方瀟珞，呂文元 FANG Xiao-luo, LV Wen-yuan

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海200093）

(Management School, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

0 引 言

經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量（Economic Manufacture Quantity, EMQ） 模型通常簡(jiǎn)單地默認(rèn)生產(chǎn)過程一直完好，設(shè)備運(yùn)行可靠，生產(chǎn)的產(chǎn)品均為合格產(chǎn)品。但是，實(shí)際情況并非如此理想?？紤]到經(jīng)典的EMQ 模型已與復(fù)雜的生產(chǎn)狀況相去甚遠(yuǎn)，許多學(xué)者從客觀實(shí)際出發(fā)豐富了EMQ 的拓展研究。

主要研究方向有三點(diǎn)：其一，由于設(shè)備的磨損使得生產(chǎn)過程可能由受控狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槭Э貭顟B(tài)，在失控狀態(tài)下生產(chǎn)出一定比例缺陷產(chǎn)品。Porteus[1]最早認(rèn)識(shí)到生產(chǎn)過程可能發(fā)生劣化，進(jìn)而生產(chǎn)出一定比例缺陷產(chǎn)品，研究發(fā)現(xiàn)小批量生產(chǎn)更經(jīng)濟(jì)；同年，Rosenblatt 和Lee[2]做了類似研究，結(jié)論是該模型下的最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間比經(jīng)典EMQ 模型里的短；Lee 和Rosenblatt[3]假定生產(chǎn)過程劣化發(fā)生時(shí)間服從指數(shù)分布，考慮了對(duì)劣化生產(chǎn)系統(tǒng)的檢修，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的檢查間隔期是相等的，給出了最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間和檢查策略；在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，Lee 和Park[4]認(rèn)為缺陷產(chǎn)品的售前返修費(fèi)用明顯小于售后保修費(fèi)用，通過考慮兩者的差異，研究了劣化生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)計(jì)劃和檢查策略的聯(lián)合優(yōu)化問題；Hariga 和Ben-Daya[5]放寬了文獻(xiàn)[2]中劣化發(fā)生時(shí)間服從指數(shù)分布的假設(shè)條件，研究了生產(chǎn)過程劣化發(fā)生時(shí)間服從任意分布的EMQ 模型，推導(dǎo)出最小費(fèi)用的自由邊界分布；Kim 和Hong[6]假設(shè)檢查只在生產(chǎn)結(jié)束后而不是在生產(chǎn)過程中進(jìn)行；Wang[7]基于文獻(xiàn)[6]的檢查策略假設(shè)，指出當(dāng)把失控狀態(tài)的生產(chǎn)系統(tǒng)修復(fù)到受控狀態(tài)所需的費(fèi)用大于缺陷產(chǎn)品的費(fèi)用時(shí)，文獻(xiàn)[2]模型中的最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)間未必總是比經(jīng)典EMQ 模型的短。其二，設(shè)備可能發(fā)生隨機(jī)故障，迫使生產(chǎn)中止，影響嚴(yán)重。Groenevelt 等[8]首次在EMQ 模型中考慮設(shè)備隨機(jī)故障的影響因素，發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)批量變大且隨著故障率的增加而增加；隨后，他們[9]引入安全庫(kù)存，修正了文獻(xiàn)[8]的EMQ 模型；Makis 和Fung[10]研究了缺陷產(chǎn)品和設(shè)備故障對(duì)最優(yōu)生產(chǎn)批量和檢查次數(shù)的影響；Chakraborty 等[11]對(duì)比研究了生產(chǎn)過程劣化和設(shè)備隨機(jī)故障共同影響下兩種檢查策略的最優(yōu)生產(chǎn)批量；潘爾順和李慶國(guó)[12]改進(jìn)了田口損失函數(shù)，建立了含返修和質(zhì)量損失成本的EMQ 模型；呂文元和化彬[13]考慮了設(shè)備故障維修時(shí)間，研究了允許缺貨的EMQ 模型的生產(chǎn)計(jì)劃和檢查策略的聯(lián)合優(yōu)化問題。其三，產(chǎn)品質(zhì)量通常是衡量生產(chǎn)過程狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)，但是Dorris 和Foote[14]研究發(fā)現(xiàn)由于檢驗(yàn)員和儀器的原因，檢查錯(cuò)誤是存在的，影響生產(chǎn)過程狀態(tài)的判斷和產(chǎn)品的質(zhì)量，有必要考慮檢查錯(cuò)誤對(duì)EMQ 模型的影響。檢查錯(cuò)誤分為兩類：第Ⅰ類檢查錯(cuò)誤是指把受控狀態(tài)的生產(chǎn)過程判定為失控狀態(tài)，誤判的合格產(chǎn)品重新進(jìn)行修復(fù)；第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤是指實(shí)際處于失控狀態(tài)的生產(chǎn)過程沒有被檢測(cè)出，漏判的缺陷產(chǎn)品流入市場(chǎng)。Liou 等[15]和Makis[16]認(rèn)為兩類檢查錯(cuò)誤會(huì)嚴(yán)重影響產(chǎn)品質(zhì)量，故將其引入EMQ 模型，修正了文獻(xiàn)[3]的模型；Yoo 等[17]從企業(yè)利潤(rùn)最大化的角度，研究了兩類檢查錯(cuò)誤共同影響下的EMQ 模型。

