譚永營，王 睿

(1.裝甲兵工程學(xué)院機械工程系，北京 100072;2.中國人民解放軍92510 部隊，524300)

足式移動方式依靠與地面之間離散的接觸點實現(xiàn)了在復(fù)雜地形中的良好運動性能和動力性能。與輪式或者履帶式移動方式相比，足式運動適應(yīng)復(fù)雜地形的能力更強，這也是大型動物多為四足哺乳動物的原因。模仿四足哺乳動物而研制的四足步行機動平臺在復(fù)雜環(huán)境中具有巨大的應(yīng)用潛力，其已成為各國學(xué)者研究的熱點。四足步行機動平臺腿部的結(jié)構(gòu)設(shè)計是機動平臺設(shè)計過程中的核心工作之一，國內(nèi)外學(xué)者對機動平臺單腿結(jié)構(gòu)設(shè)計進行了充分的關(guān)注。

較早的步行機動平臺腿部結(jié)構(gòu)多為仿照爬行動物的腿部結(jié)構(gòu)，如日本的TITAN 系列四足步行機動平臺［1］。但這些步行機動平臺運動速度慢，能實現(xiàn)的步態(tài)少，單腿機械結(jié)構(gòu)是其受到限制的根本原因。自從Bigdog 四足步行機動平臺公布以來，腿部結(jié)構(gòu)仿哺乳動物的步行機動平臺不斷引起人們的重視［2］。作為高性能四足步行機動平臺的典型代表，Bigdog 四足步行機動平臺單腿分為四個部分，配置四個主動自由度，足端裝有減小腿與地面沖擊的被動自由度。Bigdog之后的重型運載平臺—LS3 四足步行機動平臺單腿有三個主動自由度，關(guān)節(jié)運動非常靈活，整體采用主動柔順控制，取消了足端彈簧。Bigdog 系列的最新產(chǎn)品Spot 四足步行機動平臺單腿也有三個主動自由度，各部分協(xié)調(diào)運作的能力更強，關(guān)節(jié)的活動更加自如，非常適合在人類的生活環(huán)境中使用。

從Bigdog 系列四足步行機動平臺的發(fā)展可以看出，單腿的結(jié)構(gòu)對機動平臺的各項性能有重要影響，進而決定了機動平臺的應(yīng)用領(lǐng)域。單腿的結(jié)構(gòu)設(shè)計主要包括了單腿的自由度設(shè)置、各驅(qū)動關(guān)節(jié)的活動范圍設(shè)定、各腿段的長度比例以及足端軌跡曲線等。

1 單腿的自由度設(shè)置和各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍

通過對四足哺乳動物腿部骨骼結(jié)構(gòu)的研究發(fā)現(xiàn)，動物腿部一般由5 個主要的部分組成，各部分之間由關(guān)節(jié)連接，單腿有5 個主動自由度。動物腿部的特殊結(jié)構(gòu)和冗余自由度使其運動靈活，適應(yīng)復(fù)雜地形的能力非常強。步行機動平臺是模仿四足動物設(shè)計的，但是由于技術(shù)水平的限制，單腿還無法達到主動自由度大于4。因此為了減小控制的難度，降低機械結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，設(shè)計的機動平臺單腿有3 個主動自由度，分別是:髖側(cè)擺段關(guān)節(jié)、髖縱擺關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)，如圖1所示。

圖1 單腿主動關(guān)節(jié)

步行機動平臺的機體在腿部的推動下不斷前進，腿部驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍的大小代表了機動平臺足端點能達到的范圍。關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍越大，機動平臺單腿活動范圍越大，機動平臺運動和抗側(cè)向干擾的能力也就越強。但關(guān)節(jié)活動范圍越大也增加了各關(guān)節(jié)段干涉的風(fēng)險。通過對四足動物關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍的測量來解決這個問題。Jaegger 等較準(zhǔn)確地測量了德國牧羊犬各關(guān)節(jié)(除了髖側(cè)擺關(guān)節(jié))轉(zhuǎn)角的變化［3］，如圖2 所示。

