常安成 湖南信息學院

積分變限函數(shù)求導研究

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本文先回顧積分上限函數(shù)的求導問題，然后由易至難逐步研究一些較為復雜的變限函數(shù)的求導問題，最后得到一個重要的定理。

變限函數(shù) 函數(shù)求導 分離變量函數(shù)

為了介紹牛頓——萊布尼茲公式，我們引入了積分上限公式函數(shù)。這是一個很重要的函數(shù)，有著很好的性質，只要在上連續(xù)，就一定有可導，且有求導公式。可以看出函數(shù)是函數(shù)的一個原函數(shù)，這就解決了不定積分中沒能證明的結論：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。容易推出。下面我們對更一般的積分上限函數(shù)（或稱變限函數(shù)）的求導作進一步的研究。

一、變限函數(shù)的導數(shù)

所以由復合函數(shù)求導法則可得

二、變限函數(shù)的導數(shù)

那么它的導數(shù)可用乘積的求導法則解決：

這是一個相當抽象的函數(shù)，我們知道對于抽象函數(shù)的求導一般使用定義來求函數(shù)增量：

三、研究結論

從上面的情況分析，我們可以得出本文研究所得的結論：

我們現(xiàn)在應用這個定理來解答一道題，并也用分離變量的方法解答此題，以此來對比這兩個方法解題的效果如何。

方法一：應用定理解答

有定理得：

方法二：應用分離變量的方法解答

解：因為

從以上解題效果看，用定理解題要比用分離變量的方法解題簡單方便快捷。況且，定理既可以應用于可分離變量的情況，又可應用于不可分離變量的情況。此定理對于解決復雜的積分變上限函數(shù)的求導給予了一種便捷的解法，以供參考。