基于以上文獻(xiàn)，本文綜合考慮生產(chǎn)計(jì)劃、設(shè)備維修和質(zhì)量控制三個(gè)方面，改進(jìn)并建立更切合實(shí)際的EMQ 模型，研究了生產(chǎn)過程劣化、設(shè)備隨機(jī)故障及第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤共同影響下的生產(chǎn)計(jì)劃和檢查策略的聯(lián)合優(yōu)化問題，目的是求得使單位時(shí)間內(nèi)總費(fèi)用期望值最低的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量和檢查次數(shù)，為企業(yè)生產(chǎn)管理提供更有效的指導(dǎo)。

1 問題描述

圖1 每生產(chǎn)周期的生產(chǎn)—庫(kù)存狀態(tài)

本文所描述的生產(chǎn)系統(tǒng)與經(jīng)典的EMQ 模型所描述的有相同之處又有其不同。首先是相同點(diǎn)：生產(chǎn)從庫(kù)存為0 時(shí)開始進(jìn)行，經(jīng)過生產(chǎn)時(shí)間Q/p結(jié)束。由于生產(chǎn)率p大于需求率d，所以庫(kù)存以p-（）d速率上升。在Q/p時(shí)，批量Q生產(chǎn)完成，庫(kù)存達(dá)到峰值，生產(chǎn)停止，庫(kù)存隨著需求率d開始下降。當(dāng)庫(kù)存再次減少到0 時(shí)，開始下一次的生產(chǎn)，如此循環(huán)。與經(jīng)典的EMQ 模型的不同點(diǎn)如下：

（1） 經(jīng)典的EMQ 模型假設(shè)生產(chǎn)過程一直完好，生產(chǎn)的都是合格產(chǎn)品，但在實(shí)際生產(chǎn)中，由于設(shè)備不斷受到磨損，致使生產(chǎn)過程發(fā)生劣化，缺陷產(chǎn)品的出現(xiàn)不可避免。本文所描述的生產(chǎn)系統(tǒng)在每次生產(chǎn)開始時(shí)，生產(chǎn)過程都處于受控狀態(tài)，生產(chǎn)的產(chǎn)品均合格。在運(yùn)行一段時(shí)間τ 后，生產(chǎn)過程可能轉(zhuǎn)變?yōu)槭Э貭顟B(tài)，如圖1 中“·”所示，此時(shí)開始生產(chǎn)出一定比例的缺陷產(chǎn)品。為了減少缺陷產(chǎn)品帶來的損失，在生產(chǎn)運(yùn)行期間，對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行定期檢查，定期檢查如圖1 中“▍”所示，檢查次數(shù)為n，在沒有發(fā)生設(shè)備故障的生產(chǎn)周期中，第n次檢查在生產(chǎn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行來保證下一生產(chǎn)周期開始時(shí)設(shè)備處于受控狀態(tài)。一旦檢查發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)過程處于失控狀態(tài)，立即對(duì)其進(jìn)行修復(fù)，即生產(chǎn)過程重新回到受控狀態(tài)，并對(duì)缺陷產(chǎn)品進(jìn)行返修。

（2） 產(chǎn)品質(zhì)量通常是衡量生產(chǎn)過程狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)，但由于檢驗(yàn)員和儀器的原因，檢查錯(cuò)誤是客觀存在的，檢查錯(cuò)誤分為兩類：第Ⅰ類檢查錯(cuò)誤是指把受控狀態(tài)的生產(chǎn)過程判定為失控狀態(tài)，誤判的合格產(chǎn)品重新進(jìn)行修復(fù)；第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤是指實(shí)際處于失控狀態(tài)的生產(chǎn)過程沒有被檢測(cè)出，漏判的缺陷產(chǎn)品直接流入市場(chǎng)。本文考慮第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤的影響，部分缺陷產(chǎn)品沒有得到售前返修直接進(jìn)入市場(chǎng)，以次充好的情況引起客戶抱怨，從而產(chǎn)生相應(yīng)的缺陷產(chǎn)品的售后保修費(fèi)用。