圖2 德國牧羊犬關(guān)節(jié)的活動范圍

由上圖可以得德國牧羊犬各關(guān)節(jié)角的活動范圍，如表1中所示。

表1 牧羊犬各關(guān)節(jié)角的活動范圍

由表1 中數(shù)據(jù)可以得到牧羊犬關(guān)節(jié)的活動范圍基本上在110°左右。在步行機動平臺設(shè)計過程中，考慮到機械系統(tǒng)的性能還無法達到動物骨骼肌肉系統(tǒng)的性能，并且當(dāng)各驅(qū)動關(guān)節(jié)采用相同型號的液壓缸時，機動平臺整體的復(fù)雜程度大大減小，因此對表中各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的變化范圍進行了修正，使用修正后的關(guān)節(jié)活動范圍作為機動平臺關(guān)節(jié)的活動范圍。

2 單腿運動學(xué)分析

步行機動平臺單腿的運動學(xué)分析是機動平臺動力學(xué)求解和足端曲線合理規(guī)劃等后續(xù)工作的基礎(chǔ)。本文用D-H 坐標(biāo)法對機動平臺的單腿進行運動學(xué)分析(以右前腿為例)。首先建立各腿段的D-H 坐標(biāo)系，如圖3 中所示。B1-x0y0z0為右前腿坐標(biāo)系，H1-x1y1z1為髖關(guān)節(jié)縱擺關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，K1-x2y2z2為髖縱擺關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，A1-x3y3z3為膝關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，F(xiàn)1-x4y4z4為足端坐標(biāo)系。

圖3 步行機動平臺右前腿坐標(biāo)系

由D-H 坐標(biāo)系的定義和各桿件的尺寸參數(shù)，可以得到D-H 法各變量的值，如表2 中所示。ai為沿xi軸方向從zi－1軸和xi軸的交點到第i 坐標(biāo)系原點的距離;αi為按右手法則，繞xi軸由zi－1軸轉(zhuǎn)向zi軸轉(zhuǎn)過的角度;di為沿zi－1軸方向從第i－1 坐標(biāo)系的原點到zi－1軸和xi軸的交點的距離;θi為按右手法則，繞zi－1軸由xi－1軸轉(zhuǎn)向xi軸轉(zhuǎn)過的角度。

表2 D-H 方法各變量的值

所以，從右前腿坐標(biāo)系到足端坐標(biāo)系的各旋轉(zhuǎn)變換矩陣為:

所以，設(shè)總的齊次變換矩陣為T4，并且設(shè)

代入各旋轉(zhuǎn)變換矩陣進行運算得到T4中各元素為:

由正運動學(xué)分析，得到了足端點在單腿坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和姿態(tài)。下面運用正運動學(xué)分析的結(jié)果，對各關(guān)節(jié)段的比例關(guān)系進行研究。

3 各腿段的長度比例研究

3.1 機器人足端工作空間分析

步行機動平臺的足端點工作空間是其擺動腿末端參考點所能達到的空間點的范圍。這個范圍代表了機動平臺擺動腿所能到達的位置，是機動平臺結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計需要考慮的重要方面。足端工作空間的求解方法有解析法、圖解法或數(shù)值法等多種。利用正運動學(xué)分析的結(jié)果，在Matlab 中求解得到各主動關(guān)節(jié)角度變化時足端點的工作空間云圖，然后運用圖像處理方法進行足端工作空間面積的求解。求解的步驟為:

1)在各關(guān)節(jié)的變化范圍內(nèi)，使關(guān)節(jié)依次產(chǎn)生一定的轉(zhuǎn)角，得到了關(guān)節(jié)角變量的組合。

2)將關(guān)節(jié)角變量帶入正運動學(xué)解中，得到一組足端點的坐標(biāo)值，并作出其曲線圖，眾多的曲線圖組合形成云圖。

3)按照Matlab 中圖像處理的辦法，得到足端空間的面積。

3.2 各腿段的長度比例研究

由于步行機動平臺主要是在前后方向運動，側(cè)向運動往往用于保證機動平臺自身的穩(wěn)定性，使機動平臺適應(yīng)復(fù)雜地形的能力更強，而兩個縱擺關(guān)節(jié)段是機體前后方向運動依靠的桿件，因此僅對兩個縱擺關(guān)節(jié)段的長度比例進行研究。為使研究簡便同時也有代表性，假設(shè)髖關(guān)節(jié)縱擺段和小腿段的總長為1 m，兩腿段的長度依次取遍0.1～0.9 m，步長為0.1 m，且L1為髖關(guān)節(jié)縱擺段長度標(biāo)識，L2為小腿段的長度標(biāo)識。當(dāng)L1與L2取不同的比例時，利用Matlab 作出其工作空間的云圖并計算面積大小，如表2 中所示。

