第一作者王獻(xiàn)忠男，博士，講師，1986年1月生

通信作者吳衛(wèi)國(guó)男，博士，教授，1960年2月生

基于譜方法分析有阻尼負(fù)載圓柱殼頻散特性

王獻(xiàn)忠1,2, 吳衛(wèi)國(guó)1,2, 龐福振3,孔祥韶1,2

(1. 武漢理工大學(xué) 高性能艦船技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430063；2.武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，船舶、海洋與結(jié)構(gòu)工程系 武漢 430063； 3.哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

摘要：以Chebyshev多項(xiàng)式系為基函數(shù)，采用譜方法離散彈性理論的波動(dòng)方程，建立對(duì)應(yīng)的廣義特征值問(wèn)題。依據(jù)殼體結(jié)構(gòu)波運(yùn)動(dòng)、內(nèi)部流體及外部阻尼材料在界面處的位移、應(yīng)力連續(xù)條件，構(gòu)造此復(fù)雜圓柱殼系統(tǒng)廣義特征值方程。通過(guò)數(shù)值求解特征值獲得對(duì)應(yīng)頻率下波數(shù)，進(jìn)而獲得圓柱殼結(jié)構(gòu)的頻散曲線。分別討論充水與否、有阻尼負(fù)載圓柱殼的頻散曲線，獲得有價(jià)值結(jié)論。

關(guān)鍵詞：譜方法；圓柱殼；頻散特性；阻尼層

收稿日期：2013-09-23修改稿收到日期：2014-02-14

中圖分類號(hào):U674.76文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家電網(wǎng)公司科技項(xiàng)目；國(guó)家自然科學(xué)

基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展(973)計(jì)劃項(xiàng)目(2011CB013606)；廣西科技攻關(guān)計(jì)劃(14124004-4-5)；廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題(2013ZDK08)

Spectral method for dispersion characteristics of a cylindrical shell boarded with a damping layer

WANGXian-zhong1,2,WUWei-guo1,2,PANGFu-zhen3,KONGXiang-shao1,2(1. Key Laboratory of High Performance Ship Technology of Ministry of Education, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China；2. Departments of Naval Architecture, Ocean and Structural Engineering, School of Transportation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430063, China；3. College of Ship Building Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract:The wave equation of the elastic theory was discretized with the spectral method. Then, the equation was converted to a corresponding generalized eigenvalue problem by taking Chebyshev polynomials as base functions. Considering the boundary conditions at fluid-structure interface and damping layer-structure interface of a cylindrical shell structure, a generalized eigenvalue equation of this complex cylindrical shell system was built. The wave numbers for a given frequency were calculated with MATLAB eigenvalue solver. Then the dispersion curve of the cylindrical shell was gained. The dispersion curves of the cylindrical shell with a damping layer and water filled or not were discussed. Some valuable conclusions were obtained according to the dispersion curves.

Key words:spectral method; cylindrical shell; dispersion characteristics; damping layer

圓柱殼體廣泛用于工業(yè)結(jié)構(gòu)、航空航天及水下潛艇結(jié)構(gòu)中。研究其聲傳播特性對(duì)理論及實(shí)踐均具有重要意義。實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)控制圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)、聲輻射的常用措施為在其表面敷設(shè)阻尼材料，因此研究敷設(shè)阻尼材料的圓柱殼聲傳播問(wèn)題尤為必要。對(duì)真空中薄壁圓柱殼及硬壁管內(nèi)流體彈性波傳播研究已較成熟。文獻(xiàn)[1-3]專門討論具有軸對(duì)稱性質(zhì)波，但忽略了Poisson系數(shù)引起的殼體位移耦合，且只討論低頻情況。Brevart等[4]利用簡(jiǎn)化的Donnell-Mushtari殼方程研究單層圓柱殼一流耦合系統(tǒng)的聲振特性。Fuller等[5]通過(guò)建立的充液圓柱殼自由振動(dòng)方程，討論低階周向模態(tài)(n=0,1)下實(shí)、虛及復(fù)波數(shù)波的傳播特性。Gazis等[6-7]用數(shù)值方法求解推導(dǎo)的頻散方程，獲得頻率-波長(zhǎng)曲線，并與薄殼近似理論結(jié)果對(duì)比。Breitenbach等[8]推導(dǎo)出浸入水中的無(wú)限長(zhǎng)內(nèi)充空氣鋁柱殼在垂直入射平面波下簡(jiǎn)正波解。Maze等[9]研究彈性柱殼中周向波頻散曲線的分叉(repulsion)現(xiàn)象。Barshinger等[10]研究有粘彈材料覆蓋層的空心圓柱殼中導(dǎo)波傳播問(wèn)題，用傳遞矩陣法推導(dǎo)頻散方程，并數(shù)值求解頻散曲線。

