彭國榮

【摘要】極限是高等數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，其中計算無窮項和式數(shù)列的極限是一個難點。本文通過解析定積分的定義，討論了應(yīng)用定積分定義計算無窮項和式數(shù)列極限的方法步驟，巧妙地利用定積分的定義計算數(shù)列極限，簡化了極限運算，啟發(fā)了學(xué)生計算極限的技巧，加深了對積分定義的理解。

【關(guān)鍵詞】定積分的定義 ?數(shù)列極限

【中圖分類號】G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2015）11-0132-02

極限是高等數(shù)學(xué)中重要的概念，也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點與難點，計算極限是教學(xué)中的一個重要內(nèi)容，有多種方法可以計算極限，但是對于部分無窮項和式數(shù)列的極限的計算依然還比較困難。本文通過解析定積分的定義，討論如何把無窮項和式數(shù)列轉(zhuǎn)化為定積分和，從而利用定積分的定義巧妙地計算無窮項和式數(shù)列的極限。

一、預(yù)備知識

定義[1]：設(shè)函數(shù)在上有界，用點，把區(qū)間任意分割成個子區(qū)間，這些子區(qū)間及長度均記作.在每個子區(qū)間上任取一點，做個乘

積的和式。如果當，同時最大子區(qū)間

長度時，和式的極限存在，并且極限

跟分割方法以及的取法無關(guān)，則該極限值為函數(shù)在

區(qū)間上的定積分，記作.

二、定積分定義計算極限的方法與步驟

由定積分的定義可知定積分實質(zhì)是無窮項和式的極限，由于定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與區(qū)間分割方法以及點 的選取無關(guān)，因此我們可以將區(qū)間等分，即區(qū)間長度

，并且滿;點取每個小區(qū)間的右端

點，即.則，

1、將無窮項和式數(shù)列恒等變形，化為積分和的形式

2、確定定積分的被積函數(shù)和積分區(qū)間

令，則被積函數(shù)為。

3、由定積分的定義將無窮項和式數(shù)列極限寫成定積分

4、用牛頓萊布尼茨公式計算出定積分的值，即為所要計算的極限值

三、實例解析

例題1計算極限

解（1）將無窮項和式數(shù)列 恒等變形，化為積分和的形式

其中。

（2）確定定積分的被積函數(shù)和積分區(qū)間

令，則被積函數(shù)為。

，

（3）

例題2計算極限

解（1）將無窮項和式數(shù)列恒等變形，化為積分和的形式

其中

（2）確定定積分的被積函數(shù)和積分區(qū)間

令，則被積函數(shù)為。

（3）

例題3 計算極限

解（1）

其中

（2）令，則被積函數(shù)

（3）

（4）因為

故

由以上幾個例題發(fā)現(xiàn)利用定積分的定義計算無窮項和式數(shù)列極限，最關(guān)鍵之處在于找準被積函數(shù)，確定好積分區(qū)間。

四、結(jié)束語

利用定積分定義計算無窮項和式數(shù)列的極限是一種十分巧妙有效的方法，其能夠把繁雜的無窮項和式數(shù)列恒等變形為積分和，再轉(zhuǎn)化為定積分來計算，其簡化了計算。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)上冊[M].高等教育出版社，1993.

基金項目：湖北民族學(xué)院教學(xué)研究一般課題《民族預(yù)科數(shù)學(xué)課程改革研究》（編號2014JY066）