王衛(wèi)峰，丁智平，賀才春，涂奉臣，穆龍海

（1.湖南工業(yè)大學 機械工程學院，湖南 株洲 412007；2. 株洲時代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007）

有阻尼吸振器參數(shù)優(yōu)化與應用

王衛(wèi)峰1,2，丁智平1，賀才春2，涂奉臣2，穆龍海1

（1.湖南工業(yè)大學 機械工程學院，湖南 株洲 412007；2. 株洲時代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007）

針對某一特定頻率下的振動問題，優(yōu)化有阻尼吸振器參數(shù)來對其進行吸振。先對懸臂梁進行模態(tài)分析，得到對振動貢獻最大的頻率并確定吸振器的安裝位置；然后，應用單自由度質量感應法得到動力吸振器在主振動系統(tǒng)上安裝位置點的等價質量和等價剛度，并由其組成一個等效的單自由度系統(tǒng)；建立吸振器的數(shù)學模型，并基于理論推導出具有單自由度的動力吸振器的解析解，得到吸振器的3個參數(shù)；以懸臂梁為例，應用Abaqus軟件仿真附加吸振器前后測試點的振動響應。仿真結果顯示，安裝動力吸振器后，測試點的振動得到顯著降低，證實了吸振器的有效性。

動力吸振器；懸臂梁；質量感應法；Abaqus軟件

0 引言

振動廣泛存在于人們的日常生產(chǎn)生活中。工程設計人員應用振動原理制造了許多機械設備，如振動篩、振動沉樁機等。同時，振動也帶來了負面影響，使機械設備受到疲勞損壞，縮短其工作壽命，還造成嚴重的噪聲污染[1]。為了控制機械設備的振動在允許范圍內(nèi)，保證機械正常運轉和操作人員的人身安全，學者們提出了振動控制技術[2-3]。動力吸振器（dynamic vibration absorber，DVA）是一種經(jīng)濟、有效的減振方法，可以在一定頻率范圍內(nèi)減小被吸振結構的振動響應[2]。

國內(nèi)外學者對動力吸振器都有深入的研究，在工程上也有許多的應用實例[4-7]。懸臂梁的振動現(xiàn)象在機械設備中廣泛存在，并且時常會在某個頻率下出現(xiàn)異常振動問題。針對這類振動問題，本文以梁的一階振動問題為例，對動力吸振器的設計及應用方法進行了研究，并應用仿真技術驗證了所設計的動力吸振器的有效性。

1 有阻尼動力吸振器的工作原理

動力吸振器技術在船舶[8]、鐵路、航空[9]、電力、建筑、車輛[10]等領域都有著廣泛的應用。其工作原理是，在主系統(tǒng)上附加具有質量彈簧的子系統(tǒng)，附加系統(tǒng)在共振時會產(chǎn)生反作用力，使振動所產(chǎn)生的能量由主系統(tǒng)轉移至吸振器，從而減少或抑制主系統(tǒng)受外激勵時的響應[6]。

本文將主系統(tǒng)簡化為單自由度系統(tǒng)，其質量、剛度由質量感應法得到對應的等效值，動力吸振器采用有阻尼動力吸振器。有阻尼動力吸振器是由質量、剛度、阻尼3個元素組成，通過3個參數(shù)的最優(yōu)組合使得主系統(tǒng)在受外激勵時的振動響應達到最小，其力學模型如圖1所示。

圖中參數(shù)說明如下：

m1, m2分別為主系統(tǒng)和動力吸振器的質量；

x1, x2分別為主系統(tǒng)和動力吸振器的位移；

k1, k2分別為主系統(tǒng)和動力吸振器的剛度；

c為動力吸振器的阻尼；

圖1 有阻尼動力吸振器的力學模型圖Fig. 1 Mechanical model diagram of damped dynamic vibration absorber

主系統(tǒng)受到外力激勵時，系統(tǒng)的運動微分方程為[2]：

針對特定頻率的減振，安裝和未安裝動力吸振器時，主系統(tǒng)的頻率響應曲線如圖2所示。由圖可知，加裝吸振器后主系統(tǒng)的減振效果顯著[11]。

圖2 安裝和未安裝動力吸振器時主系統(tǒng)的頻率響應曲線圖Fig. 2 The frequency response curve of the primary system with and without dynamic absorber

