沿空域i軸異性的分形表面

(a)沿u軸異性分形表面功率譜

(b)沿i軸異性分形表面圖2　沿空域i軸異性的分形表面

2.2沿其他方向異性的分形表面

若要使得合成后分形表面空域的異性方向與i軸夾角為θ,那么只需在功率譜圖上沿與u軸夾角為θ的方向,設置相應的各向異性參數(shù)即可。該步驟等價于:首先根據(jù)二維DFT的投影性質(zhì)，在表面功率譜圖的u軸上設置各向異性參數(shù);然后,根據(jù)二維DFT的旋轉(zhuǎn)性質(zhì),將具有各向異性特征的譜線旋轉(zhuǎn)θ角。圖3a所示的分形表面的異性方向與i軸夾角為45°,圖3b為其功率譜;圖3c所示的分形表面的異性方向與i軸夾角為135°,圖3d為其功率譜。

(a)沿與i軸45°角異性分形表面

(b)沿與u軸45°角異性分形表面功率譜

(c)沿與i軸135°角異性分形表面

(d)沿與u軸135°角異性分形表面功率譜圖3　非水平方向各向異性分形表面

上面討論中,分形表面的各向異性性質(zhì)僅出現(xiàn)在某單一方向,實際上,基于二維DFT的投影性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì),通過修改給定方向上的功率譜圖，可以方便地合成在多個方向上具有各向異性特性的分形表面。例如,圖4a、圖4b所示分形表面的異性方向同時平行于i軸和k軸;圖4c、圖4d所示表面的異性方向軸與i軸的夾角分別為45°和135°,雖然在這兩個方向上的功率譜相同,但受DFT隨機相位的影響,其空域幾何形貌并不相同。

(a)沿i軸和k軸異性分形表面

(b)沿u軸和v軸異性分形表面功率譜

(c)沿與i軸45°及135°角異性分形表面

(d)沿與u軸45°及135°角異性分形表面功率譜圖4　多方向各向異性分形表面

3　影響表面形貌的因素

(a)沿u軸異性分形表面功率譜

(b)沿i軸異性分形表面圖5　沿異性方向能量不占優(yōu)的分形表面

另外,以上表面除了在頻點(u=0,v=0)之外,其余各處功率譜都不為0,因此在外觀上出現(xiàn)了一個長波長的幾何特征。根據(jù)二維DFT的定義和有關性質(zhì),可將沿各向異性方向上更多的低頻成分置為0,從而獲得波動更為劇烈的各向異性分形表面。

圖6a所示的功率譜中,3個低頻成分即(u=0,v=0),(u=1,v=0)和(u=-1,v=0)處的|F(u,v)|2=0,圖6b為其空域幾何形貌;圖6c中,5個低頻成分，即(u=0,v=0)，(u=1,v=0)，(u=-1,v=0)，(u=2,v=0)和(u=-2,v=0)處的|F(u,v)|2=0,圖6d為其空域幾何形貌。

(a)3個低頻成分為0的分形表面功率譜

(b)3個低頻成分為0的分形表面

(c)5個低頻成分為0的分形表面功率譜

圖7a所示的功率譜中,3個低頻成分即(u=0,v=0),(u=1,v=1)和(u=-1,v=-1)處的|F(u,v)|2=0,圖7b為其空域幾何形貌;圖7c中,5個低頻成分即(u=0,v=0),(u=1,v=1),(u=2,v=2),(u=-1,v=-1)和(u=-2,v=-2)處的|F(u,v)|2=0,圖7d為其空域幾何形貌。

(a)3個低頻成分為0的分形表面功率譜

(b)3個低頻成分為0的分形表面

(c)5個低頻成分為0分形表面功率譜

(d)5個低頻成分為0的分形表面圖7　部分低頻成分為0的各向異性分形表面

4　結(jié)論

(1)基于二維離散傅里葉變換的投影性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，可靈活、方便地合成在指定的一個或多個方向具有給定分形參數(shù)的各向異性分形表面。

(2)功率譜圖中，修改沿給定各向異性軸方向的分形參數(shù)，可增加或減少沿該方向表面幾何形貌與其他方向的差別。

(3)根據(jù)需要使更多低頻成分的功率譜值為零,可合成波動更為劇烈的各向異性分形表面。

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(編輯張洋)

Modeling of Anisotropic Fractal Surface

Zhou ChaoHuang JianmengGao Chenghui

Fuzhou University,Fuzhou,350116

In order to model anisotropy surface geometry of components in computer,the algorithm of anisotropy fractal surface synthesis was studied,where any single or multi anisotropy direction fractal surface with specified fractal parameters could be synthesized based on the projection and rotation property of 2D discrete Fourier transform.And the relationship among fractal parameters,power spectrum and surface geometry appearance was discussed.It is found that anisotropy fractal surfaces can be modeled precisely,intuitively and conveniently with respect to the power spectrum of surfaces.

fractal surface;anisotropy;power spectrum;discrete Fourier transform

2014-05-15

TH161DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.08.006

周超,男,1978年生。福州大學機械工程及自動化學院副教授。主要研究方向為摩擦學。發(fā)表論文10余篇。黃健萌,女,1973年生。福州大學機械工程及自動化學院副教授。高誠輝,男,1953年生。福州大學機械工程及自動化學院教授、博士研究生導師。