孫紅章 琚偉偉 蘇向英 湯正新

摘要：在大學(xué)物理本科教學(xué)中引入混沌、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及自組織臨界理論和分形等非線性物理知識(shí)，通過(guò)介紹基本理論和在課堂上用多媒體演示，使大學(xué)本科一年級(jí)學(xué)生很容易理解非線性物理的知識(shí)，可使大學(xué)一年級(jí)學(xué)生對(duì)物理規(guī)律的認(rèn)識(shí)更加深入和全面，并取得良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：大學(xué)物理本科教學(xué)；非線性物理；混沌；復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；分形

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）36-0164-02

一、引言

自然界中存在無(wú)數(shù)的無(wú)序、非平衡和隨機(jī)的非線性系統(tǒng)。自然界面對(duì)的更多的是非線性問(wèn)題。而我們的大學(xué)物理教學(xué)介紹的幾乎全是線性問(wèn)題，即使遇到非線性問(wèn)題，不是回避就是把它線性化，這是大學(xué)物理教學(xué)的一個(gè)缺點(diǎn)。我們?cè)诖髮W(xué)物理教學(xué)中引入混沌、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及自組織臨界理論和分形等非線性物理知識(shí)，通過(guò)介紹理論和在課堂上用多媒體演示，使大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生很容易理解非線性物理的知識(shí)，對(duì)物理規(guī)律的認(rèn)識(shí)更加深入和全面，并取得了良好的教學(xué)效果。

二、混沌

非線性動(dòng)力學(xué)中提出的混沌理論已經(jīng)成為目前非線性科學(xué)研究中的熱點(diǎn)問(wèn)題。無(wú)數(shù)的無(wú)序、非平衡和隨機(jī)的非線性系統(tǒng)存在于自然界中。美國(guó)的著名氣象學(xué)家Lorenz建立了一個(gè)仿真的氣象模型。Lorenz的氣象模型對(duì)初始條件的微小不同是非常敏感的，他把此種現(xiàn)象稱(chēng)之為“蝴蝶效應(yīng)”。也就是說(shuō)：在巴西熱帶雨林的蝴蝶扇動(dòng)翅膀，有可能在美國(guó)德克薩斯州產(chǎn)生一場(chǎng)龍卷風(fēng)。這個(gè)效應(yīng)告訴我們初始條件非常重要。

我們嘗試在大學(xué)物理課堂教學(xué)上用多媒體演示各種典型混沌系統(tǒng)的吸引子和功率譜，運(yùn)用MATLAB編程展示系統(tǒng)如何進(jìn)入混沌，還有混沌對(duì)初值的敏感性，許多非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)都是通過(guò)倍周期分岔從規(guī)則運(yùn)動(dòng)進(jìn)人混沌運(yùn)動(dòng)的，系統(tǒng)如果處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，那么它以后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將敏感依賴初值，并且具有不可預(yù)測(cè)性。我們通過(guò)這些多媒體演示，使大學(xué)一年級(jí)學(xué)生很容易理解非線性混沌的知識(shí)，并取得了較好的教學(xué)效果，對(duì)大學(xué)本科學(xué)生的物理教學(xué)具有指導(dǎo)意義。

三、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和自組織臨界理論

（一）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)

自然界和人類(lèi)社會(huì)中存在的大量復(fù)雜系統(tǒng)都可通過(guò)各種網(wǎng)絡(luò)來(lái)描述。至于用什么樣的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)才能對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確的描述，人們研究此問(wèn)題經(jīng)歷了三個(gè)時(shí)期：規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。最初科學(xué)家們認(rèn)為真實(shí)系統(tǒng)各因素間的關(guān)系可用一些規(guī)則結(jié)構(gòu)表示，如歐幾里德網(wǎng)格。后來(lái)數(shù)學(xué)家們構(gòu)想，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間連邊與否不再具有確定性，而是由概率確定，此網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。近十幾年來(lái)科學(xué)家研究得出結(jié)論：很多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)既不是隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，也不是規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，而是具有與隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和規(guī)則網(wǎng)絡(luò)都不同性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)，稱(chēng)之為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。這些工作發(fā)表在國(guó)際頂級(jí)期刊Nature和Science上，對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究標(biāo)志著第三個(gè)時(shí)期的網(wǎng)絡(luò)研究的來(lái)臨。