（3） 設(shè)備嚴(yán)重磨損直接導(dǎo)致故障停機(jī)，設(shè)備故障是隨機(jī)發(fā)生的，一旦發(fā)生故障，生產(chǎn)停止，并對(duì)其進(jìn)行事后維修。因此，本文的假定條件如下：

（1） 考慮單臺(tái)生產(chǎn)設(shè)備上單一產(chǎn)品的單周期生產(chǎn)過程。

（2） 產(chǎn)品生產(chǎn)率p和產(chǎn)品需求率d為常量，且p＞d，生產(chǎn)是間歇的，需求是持續(xù)的。

（3） 生產(chǎn)過程劣化與生產(chǎn)系統(tǒng)隨機(jī)發(fā)生故障相互獨(dú)立。一般說來，生產(chǎn)過程劣化和設(shè)備隨機(jī)發(fā)生故障是相關(guān)的，由于對(duì)生產(chǎn)過程經(jīng)常檢查，可以及時(shí)糾正生產(chǎn)過程的失控狀態(tài)，因此假定二者相互獨(dú)立是合理的。

（4） 檢查時(shí)間和檢查修復(fù)時(shí)間與生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間相比可以忽略不計(jì)。

（5） 生產(chǎn)過程經(jīng)過一個(gè)隨機(jī)時(shí)間τ 從受控狀態(tài)變?yōu)槭Э貭顟B(tài)，假定τ 服從參數(shù)為λc的指數(shù)分布。

（6） 被檢查出來的缺陷產(chǎn)品進(jìn)行返修可再次投入消耗使用，在考慮第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤的情況下，有一定比例的缺陷產(chǎn)品被漏判，沒有得到返修而直接通過銷售進(jìn)入市場(chǎng)，這部分缺陷產(chǎn)品會(huì)引起一筆售后保修費(fèi)用。

（7） 生產(chǎn)系統(tǒng)空閑時(shí)，不發(fā)生劣化和故障。

根據(jù)以上描述和假設(shè)，該生產(chǎn)系統(tǒng)內(nèi)的總費(fèi)用一共包括六項(xiàng)：生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用、庫(kù)存費(fèi)用、生產(chǎn)過程的檢查費(fèi)用、劣化生產(chǎn)過程的修復(fù)費(fèi)用、缺陷產(chǎn)品的返修費(fèi)用及保修費(fèi)用、故障維修費(fèi)用。研究的目的是通過建立模型找到滿足單位時(shí)間內(nèi)總費(fèi)用期望值TC*最低的最優(yōu)生產(chǎn)批量Q*以及最優(yōu)檢查次數(shù)n*。

2 模型建立

2.1 符號(hào)假設(shè)

