薛梅
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個重要板塊,在歷年來高考中,所占比例10%左右,而數(shù)列求和是考查中重點內(nèi)容之一,很多學(xué)生都覺得面對數(shù)列求和問題,顯得很無力,下面我將結(jié)合具體實例來研究求和的方法.
一、倒序相加法
此方法源于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo),目的在于利用與首末兩項等距離的兩項相加有公因式可提取,以便化簡后求和.其實質(zhì)是對偶原理
小結(jié):對某些具有對稱性的數(shù)列,可運用此法.
二、公式法(或直接求和法)
此方法僅適用于等差或等比數(shù)列。
1.等差數(shù)列求和公式:
2.等比數(shù)列求和公式:
例2 (2013四川,理16)(本小題滿分12分)在等差數(shù)列{an}中,a1+a3=8,且a4為a2和a9的等比中項,求數(shù)列{an}的首項、公差及前n項和.
解:設(shè)該數(shù)列公差為d,前n項和為Sn.
由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).
所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即數(shù)列{an}的首項為4,公差為0,或首項為1,公差為3.
所以,數(shù)列的前n項和Sn=4n或Sn=
小結(jié):數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,直接運用等差或等比數(shù)列的前n項和公式求得.
三、裂項相消法
如果數(shù)列的通項公式很容易表示成另一個數(shù)列的相鄰兩項的差,即,則有.這種方法就稱為裂項相消求和法.
例3 ?.[2014·全國大綱卷(理18)]等差數(shù)列的前n項和為,已知,a2為整數(shù),且.
(I)求的通項公式;
(II)設(shè),求數(shù)列的前n項和.
[解析](I)由,為整數(shù)知,等差數(shù)列的公差d為整數(shù).又,故于是,解得,因此,故數(shù)列的通項公式為.(II),于小結(jié):要先觀察通項類型,在裂項求和,而且要注意相消后所剩下的項數(shù),后面還很可能前n項和的最值結(jié)合起來考查參數(shù)取值范圍。
四、錯位相減法
源于等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo),對于形如的數(shù)列,其中為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,均可用此法.
例4 [2014·全國卷Ⅰ(文17)]已知是遞增的等差數(shù)列,a2,a4是方程的根。
(I)求的通項公式;
(II)求數(shù)列的前n項和.
[解析]:(I)方程的兩根為2,3,由題意得,,設(shè)數(shù)列的公差為 d,,則,故d=,從而,
所以的通項公式為:
(Ⅱ)設(shè)求數(shù)列的前n項和為Sn,由(Ⅰ)知,
則:
兩式相減得
所以
小結(jié):錯位相減法的步驟是:①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比;②將兩個等式相減;③利用等比數(shù)列的前n項和公式求和.④注意相減后項數(shù)變成n+1項。
五、分組求和法
若數(shù)列的通項是若干項的代數(shù)和,可將其分成幾部分來求.
例5 ?[2014·北京卷(文15)]已知是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列滿足,,且是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和.
[解析](I)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由題意得:,
所以,
設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由題意得:,解得q=2.
所以,從而.
(II)由(1)知,,
數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為,
所以數(shù)列的前n項和為.
六、結(jié)語
在求和時,一定要認真觀察數(shù)列的通項公式,如果它能拆分成幾項的和,而這些項分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列,那么我們就用此方法求和。