表2 桿長比例不同時的工作空間

由表2 可以得到，隨著L1與L2比值的增大，步行機動平臺足端工作空間大小變化顯著，足端點可達范圍先增大后減小，所以存在使足端工作空間最大的最優(yōu)比例。為方便比較，作出足端工作空間面積大小與髖縱擺段長度L1的曲線圖。由圖4 可更直觀的得到當(dāng)L1與L2相等時，足端工作空間面積最大。

圖4 足端工作空間面積的變化

4 足端軌跡規(guī)劃

步行機動平臺足端軌跡規(guī)劃是機動平臺單腿設(shè)計很重要的一個方面。足端軌跡規(guī)劃一般是設(shè)計步行機動平臺足端點相對地面坐標(biāo)系的運動規(guī)律。由于髖側(cè)擺關(guān)節(jié)在機動平臺正常行走過程中一般不發(fā)揮作用，所以在機動平臺單腿平面內(nèi)進行足端軌跡規(guī)劃。步行機動平臺通過邁腿實現(xiàn)其越障和前進功能，腿部足端軌跡規(guī)劃主要是擺動腿足端的軌跡規(guī)劃。擺動腿足端軌跡規(guī)劃的好壞直接決定了機動平臺的越障能力和運動能力。常用的足端軌跡有拋物線、直線段、擺線等［4］。本文采用三次B 樣條曲線進行機動平臺的足端軌跡規(guī)劃。

4.1 三次B 樣條曲線的概念

對于給定的m+n+1 空間頂點pi(i=0，1，…，m +n)，第k(K=0，1，2…n)段n 次B 樣條曲線定義為［4］:

式(3)中t 為曲線的構(gòu)形參數(shù)?；瘮?shù)Gi，n(t)定義如下:

當(dāng)n=3 時，由上式我們可以得到三次B 樣條曲線的基函數(shù)為:

對于給定的空間頂點p0、p1、p2和p3，三次B 樣條曲線的一段為:

所以對于空間中給定的n 個點，三次B 樣條曲線全體為:

三次均勻B 樣條曲線作為一種自由曲線，它自身有許多良好的特點，使它適合作為步行機動平臺越障時足端軌跡曲線［5］。首先，三次均勻B 樣條曲線與空間頂點的絕對位置沒有關(guān)系，只與它們的相對位置有關(guān)。其次，三次均勻B 樣條曲線有凸包性和保凸性。通過選取適當(dāng)?shù)目臻g頂點，可以使構(gòu)造的足端軌跡曲線不會產(chǎn)生奇異點。然后，三次均勻B樣條曲線具有局部修改性。改變個別的空間頂點，只會影響與這個頂點有關(guān)的構(gòu)造曲線，不會對整體產(chǎn)生影響。

4.2 足端軌跡的規(guī)劃

在平坦地面上四足步行機動平臺的足端軌跡曲線一般有兩個參數(shù)來描述，一個是步長s，一個是步高h。步長s 和步高h 可以較好地反映足端軌跡曲線的運動特性。一般步高h 與步長s 的比值越大，說明四足步行機動平臺的跨越障礙的能力越強，但運動速度較慢。步高h 與步長s 的比值越小，說明四足步行機動平臺前進特性較好，但跨越障礙的能力較差。而對于三次B 樣條曲線，在步長一定的情況下，步高由起步角和落步角決定，因此引入起步角α、落步角β 和步長S 來描述三次B 樣條曲線。如圖5 所示，圖中α 為起步角，β 為落步角，p1點為起步點，p2為落步點，M 點為起腳方向與落腳方向的交點。

圖5 起步角與落步角示意圖

在此步長S 設(shè)置為400 mm，起步角和落步角均為62.5度，最大步高為220 mm。所以，可得到擺動腿的足端曲線如圖6 所示。

圖6 擺動腿足端軌跡曲線

5 結(jié)論

1)對四足步行機動平臺單腿的自由度數(shù)進行了設(shè)定，在仿生學(xué)分析的基礎(chǔ)上將各驅(qū)動關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍設(shè)置為40°～140°;

2)對單腿進行了運動學(xué)分析，并且在此基礎(chǔ)上對髖縱擺關(guān)節(jié)段和大腿段長度比例不同時的足端工作空間進行了研究，得出了當(dāng)兩者長度相等時足端工作空間最大的結(jié)論;

3)闡述了三次B 樣條曲線的概念，并在此基礎(chǔ)上對足端軌跡曲線進行了規(guī)劃。

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