文衛(wèi)星

教學(xué)目標(biāo)

1.理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，了解完全歸納法與不完全歸納法的聯(lián)系與區(qū)別；

2.用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)能規(guī)范書(shū)寫(xiě)；

3.能體驗(yàn)數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是用有限步的證明達(dá)到無(wú)限步驗(yàn)證，完成了從有限到無(wú)限的過(guò)渡.感悟數(shù)學(xué)歸納法是中國(guó)文化（善于歸納）與西方文化（長(zhǎng)于推理）的完美結(jié)合.

教學(xué)重點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解和證明過(guò)程的規(guī)范書(shū)寫(xiě).

教學(xué)難點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解.

教學(xué)過(guò)程

一、實(shí)例引入，提出問(wèn)題

師：我們班有48名同學(xué)，有48個(gè)學(xué)號(hào).第1號(hào)是女同學(xué)，第2是女同學(xué)，第3號(hào)是女同學(xué)，……，第25號(hào)還是女同學(xué)，按照這個(gè)規(guī)律排下去，咱班就都是女生了.

（設(shè)計(jì)目的 運(yùn)用生活中實(shí)例說(shuō)明不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確，既說(shuō)明道理又有趣.受到女生歡迎而遭到男生“抗議”.）

師：看來(lái)剛才這種從特殊到一般的歸納是不對(duì)的，犯了以偏概全的錯(cuò)誤.從這兒我們得到兩個(gè)結(jié)論：

（1）我們班學(xué)號(hào)在1～25號(hào)的都是女同學(xué)；

（2）我們班都是女同學(xué).

第一個(gè)結(jié)論是正確的.結(jié)論的內(nèi)容是根據(jù)學(xué)號(hào)在前25的事實(shí)所作的完全概括，沒(méi)有越出已知的事實(shí)，因此是正確的.這種把研究對(duì)象一一都考查到了的推理方法叫做完全歸納法.

第二個(gè)結(jié)論是不正確的.因?yàn)閷W(xué)號(hào)為26號(hào)是男生，這種根據(jù)部分事實(shí)推出更加一般的事實(shí)的推理方法叫做不完全歸納法.由不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確.

師：剛才是生活中的例子，再看數(shù)學(xué)中的例子：

在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=12-an（n∈N*），求{an}的通項(xiàng)公式.

（設(shè)計(jì)目的 本題學(xué)生不會(huì)直接解答，但通過(guò)不完全歸納法很快得到：a1=1，a2=1，

a3=1，…，猜想an=1）

師：以上雖然得到an=1，但沒(méi)有給出嚴(yán)格證明，這在數(shù)學(xué)上還不能被認(rèn)為是正確的.怎么證明這個(gè)看似顯然的結(jié)論？總不能一一驗(yàn)證下去，要另辟蹊徑.[JP〗

二、生活經(jīng)驗(yàn)，探索問(wèn)題

師：張先生的兒子姓什么？（預(yù)設(shè)：有的說(shuō)按傳統(tǒng)習(xí)慣，姓氏在男性親屬中具有“遺傳性”，張先生的兒子應(yīng)該姓張.有的說(shuō)，不一定，按法律規(guī)定他兒子也可以隨母親姓）

師：大家說(shuō)的有道理.假如他兒子姓張，且要使他以后的各代孫子都姓張，需要滿足什么條件？

（學(xué)生討論預(yù)設(shè)：要保證他以后各代孫子都姓張，一是他家各代一定要有男孩，二是即要生男孩，還要孩子必須隨父姓.然后請(qǐng)一個(gè)學(xué)生發(fā)言）

生：以后各代都有男孩，且都子隨父姓.

姓氏遺傳性正整數(shù)命題

奠基孔子姓孔當(dāng)n=n0時(shí)，命題正確

遞推

子隨父姓，

代代相傳設(shè)n=k（k∈N*且k≥n0）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立

結(jié)論

孔子后代都姓孔命題從n0起的所有正整數(shù)n，結(jié)論都成立

（設(shè)計(jì)目的 用生活中的事例引入，一是能調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的興趣，二是能把這些例子遷移到教學(xué)中，促進(jìn)與加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解）

師：對(duì)，子隨父性，代代相傳.但在目前的計(jì)劃生育政策的條件下，一般人很難保證做到（當(dāng)然也沒(méi)有必要做到），但圣人孔子家族能做到嗎？

我們來(lái)考察孔子后代姓什么.由于孔子大陸的后代受計(jì)劃生育影響，不妨考察他的海外后代姓氏情況.

孔子的第80代孫子有的現(xiàn)居住在海外，按目前情況判斷，孔子的80代孫及以后各代孫子都姓孔，這話對(duì)嗎？

生：對(duì)，因?yàn)樯钤诖箨懸酝獾娜A人不受計(jì)劃生育政策的影響，且有子隨父姓的習(xí)慣，至于每代都有男孩，根據(jù)遺傳學(xué)規(guī)律，應(yīng)該不成問(wèn)題.

師：我們能從這個(gè)生活中的問(wèn)題中提煉出什么？設(shè)法把它抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題（學(xué)生討論，教師參與，預(yù)設(shè)學(xué)生形成結(jié)論：人的代數(shù)是正整數(shù)，某位男子姓什么，由于子隨父姓，代代相傳，那么他的后代也姓什么，然后類(lèi)比到正整數(shù)的命題.把結(jié)論整理成表，見(jiàn)上）

三、類(lèi)比規(guī)律，生成原理

數(shù)學(xué)歸納法原理：對(duì)涉及正整數(shù)n的命題，若能證明：

（1）當(dāng)n取第一個(gè)值n0（n0∈N*）時(shí)，命題成立；

（2）設(shè)n=k（k∈N*且k≥n0）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，就可以斷言該命題從n0起的所有正整數(shù)n結(jié)論都成立.這種方法為數(shù)學(xué)歸納法.

