馬銀華 楊慶國

摘要：針對理論力學(xué)課程中合成運(yùn)動的求解問題，提出了自構(gòu)建動系的概念和分析方法，并通過兩個(gè)實(shí)例，對比了常規(guī)解法與自構(gòu)建動系解法。結(jié)果表明，動系并非必須建立在實(shí)際存在的已知?jiǎng)傮w上，而是可以在易于確定相對運(yùn)動軌跡的基礎(chǔ)上，通過虛擬剛體（或點(diǎn)）來自行構(gòu)建動系，并根據(jù)需要設(shè)定動系的運(yùn)動規(guī)律（動系可建立于一點(diǎn)上，動系的運(yùn)動特征自行設(shè)定），增加了合成運(yùn)動問題中動系選擇的靈活性。自構(gòu)建動系法豐富了合成運(yùn)動的分析和求解方法，具有重要的意義和參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：合成運(yùn)動；動點(diǎn)；動系；虛擬剛體；自構(gòu)建動系

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）36-0192-03

合成運(yùn)動是理論力學(xué)運(yùn)動學(xué)部分的一個(gè)重要內(nèi)容，既是教學(xué)重點(diǎn)也是教學(xué)難點(diǎn)，能否恰當(dāng)合理地選擇動點(diǎn)、動系，是求解合成運(yùn)動問題的關(guān)鍵。

動點(diǎn)和動系的選擇應(yīng)該遵循一定的原則：（1）動點(diǎn)、動系必不能固結(jié)于同一剛體（相對運(yùn)動必須存在）；（2）動系和靜系也不能固結(jié)于同一剛體（牽連運(yùn)動必須存在）；（3）相對運(yùn)動軌跡應(yīng)易于直觀判斷（已知絕對運(yùn)動和牽連運(yùn)動求解相對運(yùn)動的問題除外）；（4）動系的運(yùn)動形式應(yīng)該是已知的；（5）絕對運(yùn)動最好是已知和簡單的。其中，（1）和（2）是必須原則，其余幾條是恰當(dāng)原則。也就是說，前兩條原則是必須要遵循的，而其他原則如果遵循，則求解就會較為簡單，否則可能會較為復(fù)雜。

綜上可知，在不違背必須原則的基礎(chǔ)上，動點(diǎn)和動系的選擇是具有靈活性的，有時(shí)甚至可以根據(jù)需要來設(shè)定專門或特定的動點(diǎn)和動系。例如，動點(diǎn)不一定是運(yùn)動的點(diǎn)，基于動與靜的相對關(guān)系，在某些情況下，可以選擇靜止的點(diǎn)作為動點(diǎn)進(jìn)行分析。同樣，動系的選擇也不必固結(jié)于題目給出的已知?jiǎng)傮w或?qū)嶋H剛體上，我們完全可以自行構(gòu)建一個(gè)虛擬的運(yùn)動剛體，并將動系固結(jié)于其上，但前提是，這樣做能夠便于各種運(yùn)動分析以及能夠獲取足夠的求解已知條件。本文將對這種自行構(gòu)建動系的概念及方法進(jìn)行闡述，并結(jié)合實(shí)例，分析其在合成運(yùn)動的速度和加速度求解問題中的應(yīng)用。

一、自構(gòu)建動系

現(xiàn)有教材在合成運(yùn)動問題的分析和求解時(shí)，都是將動系固結(jié)于某一實(shí)際存在的運(yùn)動剛體上（題目給出的已知?jiǎng)傮w），動系相對于靜系的牽連運(yùn)動，即為該已知?jiǎng)傮w的運(yùn)動。而動系是否能夠固結(jié)于一個(gè)實(shí)際并不存在的剛體（或者虛擬剛體）上呢？關(guān)于這一問題，現(xiàn)有教材并沒有明確提及。雖然理論上動系是可以任意選擇的（遵循上述必須原則的前提下），但對于一個(gè)實(shí)際并不存在且運(yùn)動情況未知的剛體，一般難以去思考將動系建立在其之上。因此，在現(xiàn)有教材的知識內(nèi)容設(shè)計(jì)及以此為基礎(chǔ)的大綱教學(xué)背景下，會使學(xué)生這樣來理解：動系必須建立在已知的或?qū)嶋H存在的運(yùn)動剛體上。顯然，這樣理解是錯(cuò)誤的，它制約了對于合成運(yùn)動問題分析和求解新方法的探索。

