杜玉霞,梁　武,汪洪燕

宿州學院數學與統(tǒng)計學院，安徽宿州，234000

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矩陣方程(AX,YA)=(B1,B2)的埃爾米特廣義反漢密爾頓半正定解

杜玉霞,梁武,汪洪燕

宿州學院數學與統(tǒng)計學院，安徽宿州，234000

摘要：設J∈Rn×n是給定的正交反對稱矩陣，即JJT=JTJ=In,JT=-J。如果矩陣A∈Cn×n滿足(1)AH=A,JAJ=-AH;(2)?x∈Cn,xHAx≥0,則稱A為埃爾米特廣義反漢密爾頓半正定矩陣，所有n階埃爾米特廣義反漢密爾頓半正定矩陣的集合記為HAH。主要利用矩陣自身的結構研究了矩陣方程(AX,YA)=(B1,B2)在集合HAH中有解的充分必要條件；且在有解時解的表達式為。

關鍵詞：矩陣方程；埃爾米特廣義反漢密爾頓矩陣；有解條件

1　問題的提出

設J∈Rn×n是給定的正交反對稱矩陣，即JJT=JTJ=In,JT=-J。如果矩陣A∈Cn×n滿足：

(1)AH=A,JAJ=-AH；

(2)?x∈Cn,xHAx≥0

約束矩陣方程問題產生于線性控制領域，它是矩陣計算的一個基本問題，已被廣泛研究, 并得到了許多重要的結論，見參考文獻[1-6]。文獻[1]研究了線性方程AX=B的埃爾米特廣義反漢密爾頓半正定解，本文主要利用矩陣自身的結構研究矩陣方程(AX,YA)=(B1,B2)具有反埃爾米特廣義漢密爾頓半正定解的充分必要條件及其在有解時解的表達式。

2　相關引理

引理1[1]令：

A=YZ++(YZ+)H(In-ZZ+)+(In-

3　問題求解

定理給定矩陣X,B1∈Cn×m1,Y,B2∈Cm2×n,令矩陣：

X1,X2,Y1,Y2∈Ck×(m1+m2)

=rank(Yi),i=1,2

而且，當上述條件成立時，一般解可表示為：

(1)

又AH=-A,QHQ=QQH=In

=rank(Yi),i=1,2

而且，一般解可表示為：

將M1,M2代入引理1中，整理即可得解集合(1)式。

證畢。

參考文獻：

[1]張忠志，胡錫炎，張磊．線性矩陣方程的埃爾米特廣義反漢密爾頓半正定解[J]．數學物理學報，2006，26A(4)：612-620

[2]張磊．對稱非負定矩陣反問題的可解條件[J]．計算數學，1989(11)：337-343

[3]袁永新．線性流形上實對稱半正定陣的一類反問題[J]．高等學校計算數學學報，2000(2)：153-158

[4]Xie D X,Zhang L, Hu X Y.The solvability conditions for the inverse problem of bisymmetric nonnegative definite matrices[J].Journal of Computational Mathematics,2000,18(6):597-608

[5]魏平，張忠志，謝冬秀．埃爾米特廣義漢密爾頓矩陣的廣義逆特征值問題[J]．工程數學學報，2010，27(5)：820-826

[6]王江濤，張忠志，謝冬秀，等．一類矩陣方程的埃爾米特自反最小二乘解[J]．系統(tǒng)科學與數學，2010，30(8)：1136-1147

(責任編輯：汪材印)

作者簡介：杜玉霞(1981-)，女，山東定陶人，碩士，助教，主要研究方向：矩陣方程反問題。

基金項目：安徽省級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練項目“Matlab輔助線性代數教學及其在實際應用案例中的價值研究”(AH201410379078)。

收稿日期：2015-07-16

中圖分類號：O151.21

文獻標識碼：A

文章編號：1673-2006(2015)10-0094-02

doi:10.3969/j.issn.1673-2006.2015.10.025