師：同學(xué)們請(qǐng)注意，遞推步中為何要設(shè)“當(dāng)n=k時(shí)”，而不是n=其它的字母？

生：用什么字母無(wú)所謂，不用k，就用s、t等都可以.

師：是否因?yàn)榭鬃拥摹翱住睗h語(yǔ)拼音聲母是“k”，就用“k”了！

（這當(dāng)然是玩笑，目的是調(diào)節(jié)課堂氣氛，同時(shí)引起學(xué)生對(duì)這一步的關(guān)注）

四、學(xué)以致用，初嘗戰(zhàn)果

例1 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an=a1+（n-1）d.

例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+（2n-1）=n2.

（設(shè)計(jì)目的 讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)歸納法解題，主要觀察其解題格式是否規(guī)范，是否忽略第一步，第二步是否用歸納假設(shè).例2第二步學(xué)生會(huì)使用等差數(shù)列的求和公式而導(dǎo)致“假證”，用實(shí)物投影儀展示學(xué)生的典型錯(cuò)誤，最后教師在黑板上規(guī)范寫(xiě)出解答過(guò)程，讓學(xué)生一同書(shū)寫(xiě)）

閱讀材料2則：

閱讀1 數(shù)學(xué)魔術(shù)：0=1！

設(shè)n∈N*，先證：2+4+6+…+2n=n2+n+1.設(shè)n=k時(shí)命題成立，即2+4+6+…+2k=k2+k+1，則n=k+1時(shí)，2+4+6+…+2k+2（k+1）=k2+k+1+2（k+1）=（k+1）2+（k+1）+1，命題也成立，因而對(duì)n∈N*，2+4+6+…+2n=n2+n+1成立.又由等差數(shù)列求和公式得2+4+6+…+2n=n2+n，所以0=1.

閱讀2 設(shè)f（n）=4729494n+1，當(dāng)n∈N*時(shí)，它是一個(gè)完全平方數(shù)嗎？

依次令n=1、2、3…等自然數(shù)，開(kāi)始的時(shí)候，可以計(jì)算出f（n）的值都不是一個(gè)完全平方數(shù)，這樣下去到n是一個(gè)41位的數(shù)，即當(dāng)n=50、549、485、234、315、033、074、477、819、735、540、408、986、339時(shí)，所得f（n）的右邊也不是一個(gè)完全平方式，考察了這么多次，似乎可以下結(jié)論：不論n是任何自然數(shù)，f（n）的值都不可能是一個(gè)完全平方數(shù)，但有人發(fā)現(xiàn)當(dāng)取值在增加1時(shí)，即n=50、549、485、234、315、033、074、477、819、735、540、408、986、339、340的時(shí)候，f（n）=109、931、986、732、829、734、979、866、232、821、433、543、901、088、049，它是一個(gè)45位數(shù)的完全平方數(shù).（洪波，《怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法》上海教育出版社，1979年7月版）

通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生閱讀，分析錯(cuò)誤原因，強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)歸納法解題兩個(gè)步驟缺一不可.同時(shí)這兩個(gè)例子也很有趣，可以活躍課堂氣氛（因?yàn)檫@時(shí)通常在下半節(jié)課，學(xué)生會(huì)疲勞）.

五、歸納總結(jié)，追求理性

通過(guò)上述二例已經(jīng)看到數(shù)學(xué)歸納法的妙用，以下先總結(jié)用數(shù)學(xué)歸納法解題步驟及格式規(guī)范：

（1）驗(yàn)證n=1時(shí)，命題成立

（2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立二者缺一不可（3）結(jié)論：對(duì)一切的正整數(shù)n，命題都成立

再對(duì)數(shù)學(xué)歸納法作更深入的理解：

歸，特殊入手規(guī)律窺.再猜想，凱旋而回.

納，理性思索求通法.兩步論，不容出差（cha讀去聲）.

法，歸納遞推行天下.正整數(shù)，一個(gè)不落（la讀去聲）.

妙！兩步完成無(wú)窮跳.有思想，還看今朝！

六、解答引例，鞏固提高

引例（2）解 a1=1，a2=1，a3=1，…，猜想an=1.

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，已經(jīng)驗(yàn)證猜想正確.

②設(shè)n=k（k∈N*且k≥1），ak=1成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

ak+1=12-ak=12-1=1，即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立.

由①、②知，an=1（n∈N*）都成立.

本例中的黑體字在前面例題中也一樣要強(qiáng)調(diào).

七、梳理知識(shí)，形成思想

1.歸納法歸納法

2.中國(guó)數(shù)學(xué)歸納法原理

老子在《道德經(jīng)》說(shuō)：“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物.”類(lèi)似例子又如愚公所說(shuō)：“子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫；子子孫孫無(wú)窮匱也.”這些都是中國(guó)數(shù)學(xué)歸納法原理.祖先的這些原理都是宏觀的，顯示古代中國(guó)人的智慧，只是由于時(shí)代的局限缺乏具體的操作性，而西方人的數(shù)學(xué)歸納法原理則給我們解決問(wèn)題提供具體方法，即通過(guò)兩步論證替代需要無(wú)限步驗(yàn)證的難題.這是人類(lèi)智慧的結(jié)晶！

最后，我們用一幅對(duì)聯(lián)來(lái)結(jié)束本課：

一生二，二生三，三生萬(wàn)物

父生子，子生孫，孫生萬(wàn)代

生生不息.