Watts.D.J等經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有無(wú)標(biāo)度特性和小世界效應(yīng)，這是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)和規(guī)則網(wǎng)絡(luò)都不同的統(tǒng)計(jì)特征。描述網(wǎng)絡(luò)的基本參數(shù)有兩個(gè)：網(wǎng)絡(luò)的平均距離和網(wǎng)絡(luò)的簇系數(shù)。在網(wǎng)絡(luò)中，連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)最短路徑所包含的邊的數(shù)目稱(chēng)為它們間的距離，網(wǎng)絡(luò)的平均距離就是把所有節(jié)點(diǎn)對(duì)的距離求平均。規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)是兩個(gè)極端。只需要在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上稍作隨機(jī)改動(dòng)就可以同時(shí)具備大的簇系數(shù)和小的平均距離兩個(gè)性質(zhì)。物理學(xué)家把大的簇系數(shù)和小的平均距離兩個(gè)特征統(tǒng)稱(chēng)為小世界效應(yīng)。

我們嘗試在大學(xué)物理課堂教學(xué)上用多媒體演示了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的不同之處，通過(guò)這些演示，可以使大學(xué)一年級(jí)的本科生對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)有簡(jiǎn)單的了解，并取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果，也對(duì)網(wǎng)絡(luò)的認(rèn)知更加全面。

（二）自組織臨界理論

社會(huì)生活和自然界中存在著眾多的“標(biāo)度不變”行為。很多不規(guī)則復(fù)雜的分形結(jié)構(gòu)存在于自然界中，例如山巒、海岸線、云霧等，它們的基本特征共同之處都是同時(shí)具有標(biāo)度不變性和自相似性。在生物學(xué)、地震學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和語(yǔ)言學(xué)里，我們也總是能找到某一個(gè)量N（S）來(lái)表示為另一個(gè)量S的冪次：N（S）∞S-τ，即這個(gè)量的概率分布在雙對(duì)數(shù)圖上基本是一條直線，它表明對(duì)其而言無(wú)特征尺度，各種大小的量均可出現(xiàn)。Bak P等人提出自組織臨界理論來(lái)解釋此現(xiàn)象，他們用原胞自動(dòng)機(jī)模型（現(xiàn)在被稱(chēng)為“沙堆模型”）來(lái)闡述自組織臨界理論，其雪崩大小概率分布服從冪指規(guī)律，表明雪崩事件是高度關(guān)聯(lián)的。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可廣泛用來(lái)描述自然與社會(huì)領(lǐng)域的眾多現(xiàn)象，網(wǎng)絡(luò)是包含大量個(gè)體及個(gè)體之間相互作用的系統(tǒng)，“節(jié)點(diǎn)”代表系統(tǒng)的組成元素，“邊”說(shuō)明元素之間的關(guān)系。物理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)很多真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的度分布也呈現(xiàn)無(wú)標(biāo)度特性。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的無(wú)標(biāo)度特性表明它與自組織臨界性存在著極其密切的關(guān)系。Arcangelis L De等以沙堆模型為背景研究了二維小世界網(wǎng)絡(luò)的自組織臨界性，對(duì)于任意的重連概率，系統(tǒng)均展示自組織臨界行為。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是否會(huì)影響沙堆模型中的雪崩動(dòng)力學(xué)是物理學(xué)家爭(zhēng)論的一個(gè)焦點(diǎn)，周濤等對(duì)無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上自組織臨界沙堆模型的研究表明，沙堆模型的雪崩動(dòng)力學(xué)性質(zhì)對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特殊的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)非常敏感。潘貴軍等研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上定向沙堆模型的自組織臨界行為，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的方向性顯著影響了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)行為。孫凡等還研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上地震模型的自組織臨界行為，發(fā)現(xiàn)不同的不均勻性、倒塌規(guī)則和驅(qū)動(dòng)機(jī)制一定會(huì)影響系統(tǒng)的臨界行為，改變模型的普適類(lèi)。這些工作對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)研究都具有積極的意義。