d：需求率（個(gè)/天）；

p：生產(chǎn)率（p＞d，個(gè)/天）；

Q：生產(chǎn)批量（個(gè)）；

Cs：每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用（元/次）；

h：?jiǎn)挝划a(chǎn)品單位時(shí)間的庫(kù)存費(fèi)用（元/個(gè)/天）；

Cd：?jiǎn)挝蝗毕莓a(chǎn)品的售前返修費(fèi)用（元/個(gè)）；

Cw：?jiǎn)挝蝗毕莓a(chǎn)品的售后保修費(fèi)用（元/個(gè)）；

α：失控狀態(tài)時(shí)，生產(chǎn)缺陷產(chǎn)品的比例（%）；

β：第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤率（%）；

Ci：每次檢查費(fèi)用（元/次）；

Cr：失控生產(chǎn)過程的修復(fù)費(fèi)用（元/次）；

Cf：故障維修費(fèi)用（元/次）；

n：每生產(chǎn)周期的檢查次數(shù)（次）；

τ：在每次檢修后生產(chǎn)過程由受控狀態(tài)轉(zhuǎn)變到失控狀態(tài)所經(jīng)歷的時(shí)間（天）；

m：相鄰兩個(gè)檢查間隔期內(nèi)生產(chǎn)缺陷產(chǎn)品數(shù)量（個(gè)）；

mf：設(shè)備發(fā)生故障的檢查間隔期內(nèi)生產(chǎn)的缺陷產(chǎn)品數(shù)量（個(gè)）；

t：故障發(fā)生前，總的生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間（天）；

Fd（t） ：t的分布函數(shù)；

fd（t）：t的概率密度函數(shù)。

2.2 建立模型

對(duì)于設(shè)備發(fā)生故障的生產(chǎn)周期，生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間為t，生產(chǎn)周期的長(zhǎng)度為pt/d。生產(chǎn)系統(tǒng)內(nèi)的總費(fèi)用一共包括六項(xiàng)：生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用、庫(kù)存費(fèi)用、生產(chǎn)過程的檢查費(fèi)用、劣化生產(chǎn)過程的修復(fù)費(fèi)用、缺陷產(chǎn)品的返修費(fèi)用及保修費(fèi)用、故障維修費(fèi)用。各項(xiàng)費(fèi)用如下列公式所示：

每生產(chǎn)周期的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為：

每生產(chǎn)周期的庫(kù)存費(fèi)用的期望值為：

故障發(fā)生前，已進(jìn)行的檢查次數(shù)為「npt/Q」，則每生產(chǎn)周期的檢查費(fèi)用的期望值為：

假定生產(chǎn)過程由受控狀態(tài)轉(zhuǎn)變到失控狀態(tài)的時(shí)間即劣化率服從參數(shù)為λc的指數(shù)分布，則每個(gè)生產(chǎn)檢查間隔期的修復(fù)費(fèi)用的期望值為：

所以，每生產(chǎn)周期的缺陷生產(chǎn)過程的修復(fù)費(fèi)用的期望值為：

假設(shè)設(shè)備發(fā)生故障的生產(chǎn)檢查間隔期的生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間為Tf，則有：

設(shè)備發(fā)生故障前的每個(gè)生產(chǎn)檢查間隔期所生產(chǎn)的缺陷產(chǎn)品數(shù)量的期望值為：

所以，設(shè)備發(fā)生故障的生產(chǎn)檢查間隔期所生產(chǎn)的缺陷產(chǎn)品數(shù)量的期望值為：

考慮第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤率β，即缺陷產(chǎn)品漏判的概率為β，那么：

所以，由式（7）、式（8）、式（9） 可得每生產(chǎn)周期所生產(chǎn)的缺陷產(chǎn)品的返修及保修費(fèi)用的期望值為：

每生產(chǎn)周期的故障維修費(fèi)用為：

在一個(gè)生產(chǎn)周期中，如果設(shè)備沒有發(fā)生故障，那么生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間為Q/p，周期長(zhǎng)度為Q/d。則生產(chǎn)周期內(nèi)各項(xiàng)費(fèi)用如下列公式所示：

每生產(chǎn)周期的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為：

每生產(chǎn)周期的庫(kù)存費(fèi)用的期望值為：

每生產(chǎn)周期的檢查費(fèi)用的期望值為：

每生產(chǎn)周期的缺陷生產(chǎn)過程的修復(fù)費(fèi)用的期望值為：

每生產(chǎn)周期的缺陷產(chǎn)品的返修及保修費(fèi)用的期望值為：

綜合上述式(1) 至式(16)，每生產(chǎn)周期的總費(fèi)用的期望值為：

根據(jù)定義，每生產(chǎn)周期長(zhǎng)度的期望值為：

每生產(chǎn)周期的單位時(shí)間內(nèi)總費(fèi)用的期望值為：

將式（17） 和式（18） 代入式（19），利用Matlab 等軟件以及優(yōu)化算法，即可以求出滿足單位時(shí)間內(nèi)總費(fèi)用的期望值TC*最低的最優(yōu)生產(chǎn)批量Q*以及最優(yōu)檢查次數(shù)n*。

3 算例分析

應(yīng)用一個(gè)算例來說明本文所建模型的有效性。假設(shè)生產(chǎn)過程劣化率、設(shè)備故障率分別服從參數(shù)為λc、λd的指數(shù)分布，具體參數(shù)取值如表1 所示：

表1 參數(shù)值

將表1 的參數(shù)值代入，利用粒子群算法進(jìn)行求解，其計(jì)算結(jié)果如表2 所示。

分析計(jì)算結(jié)果可知：

（1） 當(dāng)故障率λd和缺陷率λc一定時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)的總費(fèi)用期望值TC*伴隨著第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤率β 的增大而明顯增大，最優(yōu)檢查次數(shù)n*也增多。其中原因在于，第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤率β 的上升，意味著更多的缺陷產(chǎn)品沒有被檢測(cè)出來，跳過內(nèi)部售前返修而直接流向市場(chǎng)，以次充好的情況加劇，引起更多客戶抱怨，因此企業(yè)需要承擔(dān)和支付的售后保修費(fèi)用增加；為了降低第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤率β，一方面除了提高質(zhì)檢人員的技能，更重要的方面是盡可能減少缺陷產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，因此投入的檢查次數(shù)自然增多以保證生產(chǎn)過程盡可能處于受控狀態(tài)，檢查費(fèi)用增加。由于生產(chǎn)的產(chǎn)品均投入消耗使用，經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量Q*和第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤率β 沒有明顯的正相關(guān)抑或負(fù)相關(guān)關(guān)系，經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量Q*在一定小范圍內(nèi)維持穩(wěn)定波動(dòng)。