事實(shí)上，在選擇動系時(shí)，并不一定要將其固結(jié)于某一實(shí)際存在的運(yùn)動剛體之上，在不違背動點(diǎn)、動系選擇的必須原則下，動系完全可以靈活選擇。比如，在選定動點(diǎn)后（動點(diǎn)的絕對運(yùn)動軌跡已知），為了便于相對運(yùn)動軌跡的直觀確定，可以將動系固結(jié)于一個(gè)我們自行構(gòu)建的虛擬運(yùn)動剛體上，該剛體的運(yùn)動形式和運(yùn)動條件，可以根據(jù)需要自行設(shè)定。由于動系固結(jié)于該虛擬剛體，該虛擬剛體的運(yùn)動就是動系的運(yùn)動，因此，我們只需要選定一個(gè)運(yùn)動的點(diǎn)為基點(diǎn)（該點(diǎn)不同于絕對運(yùn)動中的“動點(diǎn)”），以該基點(diǎn)為原點(diǎn)建立一個(gè)動坐標(biāo)系，并設(shè)定動系做平動或轉(zhuǎn)動，即動系可以隨著基點(diǎn)平動（直線平動或曲線平動）、平面運(yùn)動或其他形式的運(yùn)動。需要強(qiáng)調(diào)的是，理論上自構(gòu)建動系的運(yùn)動形式可以任意設(shè)定，但為了便于分析和求解，應(yīng)以容易確定相對運(yùn)動的軌跡為原則。

在不清楚自構(gòu)建動系運(yùn)動條件的情況下（隨已知運(yùn)動點(diǎn)做平動的自構(gòu)建動系除外），合成運(yùn)動自然無法進(jìn)行分析，但由于點(diǎn)的速度合成定理及加速度合成定理具有瞬時(shí)性，因此在我們自構(gòu)建動系時(shí)，只需設(shè)定其在合成運(yùn)動分析瞬時(shí)具有某一瞬時(shí)的運(yùn)動特征值，而這一運(yùn)動特征值是題目中已知的或根據(jù)條件能夠求解的。這樣一來，當(dāng)我們選定運(yùn)動情況已知的點(diǎn)為動點(diǎn)，自行構(gòu)建運(yùn)動特征已知的動系后，絕對運(yùn)動、相對運(yùn)動和牽連運(yùn)動就都十分清晰了，合成運(yùn)動的速度和加速度合成關(guān)系就可以順利建立起來了。需要指出的是，自構(gòu)建動系這一方法并不一定是所有解題方法中最簡單的，對有些問題來說，該方法甚至可能會給分析帶來一定的難度，但是，從拓展合成運(yùn)動的分析思路和豐富求解方法的角度來看，自構(gòu)建動系作為一種新思路和新方法，是具有重要意義和參考價(jià)值的。

二、實(shí)例應(yīng)用與對比分析

（一）例題一

如圖1所示，曲柄OA長0.4m，以等角速度ω=

0.5rad/s繞O軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動。由于曲柄的A端推動水平板B，而使滑桿C沿豎直方向上升。求當(dāng)曲柄與水平線間的夾角θ=30°時(shí)，滑桿C的速度和加速度是多少？

分析：對于有不變接觸點(diǎn)的約束聯(lián)系機(jī)構(gòu)，通常是以該不變接觸點(diǎn)作為動點(diǎn)，即動點(diǎn)始終為兩個(gè)運(yùn)動部件的接觸點(diǎn)，這樣分析會很方便。基于此，該題的動點(diǎn)應(yīng)該選擇為OA桿上的A點(diǎn)，動系固結(jié)于剛體BC上（具體求解過程見解一）。如果選擇BC上的A為動點(diǎn)，動系固結(jié)于實(shí)際存在的剛體OA桿上（牽連運(yùn)動為定軸轉(zhuǎn)動），則相對運(yùn)動的軌跡難以確定，給求解帶來了麻煩，且在加速度分析中會涉及科氏加速度，易使學(xué)生出錯(cuò)。但是，如果我們采用自構(gòu)建動系的方法，將OA桿上的A點(diǎn)設(shè)為動系原點(diǎn)，建立動系并設(shè)定動系一直做平動（即虛擬一個(gè)包含OA桿上A點(diǎn)在內(nèi)的平動剛體，動系固結(jié)于該虛擬剛體上，牽連運(yùn)動為曲線平動），這樣一來就可以使得相對運(yùn)動的軌跡十分清晰。同時(shí)，由于牽連運(yùn)動為平動，不存在科氏加速度，使得加速度的分析和求解非常方便（具體求解過程見解二）。

