周進(jìn)鑫

摘要：代數(shù)方面的知識是數(shù)學(xué)工作者的必備基礎(chǔ)。本文通過討論大學(xué)代數(shù)知識在互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)對稱性研究中的應(yīng)用，提出大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生檢驗(yàn)自己對已學(xué)代數(shù)知識的掌握程度的一種新思路，即思考一些比較前沿的數(shù)學(xué)問題。

關(guān)鍵詞：代數(shù)；對稱；自同構(gòu)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）31-0191-02

一、引言與基本概念

《高等代數(shù)》（advanced algebra）和《近世代數(shù)》（abstract algebra）是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)有關(guān)代數(shù)方面的兩門重要課程。前者是大學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)專業(yè)最重要的主干基礎(chǔ)課程之一，后者既是對前者的繼續(xù)和深入，也是代數(shù)方面研究生課程的重要先修課程之一。這兩門課程概念眾多，內(nèi)容高度抽象，是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生公認(rèn)的難學(xué)課程。甚至，很多學(xué)生修完《高等代數(shù)》之后，就放棄了繼續(xù)學(xué)習(xí)《近世代數(shù)》。即使對于那些堅(jiān)持認(rèn)真學(xué)完這兩門課程的學(xué)生來講，也未必能做到“不僅知其然，還知其所以然”，而要做到“知其所以然，還要知其不得不然”就更是難上加難了。眾所周知，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅邏輯上要搞懂，還要做到真正掌握，學(xué)以致用，也就是“學(xué)到手”。當(dāng)然，做課后習(xí)題和考試是檢驗(yàn)是否學(xué)會的一個(gè)重要手段。然而，利用所學(xué)知識獨(dú)立地去解決一些比較前沿的數(shù)學(xué)問題，也是檢驗(yàn)我們對于知識理解和掌握程度的一個(gè)重要方法。這樣做，不僅有助于鞏固和加深對所學(xué)知識的理解，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和自學(xué)能力。筆者結(jié)合自己所從事的教學(xué)和科研工作，在這方面做了一些嘗試。

互連網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以用圖來表示。為了提高網(wǎng)絡(luò)性能，考慮到高對稱性圖具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)工作者通常建議使用具有高對稱性的圖來做互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的模型。事實(shí)上，許多著名的網(wǎng)絡(luò)，如：超立方體網(wǎng)絡(luò)、折疊立方體網(wǎng)絡(luò)、交錯(cuò)群圖網(wǎng)絡(luò)等都具有很強(qiáng)的對稱性。而且這些網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造都是基于一個(gè)重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)即“群”。它們的對稱性也是通過其自同構(gòu)群在其各個(gè)對象（如：頂點(diǎn)集合、邊集合等）上作用的傳遞性來描述的。

下面介紹一些相關(guān)的概念。一個(gè)圖G是一個(gè)二元組（V，E），其中V是一個(gè)有限集合，E為由V的若干二元子集組成的集合。稱V為G的頂點(diǎn)集合，E為G的邊集合。E中的每個(gè)二元子集{u，v}稱為是圖G的連接頂點(diǎn)u與v的一條邊。圖G的一個(gè)自同構(gòu)f是G的頂點(diǎn)集合V上的一個(gè)一一映射（即置換），使得{u，v}為G的邊當(dāng)且僅當(dāng){uf，vf}也為G的邊。圖G的全體自同構(gòu)依映射的合成構(gòu)成一個(gè)群，稱為G的全自同構(gòu)群，記作Aut（G）。圖G稱為是頂點(diǎn)對稱的，如對于G的任意兩個(gè)頂點(diǎn)u與v，存在G的自同構(gòu)f使得uf=v。圖G稱為是邊對稱的，如對于G的任意兩條邊{u，v}和{x，y}，存在G的自同構(gòu)f使得{uf，vf}={x，y}。

至此，完全決定了這三類網(wǎng)絡(luò)的對稱性。不難看出，除了必要的圖論概念外，我們的證明主要利用了《高等代數(shù)》和《近世代數(shù)》的知識。做為上述問題的繼續(xù)和深入，有興趣的同學(xué)還可以考慮以下問題：

1.這些網(wǎng)絡(luò)是否具有更強(qiáng)的對稱性？比如：弧對稱性？距離對稱性？

2.完全決定這些網(wǎng)絡(luò)的全自同構(gòu)群。

實(shí)際上，利用與上面證明相同的思路，結(jié)合對圖的局部結(jié)構(gòu)的分析，利用一些組合技巧，這些問題也可以得到解決。

三、小結(jié)

大學(xué)所學(xué)代數(shù)知識在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的許多學(xué)科、乃至其他領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。筆者認(rèn)為任課教師可以根據(jù)自己所熟悉的科研領(lǐng)域，選取一些與大學(xué)代數(shù)知識有緊密聯(lián)系的前沿?cái)?shù)學(xué)問題，引導(dǎo)一些學(xué)有余力的學(xué)生開展相關(guān)研究，甚至可以吸引一些本科生加入自己的課題組。當(dāng)然，教師要給予必要的指導(dǎo)，比如講解相關(guān)背景知識、必要的概念和方法等。指導(dǎo)學(xué)生從相對簡單的問題入手，循序漸進(jìn)，由易到難，逐步加深對代數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)理解，積累一些經(jīng)驗(yàn)，為考慮進(jìn)一步的問題奠定基礎(chǔ)。

本文所提到的利用《高等代數(shù)》和《近世代數(shù)》的知識來研究網(wǎng)絡(luò)的對稱性就是筆者在教學(xué)工作中曾做過的一些嘗試。在該方面，筆者指導(dǎo)完成了由三名大三學(xué)生參加的國家級大學(xué)生創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目一項(xiàng)。這樣以來，學(xué)生在學(xué)習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，也可以思考一些比較前沿的數(shù)學(xué)問題；學(xué)生在鞏固已學(xué)知識的同時(shí)，也可以激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，以及獨(dú)立發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。