表2 模型的計(jì)算結(jié)果

（2） 當(dāng)故障率λd和第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤率β 一定時(shí)，隨著缺陷率λc的增加，單位時(shí)間內(nèi)的總費(fèi)用期望值TC*和最優(yōu)檢查次數(shù)n*都呈現(xiàn)正相關(guān)變化。其中原因在于，缺陷率λc的上升表明生產(chǎn)過程由受控狀態(tài)轉(zhuǎn)移到失控狀態(tài)的可能性變大，生產(chǎn)的缺陷產(chǎn)品數(shù)量增多，進(jìn)而導(dǎo)致更多的缺陷產(chǎn)品的返修和保修費(fèi)用；為控制生產(chǎn)過程不要轉(zhuǎn)移到失控狀態(tài)，必然要提高檢查次數(shù)，檢查費(fèi)用增加以及修復(fù)失控狀態(tài)的生產(chǎn)過程的修復(fù)費(fèi)用增加。由于生產(chǎn)的產(chǎn)品都用于消耗使用，經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量Q*和缺陷率λc沒有明顯關(guān)系，經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量Q*較穩(wěn)定。

（3） 當(dāng)缺陷率λc和第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤率β 一定時(shí)，隨著故障率λd的增加，經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量Q*和單位時(shí)間內(nèi)的總費(fèi)用期望值TC*也在增加，然而最優(yōu)檢查次數(shù)n*基本不變。其中原因在于，故障率λd的上升是指設(shè)備發(fā)生故障停機(jī)的可能性變大，停機(jī)的次數(shù)增加意味著更多故障維修和設(shè)備重啟，增加了設(shè)備維修費(fèi)用和生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用；為了減少設(shè)備啟動(dòng)次數(shù)，就要提高經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量，從而增加了庫(kù)存費(fèi)用；當(dāng)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量Q*增幅不大時(shí)，生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間基本相近，且缺陷率一定，故最優(yōu)檢查次數(shù)n*不變，然而當(dāng)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量Q*的增幅較大，相應(yīng)的生產(chǎn)運(yùn)行時(shí)間自然延長(zhǎng)，所以，最優(yōu)檢查次數(shù)n*小幅增加也在情理之中。

這與實(shí)際的生產(chǎn)狀況相符，表明了本文模型的有效性。企業(yè)一方面要重視檢查錯(cuò)誤的惡劣影響，嚴(yán)格控制，減少不必要的售后成本，保障企業(yè)信譽(yù)；另一方面要加強(qiáng)對(duì)設(shè)備的維護(hù)和保養(yǎng)，降低設(shè)備的缺陷率和故障率可以有效降低生產(chǎn)成本，幫助企業(yè)獲得更大收益。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了生產(chǎn)過程劣化、設(shè)備隨機(jī)故障及第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤共同影響下的不可靠生產(chǎn)系統(tǒng)。通過建立含生產(chǎn)過程劣化、設(shè)備隨機(jī)故障及第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤的定期檢查的單周期EMQ 模型，求得使單位時(shí)間內(nèi)總費(fèi)用期望值最低的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量和檢查次數(shù)。算例分析的結(jié)果是：①隨著第Ⅱ類檢查錯(cuò)誤率β 的上升，單位時(shí)間內(nèi)的總費(fèi)用期望值TC*明顯增加，最優(yōu)檢查次數(shù)n*增加，對(duì)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量Q*影響甚微；②隨著缺陷率λc的上升，單位時(shí)間內(nèi)的總費(fèi)用期望值TC*增加，最優(yōu)檢查次數(shù)n*增加，經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量Q*未受影響；③隨著故障率λd的上升，單位時(shí)間內(nèi)的總費(fèi)用期望值TC*增加，經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量Q*增加，最優(yōu)檢查次數(shù)n*基本不變。

未來還可以考慮檢查修復(fù)時(shí)間、設(shè)備更新等因素的影響，有待進(jìn)一步研究。

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