解一：

動點(diǎn)：OA桿上的A點(diǎn)。

動系：固結(jié)于剛體BC上（圖略）。

定系：固結(jié)于支座O上（圖略）。

運(yùn)動分析：絕對運(yùn)動為以O(shè)為圓心的圓周運(yùn)動，相對運(yùn)動為水平直線運(yùn)動，牽連運(yùn)動為豎直直線平動。

速度和加速度分析：根據(jù)速度合成定理v=v+v和加速度合成定理a=a+a，做速度合成圖及加速度合成圖，見圖2所示。

由圖2的合成關(guān)系可得：v=vcosθ，a=asinθ，其中：v=·ω，a=·ω.

計(jì)算可得滑桿C的速度和加速度分別為：

v=v=vcosθ=0.4×0.5×cos30°=0.173m/s（↑）

a=a=asinθ=0.4×0.5×sin30°=0.05m/s（↓）

解二：

動點(diǎn)：BC剛體上的A點(diǎn)。

動系：以O(shè)A桿上的A點(diǎn)為原點(diǎn)，建立作平動的動系A(chǔ)x′y′（圖3）。

定系：固結(jié)于支座O上（xy）。

運(yùn)動分析：絕對運(yùn)動為豎直直線運(yùn)動，相對運(yùn)動為水平直線運(yùn)動（動點(diǎn)始終在動系的x′軸上運(yùn)動），牽連運(yùn)動為隨OA桿上A點(diǎn)運(yùn)動的曲線（圓周）平動。

速度和加速度分析：根據(jù)速度合成定理v=v+v和加速度合成定理a=a+a，做速度合成圖及加速度合成圖，見圖4所示。

由圖2的合成關(guān)系可得，v=vcosθ，a=asinθ.其中：牽連點(diǎn)與OA桿上A點(diǎn)的速度、加速度相同，即v=·ω，a=·ω.

計(jì)算可得滑桿C的速度和加速度分別為：

v=v=vcosθ=0.4×0.5×cos30°=0.173m/s（↑）

a=a=asinθ=0.4×0.5×sin30°=0.05m/s（↓）

總結(jié)：解一是最常規(guī)的解題方法，解二采用了自構(gòu)建動系的方法。對于此題，兩種方法的分析和求解難易程度相同。但是，如果以BC上的A為動點(diǎn)，動系固結(jié)于實(shí)際存在的已知?jiǎng)傮wOA桿上，則相對運(yùn)動軌跡不易判斷，在分析和求解時(shí)，需要利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，同時(shí)涉及科氏加速度，較為復(fù)雜。與之相比，解二中的自構(gòu)建動系方法可使問題大大簡化。

（二）例題二

如圖5所示，已知：凸輪半徑為r，速度為v，θ=30°，桿OA靠在凸輪上。求：桿OA的角速度。

分析：相接觸的兩個(gè)物體的接觸點(diǎn)位置都隨時(shí)間而變化，因此，一般認(rèn)為兩物體的接觸點(diǎn)都不宜選為動點(diǎn)，否則相對運(yùn)動的分析就會很困難。通過觀察機(jī)構(gòu)的運(yùn)動特征，以凸輪圓心C為動點(diǎn)，動系固結(jié)于OA桿上，這是最常用的方法，該方法的難點(diǎn)在于牽連速度的確定（具體求解過程見解一）。實(shí)際上，當(dāng)我們采用自構(gòu)建動系的方法時(shí)，以兩物體的接觸點(diǎn)為動點(diǎn)進(jìn)行分析，也可以使問題易于求解（具體求解方法和過程見解二）。

解一：

動點(diǎn)：凸輪圓心C點(diǎn)。

動系：固結(jié)于OA桿上（圖6）。

定系：固結(jié)于支座O上（圖略）。

運(yùn)動分析：絕對運(yùn)動為水平向右直線運(yùn)動，相對運(yùn)動為平行于OA的直線運(yùn)動（點(diǎn)C到OA桿的距離始終為半徑r），牽連運(yùn)動為定軸轉(zhuǎn)動。

速度分析：根據(jù)速度合成定理v=v+v，做速度合成圖，見圖6所示。

由圖6的合成關(guān)系可得，v=vtanθ，其中：v=v，v=OC·ω.