2 定點理論的參數(shù)優(yōu)化

定點理論是指對于含有制振器阻尼的振動系統(tǒng)，利用頻率響應函數(shù)曲線上與阻尼無關的特定點來設計制振裝置的方法[2]。

相同質量比條件下，三要素DVA具有比Voigt式DVA更好的減振效果。 學者們還推導出三要素DVA的最優(yōu)設計公式。

滿足最優(yōu)同調(diào)條件的動力吸振器與主振動系統(tǒng)的固有頻率比為

滿足動力吸振器的最優(yōu)阻尼比為

滿足最優(yōu)條件時的最大振幅比為

圖3為定點與滿足最優(yōu)條件的振幅比曲線關系圖。由圖可知，在質量比（=0.1）和固有頻率比不變的前提下，當改變結構阻尼比時，其振幅比曲線都會經(jīng)過2點P, Q，這就是所謂的2個定點。在最優(yōu)同調(diào)和最優(yōu)阻尼的組合下，P，Q 2點不僅僅是整條曲線中值最大的點，而且2點也是等高的。

圖3 定點與滿足最優(yōu)條件的振幅比曲線關系圖Fig. 3 The relationship curve of the fixed point and amplitude ratio under optimal condition

3 設計案例——梁的應用

為了驗證動力吸振器的吸振效果，對懸臂梁進行模態(tài)分析，得到其各階的固有頻率及其對應的振型。本文僅以懸臂梁第一階固有頻率作為吸振頻率，并在這一頻率的最大振幅位置上安裝動力吸振器，以為觀察目標，分析安裝動力吸振器前后的制振效果。

3.1 懸臂梁模型及有限元模態(tài)分析

本文應用Abaqus軟件建立尺寸400 mm×40 mm× 5 mm的懸臂梁模型，材料為鑄鋼。材料的物理性能為：密度=7.8 g/cm3，彈性模量E=2.1×105MPa，泊松比=0.3，結構阻尼比=0.01。將懸臂梁的左端進行全約束，x軸作為梁的長度方向，y軸作為梁的寬度方向，軸作為厚度方向。懸臂梁模型用一個賦予了厚度的平面來表示，并且將平面劃分為40×6的長方形單元。

在Abaqus軟件中，首先對懸臂梁進行模態(tài)分析，提取其前十階的固有頻率，分別為26.34, 165.09, 205.38, 462.85, 493.80, 909.17, 1 236.00, 1 489.10, 1 507.80, 2 261.20 Hz。對于連續(xù)性主系統(tǒng)，若其各階固有頻率相隔較遠時，則可以忽略各個模態(tài)間的相互影響，因此，在振動控制時，可以將各個模態(tài)分別進行處理[2]。通過有限元分析可知，懸臂梁的第一階模態(tài)振型主要是集中在 軸方向，在 軸方向上的最大位置為節(jié)點154。通常，吸振器安裝在振幅最大位置時，吸振效果最佳，因此文中選擇懸臂梁的第一階固有頻率f=26.34 Hz作為吸振頻率，其振型在 軸方向的最大位置為動力吸振器的安裝位置。

圖4 固有頻率26.34 Hz所對應的振型圖Fig. 4 Natural frequency of 26.34 Hz corresponding the vibration mode

為了比較附加動力吸振器前后，其觀察目標關于頻率的變化值，并且考慮到懸臂梁的第一階模態(tài)振型主要是集中在 軸方向，本文在主系統(tǒng)自由端的一個節(jié)點上沿 軸方向施加了一個單位載荷的簡諧激勵，這樣便能激勵出該階的振型。這里所取的頻率變化范圍為10～200 Hz。

3.2 附加質量法得到等效質量

質量感應法是普遍使用的一種方法。其原理是在動力吸振器或作動器的設置位置附加一個給定的質量，再根據(jù)附加質量前后對象結構固有頻率的變化來得到主結構的等價質量[12-13]。由于是基于單自由度系統(tǒng)的假定而確立的方法，因而稱之為單自由度質量感應法。

