郭愛麗，聶祥榮，武玲玲

（1.貴州工程應用技術學院 理學院，貴州 畢節(jié)551700；2.貴州工程應用技術學院 機械工程學院，貴州 畢節(jié)551700）

Nekrasov矩陣是一類特殊的矩陣類，因其在計算數(shù)學、數(shù)學物理及控制論中的廣泛應用引起人們極大的研究興趣，并給出一系列Nekrasov矩陣及廣義Nekrasov矩陣的性質、判定及其應用［1－12］.用數(shù)學歸納法得出Nekrasov矩陣順序主子陣的Schur補仍為Nerasov矩陣［1］、用數(shù)值實例說明由Bailey和Crabtree［13］給出的關于Nekrasov矩陣的行列式界的結果是錯誤的［8］，但卻沒有給出正確的Nekrasov矩陣行列式的界.作者在文［1］的基礎上，利用矩陣Schur補的定義，結合不等式的放縮技巧和數(shù)學歸納法給出Nekrasov矩陣行列式界的估計，并用相應的數(shù)值實例說明了所得結果的有效性.

1 符號、定義及引理

用Cn×n表示n階復方陣集合，〈n〉＝｛1，2，…，n｝.設A＝（aij）∈Cn×n.記

定義1 若?i∈〈n〉，都有｜aii｜≥Ri（A），則稱A為弱Nekrasov矩陣，記作A∈N0；若不等式嚴格成立，則稱A為Nekrasov矩陣，記作A∈N.

定義2 設

其中：A（α）為A的對應于α的非奇異主子矩陣，α為集合〈n〉的真子集，α′為α在集合〈n〉下的余集.

定義A（α）在A中的Schur補為

用A／A（α）表示，簡記為A／α.

引理1［13］Nekrasov矩陣是非奇異矩陣.

引理2［14］設M、A、A11是非奇異方陣，且

則A／A11是M／A11的非奇異主子矩陣，且

引理3［14］設矩陣其中A是m階非奇異矩陣，則

2 Nekrasov矩陣行列式的界

根據(jù)矩陣Schur補的定義，結合不等式的放縮技巧和數(shù)學歸納法，給出若干不等式及Nekrasov矩陣行列式界的估計.

定理1 設A是Nekrasov矩陣，對任意的k∈〈n〉，1≤k＜n，記A／〈k〉＝（a（k）ij），則

證明 不等式（1）在文［1］中已證明，下面用數(shù)學歸納法證明不等式（2）.

記A／〈1〉＝（a（1）ij），則

假設1≤i＜u時，有

從而，當i＝u時，有

由引理1、2知

假設

則有

綜上所述得證，對任意的k∈〈n〉，1≤k＜n，都有

推論1 設A是Nekrasov矩陣，則

從而

引理4 設A是Nekrasov矩陣，對任意的k∈〈n〉，都有

證明 由矩陣Schur補的定義知

由矩陣的代數(shù)運算、乘法運算及矩陣的相等，易知?k∈〈n〉，都有

注：由引理4易知

定理2 設A是Nekrasov矩陣，則

證明 對?k∈〈n〉，由于〈k－1〉?〈k〉，且〈k〉－〈k－1〉＝｛k｝，由引理4及（3）式得，對?k∈〈n〉，有

所以，由引理3［14］知

3 數(shù)值實例

用數(shù)值實例說明由Bailey和Crabtree［13］給出的關于Nekrasov矩陣的行列式界的結果是錯誤的，而由論文定理2可得出Nekrasov矩陣行列式界的正確估計.

例 設矩陣

易知A為Nekrasov矩陣，且detA＝－120，由文［8］知由Bailey和Crabtree給出的估計是不對的，但由于所以，由定理2可得

［1］郭愛麗.Nekrasov矩陣的Schur補［J］.畢節(jié)學院學報：自然科學版，2013，31（8）：41－43.

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［4］郭愛麗，劉建州.廣義 Nekrasov矩陣的判定［J］.工程數(shù)學學報，2009，26（4）：697－702.

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［6］王強，宋永忠，李維國.一類迭代矩陣譜半徑的上界估計［J］.南京大學學報：數(shù)學半年刊，2005，22（1）：96－106.

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［9］陳焯榮，黎穩(wěn).迭代矩陣譜半徑的上界估計［J］.數(shù)學物理學報，2001，21A（1）：8－13.

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［11］Li W.On Nekrasov matrices［J］.Linear Algerbr Appl，1998，281：87－96.

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