由于超聲導(dǎo)波技術(shù)具有無(wú)損檢測(cè)的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，廣泛用于各種結(jié)構(gòu)尤其管道結(jié)構(gòu)的健康、缺陷檢測(cè)。而研究導(dǎo)波在各種構(gòu)件中的傳播規(guī)律是應(yīng)用導(dǎo)波技術(shù)的關(guān)鍵。Alleyne等[11]在較低頻厚積下研究?jī)?nèi)徑-壁厚比變化對(duì)導(dǎo)波模式頻散特性影響。Kumar 等[12-13]研究空心圓柱內(nèi)充滿液體時(shí)對(duì)導(dǎo)波在管道中傳播影響，認(rèn)為泄漏圓柱系統(tǒng)較自由表面單層管道模態(tài)更多、更復(fù)雜，此復(fù)雜模態(tài)需用復(fù)雜的Bessel方程方能計(jì)算。Lafleur等[14]詳細(xì)研究了低頻模態(tài)在充液管道中的傳播。Sinha等[15-16]研究軸對(duì)稱導(dǎo)波在內(nèi)充液管道或外受液體荷載管道中的傳播規(guī)律，計(jì)算復(fù)雜缺陷形狀的真實(shí)波數(shù)及復(fù)雜頻率，并進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

以上研究思路均為建立殼體運(yùn)動(dòng)方程及Helmholtz方程。利用界面處運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)條件建立流固耦合超越方程，通過(guò)實(shí)波數(shù)軸求根方法或復(fù)平面圍道積分方法求解。當(dāng)需考慮彈性管壁與管內(nèi)流體間相互作用及殼體表面敷設(shè)有粘彈性材料時(shí)，波傳播問(wèn)題相當(dāng)復(fù)雜。而此數(shù)值方法面臨求解多層(N>2)介質(zhì)、有阻尼、非均勻?qū)咏橘|(zhì)、多孔材料、各向異性等情況下結(jié)構(gòu)頻散特性困擾，會(huì)嚴(yán)重降低搜根法的實(shí)用性。對(duì)任意多層圓柱結(jié)構(gòu)的波傳播特性分析，采用譜方法分析結(jié)構(gòu)頻散特性較簡(jiǎn)便。Adamou等[17]采用譜方法進(jìn)行數(shù)值求解二維彈性介質(zhì)中波頻散方程。譜方法是加權(quán)余量法中較完善的，較傳統(tǒng)搜根方法，譜方法不但具有精度高、計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)，且可求解結(jié)構(gòu)為阻尼、多孔材料等情況。Karpfinger等[18-19]利用譜方法求解圓柱結(jié)構(gòu)為多層均勻介質(zhì)時(shí)的頻散關(guān)系及位移分布。