我們嘗試在大學(xué)物理課堂教學(xué)上用計(jì)算機(jī)編程演示了自組織臨界沙堆模型，通過(guò)這些演示，可以使大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生對(duì)自組織臨界理論有簡(jiǎn)單的了解。通過(guò)這些多媒體演示，使大學(xué)一年級(jí)學(xué)生很容易理解自組織臨界理論的一些基本概念和基本觀點(diǎn)，并取得了較好的教學(xué)效果。

四、分形

分形理論是非線性物理的一個(gè)重要分支。分形（Fractal）概念是由Mandclbrot BB在Science上發(fā)表的一篇論文中提出的。目前分形理論已經(jīng)應(yīng)用于很多領(lǐng)域，如數(shù)學(xué)、材料學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等。

（一）謝爾賓斯基“地毯”

謝爾賓斯基“地毯”是一種規(guī)則分形，此分型的形成方法是取一正方形，將它等分為九個(gè)正方形，我們?nèi)サ糁虚g的正方形，隨后把留下來(lái)的八個(gè)正方形彼此再均分成為更微小的九個(gè)正方形，然后我們?cè)偃サ舯舜酥醒氲恼叫?。我們按照這個(gè)規(guī)則一直分至無(wú)窮小，它的極限圖就構(gòu)成了謝爾賓斯基“地毯”。這個(gè)極限圖形的面積是接近零的，但是小正方形的數(shù)量接近無(wú)窮打，作為小正方形邊的線段總長(zhǎng)度趨于無(wú)窮大。它的圖形則具有嚴(yán)格的無(wú)標(biāo)度性和自相似性，圖形的空間維數(shù)處于1和2之間。

（二）科契雪花曲線

“科契雪花”曲線的構(gòu)造規(guī)則是，以一個(gè)正三角形作為源多邊形，即為初始元。將正三角形的每一條邊三等分，舍去中間的1/3，而改變成夾角為60°的兩端等長(zhǎng)的折線。從該三角形一條邊出發(fā)進(jìn)行演變的過(guò)程：首先將正三角形的一條邊的直線部分按生成元來(lái)變形，形成折線，照這樣不斷繼續(xù)下去，一直到無(wú)窮，它的極限圖形就形成了科契曲線的一部分。再將該部分曲線順、逆時(shí)針各旋轉(zhuǎn)300°，拼接組合，即形成科契曲線。因?yàn)樗男螤詈芟裱┗ǎ晕覀兎Q(chēng)之為“科契雪花”曲線。

我們?cè)谡n堂上介紹了兩種基本規(guī)則分形圖形謝爾賓斯基“地毯”和“科契雪花”曲線的形成過(guò)程，計(jì)算了它們各自的分維值，并用MATLAB程序進(jìn)行了模擬繪制。我們通過(guò)多媒體演示，使大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生很容易掌握分形的知識(shí)，并取得了很好的教學(xué)效果。

五、結(jié)語(yǔ)

在大學(xué)物理課堂上引入混沌、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及自組織臨界理論和分形等非線性物理知識(shí)，通過(guò)介紹混沌、復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)及自組織臨界理論和分形的基本理論，以及在課堂上用多媒體演示混沌吸引子、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和自組織臨界沙堆模型、分形圖形的形成過(guò)程，使大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生對(duì)非線性物理的知識(shí)有一個(gè)簡(jiǎn)單的了解，可使大學(xué)一年級(jí)學(xué)生對(duì)物理規(guī)律的認(rèn)識(shí)更加深入和全面，并取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果。

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