求解得：ω=v/=vtanθ/2r=v/6r（順時(shí)針）

解二：

動點(diǎn)：以O(shè)A桿上與凸輪接觸的D點(diǎn)為動點(diǎn)。

動系：在桿與凸輪接觸點(diǎn)處虛構(gòu)一個(gè)微小套環(huán)，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程中，套環(huán)始終在兩物體的接觸點(diǎn)處。以微小套環(huán)為動系原點(diǎn)（O′），建立隨套環(huán)運(yùn)動并繞套環(huán)轉(zhuǎn)動的動坐標(biāo)系（O′x′y′），同時(shí)設(shè)定動系轉(zhuǎn)動的角速度與OA桿的角速度始終相同（見圖7）。

定系：固結(jié)于支座O上（Oxy）。

運(yùn)動分析：絕對運(yùn)動是以O(shè)為圓心的圓周運(yùn)動，相對運(yùn)動是沿OA方向的直線運(yùn)動（動點(diǎn)D始終在動系的y′軸上），牽連運(yùn)動是平面運(yùn)動（隨O′移動的同時(shí)還在轉(zhuǎn)動）。

速度分析：在牽連運(yùn)動為平面運(yùn)動時(shí)，速度合成定理v=v+v仍然成立（該矢量式適用于牽連運(yùn)動為任意運(yùn)動）。其中，v是指動系上與動點(diǎn)位置重合的點(diǎn)的絕對速度，也就是圖示θ=30°時(shí)的套環(huán)速度v，即v=v。

套環(huán)的速度可按合成運(yùn)動知識計(jì)算，以套環(huán)作為動點(diǎn)，動系建立在凸輪上（動點(diǎn)的相對運(yùn)動為繞C點(diǎn)的圓周運(yùn)動，牽連運(yùn)動為凸輪的水平直線平動），可知v=v+v（分析可知套環(huán)O′繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度與OA桿的角速度相同）。

綜上分析可得：v=v+v+v，其中v=v，v=·ω，速度合成關(guān)系見圖8。

將矢量方程v=v+v+v在y′軸方向進(jìn)行投影，得到：v=vsinθ=v/2.

因此，ω=v/OD=v/（r·ctgθ）=v/6r（順時(shí)針）

總結(jié)：采用常規(guī)方法求解該題時(shí)，最重要的是能夠找到C點(diǎn)作為動點(diǎn)，判斷出相對運(yùn)動軌跡，同時(shí)要正確理解牽連速度的方向和大小。當(dāng)采用自構(gòu)建動系的方法時(shí)，可以基于接觸點(diǎn)來自構(gòu)建動系并設(shè)定動系的運(yùn)動特征，豐富了分析和求解方法。對該題來說，采用自構(gòu)建動系方法的主要難點(diǎn)在于能否正確構(gòu)建動系，并給出速度合成定理的展開式（尤其是牽連速度的矢量表達(dá)式），即重點(diǎn)、難點(diǎn)在于分析思路和分析過程，而求解是很簡單的。附注：該題的加速度分析同樣可以利用自構(gòu)建動系的方法，本文不做討論。

三、結(jié)語

針對點(diǎn)的合成運(yùn)動中動系選擇方法的不明確性問題，本文提出了自構(gòu)建動系的概念及其方法，通過兩個(gè)實(shí)例的分析及求解對比，證明了自構(gòu)建動系方法的可行性。這一方法的提出，明確了動系選擇的靈活性，豐富了合成運(yùn)動問題的分析和求解方法。對于某些特定動點(diǎn)的問題，采用該方法比常規(guī)方法更為簡便。在現(xiàn)有教材的知識內(nèi)容設(shè)計(jì)及以此為基礎(chǔ)的教學(xué)大綱背景下，自構(gòu)建動系方法的提出具有重要意義和參考價(jià)值。

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