本文將譜方法擴(kuò)展到求解有阻尼負(fù)載情況下的圓柱殼結(jié)構(gòu)頻散問(wèn)題。該方法理論以Chebyshev多項(xiàng)式系作為基函數(shù)[20]，將圓柱殼半徑的變化范圍通過(guò)坐標(biāo)變換至區(qū)間[-1,1]。因此先給出[-1,1]的廣義Chebyshev多項(xiàng)式及性質(zhì)以及展開(kāi)系數(shù)滿足的部分關(guān)系式。再用譜方法對(duì)柱坐標(biāo)系下的標(biāo)量、向量波動(dòng)方程進(jìn)行空間離散，據(jù)交界面處邊界條件構(gòu)造復(fù)數(shù)特征值方程，求解結(jié)構(gòu)頻散曲線。

1彈性介質(zhì)中波動(dòng)方程

以帶阻尼材料層的無(wú)限長(zhǎng)彈性圓柱殼為例進(jìn)行分析。采用嚴(yán)格的彈性理論分析圓柱殼結(jié)構(gòu)的頻散關(guān)系。設(shè)殼體彈性模量為E，泊松比為μ，密度為ρ，液體介質(zhì)密度為ρ0。所用坐標(biāo)系見(jiàn)圖1。

圖1　敷設(shè)阻尼材料的圓柱殼的示意圖 Fig.1 Schematic diagram for cylindrical shell with damping layer

由彈性理論，得均勻各向同性彈性介質(zhì)滿足位移向量的波動(dòng)方程為

μ2u+(λ+μ)(

(1)

式中：u=Φ+H，H=Hrer+Hθeθ+Hzez(柱坐標(biāo)下)。

圓柱殼運(yùn)動(dòng)由于僅考慮軸對(duì)稱縱波、橫波影響，通過(guò)分離變量可將波動(dòng)方程分解為

(2)

(3)

設(shè)波沿+z方向傳播，所得方程的解為

Φ=f(r)ei(kz-ωt)

(4)

Hθ=h(r)ei(kz-ωt)

(5)

將式(4)、(5)代入式(2)、(3)得

(6)

(7)

由位移勢(shì)函數(shù)得相應(yīng)位移為

ur=(?rf-ikh)ei(kz-ωt)

(8)

(9)

由位移與應(yīng)變關(guān)系可得

(10)

r-1?rh+(k2-r-2)h]ei(kz-ωt)

(11)

由廣義胡克定律σij=λΔj+2μεij可得

(12)

(13)

對(duì)理想流體介質(zhì)而言，無(wú)需考慮其剪切項(xiàng)，即可忽略式(3)，得理想流體特征方程為

(14)

位移表達(dá)式為

ur=?rfei(kz-ωt)

(15)

uz=ikfei(kz-ωt)

(16)

應(yīng)力表達(dá)式為

(17)

σrz=-2μk?rfei(kz-ωt)

(18)

2邊界條件

據(jù)圓柱殼邊界處連續(xù)條件，對(duì)式(6)、(7)進(jìn)行求解。

(1)對(duì)流體與流體交界面，有

(19)

(20)

(2)對(duì)流體與結(jié)構(gòu)交界面，有

(21)

(22)

(23)

(3)對(duì)結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)交界面，有

(24)

3譜方法

對(duì)波動(dòng)方程一類雙曲型方程，常采用Chebyshev-gauss配置點(diǎn)，即

(25)

求解變量在[-1,1]的規(guī)則區(qū)域，而實(shí)際求解區(qū)域往往不在標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間，因此需對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行坐標(biāo)變換，即

(26)

區(qū)域轉(zhuǎn)換后對(duì)未知函數(shù)φ的一、二階導(dǎo)數(shù)為

(27)

(28)

譜方法的構(gòu)造可由加權(quán)參量法得出，設(shè)

(29)

(30)

故有

fn≈Dnf

(31)

4有阻尼負(fù)載圓柱殼譜方法

本文采用Chebychev多項(xiàng)式去逼近方程(13)、(14)中的特征向量項(xiàng)f，h，進(jìn)而利用微分矩陣對(duì)該多項(xiàng)式快速、準(zhǔn)確微分求導(dǎo)。將函數(shù)f沿半徑方向離散為N個(gè)點(diǎn)，則據(jù)式(7)可表示為