主系統(tǒng)的等價質量m和等價剛度k的計算式為：

式中：Δm為附加的給定質量；

由于本文將動力吸振器安裝于第一階固有頻率

23.64 Hz的最大振幅處，因此，在該點附加一個0.06 kg的質量塊。由式（9）可以得到等價質量m=0.15 kg，等價剛度k=4 221 N/m。

3.3 動力吸振器參數(shù)設計

根據(jù)動力吸振器相關理論，質量比越大，系統(tǒng)的吸振效果越好，吸振的頻帶也越寬。已有文獻證明當設定的質量比大于0.1時，若再增加附加吸振器的質量，則其減振效果提高很緩慢，并且質量比的增大會導致所附加的動力吸振器的質量增大，從而使得總體的安裝布置變得困難[6-7]，故設定吸振器的質量比為0.1。

懸臂梁第一階彎曲的模態(tài)固有頻率為26.34 Hz，由質量感應法得到主系統(tǒng)的等價質量為0.15 kg，質量比＝0.1，將其代入式（6）和式（7）中，可得動力吸振器的質量為0.015 kg，剛度為348.8 N/m，阻尼為0.86 (N·s)/m。

3.4 吸振效果分析

應用Abaqus軟件對動力吸振器進行模態(tài)分析。先建立等效的單自由度模型，輸入各參數(shù)數(shù)值，最后計算其模態(tài)。由仿真分析可知，動力吸振器的固有頻率為23.54 Hz，阻尼比為0.19。

將所設計的動力吸振器安裝到懸臂梁的相應位置，對其效果進行模擬驗證。圖5為裝入吸振器后的模型。對懸臂梁的左端進行了全約束，在參考點RP-1上建立了一個等效吸振器的質量點，并將其與節(jié)點154用彈簧和阻尼連接模擬動力吸振器。同時，在節(jié)點154施加了單位間諧激勵載荷。

圖5交互界面圖Fig. 5 Interaction interface

圖6 為安裝動力吸振器前后在節(jié)點154上的振動幅度響應曲線圖。由圖可知，振動在26.34 Hz處得到了抑制，同時原主峰值的兩側出現(xiàn)了2個矮峰，2條曲線的交點處橫坐標值分別為21.28, 30.16 Hz，即此動力吸振器的有效寬帶為8.80 Hz。振動的位移衰減在90%以上，其吸振效果十分明顯。

由仿真結果可知，根據(jù)理論所設計的動力吸振器能夠有效地抑制懸臂梁第一階固有頻率的振動，并且其有效帶寬較寬。

圖6 安裝動力吸振器前后節(jié)點154的振幅圖Fig. 6 The amplitude of node 154 before and after installation of vibration absorber

4 結語

文對有阻尼動力吸振器的基本原理進行研究。以懸臂梁為例，先利用Abaqus軟件建立其模型，并進行有限元模態(tài)分析；然后，針對懸臂梁模型的第一階固有頻率，應用質量感應法得到了吸振器安裝位置上的等價質量和等價剛度，為動力吸振器參數(shù)的設計提供有力的支撐；最后優(yōu)化有阻尼動力吸振器的參數(shù)，仿真分析在懸臂梁節(jié)點154上安裝動力吸振器后的吸振效果。仿真結果表明，該動力吸振器的吸振效果良好。

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（責任編輯：鄧 彬）

The Parameter Optimization and Application of Damping Absorber

Wang Weifeng1,2，Ding Zhiping1，He Caichun2，Tu Fengchen2，Mu Longhai1
（1. School of Mechanical Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China；2. Zhuzhou Time New Material Technology Co., Ltd.，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Aimed at vibration problems of a particular frequency, optimizes the parameters of the damping vibration absorber for the vibration absorption. Analyzed the cantilever beam modal, obtained the frequency of maximum contribution to vibration and determined the installation position of absorber; Applied the single free induction method to obtain equivalent mass and equivalent stiffness of dynamic vibration absorber on main vibration system installation position and built an equivalent single degree freedom system; Established the absorber mathematical model, and deduced theoretically the analytical solution for a single degree dynamic absorber and obtained three parameters for the absorber. Taking the cantilever beam as an example, applied Abaqus software to simulate the vibration response of test points attached to the vibration absorber front and back. The results showed that the vibration of test points was greatly decreased and the effectiveness of absorber was verified.

dynamic vibration absorber；cantilever beam；quality induction method；Abaqus software

TB123

A

1673-9833(2015)05-0040-05

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.05.009

2015-07-22

王衛(wèi)峰（1990-），男，湖南衡陽人，湖南工業(yè)大學碩士生，主要研究方向為機械結構強度理論，E-mail：friendswwf@163.com