(32)

由式(32)可得式(13)、(14)左端微分算子，即

(33)

式(13)、(14)用微分矩陣形式表示為

(34)

式中：Ll，Ls為微分矩陣，表達(dá)式為

(35)

將式(15)、(16)用微分矩陣形式表示為

(36)

將式(19)、(20)用微分矩陣形式表示為

(37)

式中：

Srh=2μD(1)；Szf=-2μ[D(3)+diag(r-1)D(2)-

阻尼層位移向量中λ*，μ*為復(fù)粘彈性Lamé常數(shù)，所得阻尼層縱波及橫波波速為復(fù)數(shù)，且不增加計(jì)算難度及效率。通過(guò)式(34)構(gòu)造有阻尼負(fù)載圓柱殼矩陣方程為

(38)

將式(26)~式(30)代入式(36)、(37)，并將邊界條件行整合到式(38)中，得廣義特征方程為

(39)

(40)

式中：E為對(duì)角陣，E(1,1)=0，E(N,N)=0，E(i,i)=1,i=2…N-1。

圖2　有阻尼負(fù)載圓柱殼 矩陣 Fig.2 Lmatrix of cylindrical shell with damping layer

由式(31)看出其滿足Ax=Bλx形式，即有結(jié)構(gòu)的頻散方程本質(zhì)上為求解廣義特征值問(wèn)題。對(duì)此已有較多數(shù)值方法可求解。

5數(shù)值計(jì)算結(jié)果及驗(yàn)證

5.1圓柱殼結(jié)構(gòu)頻散特性

用充液圓柱殼模型[17]，計(jì)算圓柱殼縱波速度為4 879m/s，橫波速度為2 600 m/s，密度為2 160 kg/m3，圓柱殼外徑為2 m，內(nèi)徑為0.1 m，內(nèi)部流體介質(zhì)縱波速度為1 500 m/s，密度為1 000 kg/m3。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖3。對(duì)比圖3中1階相速度頻散曲線看出，采用傳統(tǒng)的搜根方法(二分法、牛頓法)計(jì)算結(jié)果與譜方法計(jì)算結(jié)果吻合良好，從而驗(yàn)證本文方法的有效性及正確性。由于譜方法通過(guò)求解特征值獲得頻散曲線，較傳統(tǒng)搜根法在計(jì)算效率上有較大提高。

5.2充水圓柱殼頻散特性

計(jì)算中圓柱殼取各向同性的銅質(zhì)材料，彈性模量E=2.078E11 N/m2，泊松比μ= 0.317 756，密度ρ=8 500kg/m3，縱波速度為3.7 km/s，橫波速度為2 km/s。離散點(diǎn)個(gè)數(shù)π/N≤λ/2，N=40，圓柱殼厚徑比h/R= 0.125。流體介質(zhì)水密度為1 000 kg/m3，縱波速度1.5 km/s。分別計(jì)算圓柱殼充水與否的頻散特性。計(jì)算曲線見(jiàn)圖4。對(duì)比圖4(a)、(b)相速度頻散曲線發(fā)現(xiàn)，本文殼體的相速度頻散曲線與各導(dǎo)波模式的頻散曲線[18]吻合較好。驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性、有效性。圓柱殼內(nèi)部有水時(shí)，圓柱殼中L(0,2)模態(tài)被內(nèi)部充水的各縱向模態(tài)“折斷”，分屬不同縱向模態(tài)，相速度頻散曲線存在明顯的“階梯”規(guī)律，即模態(tài)分支現(xiàn)象。各模態(tài)相速度在3.3 km/s附近各“階梯”相連。由圖2發(fā)現(xiàn)在8 kHz以下，光圓柱殼中只存在縱向軸對(duì)稱L(0,1)及L(0,2)模態(tài)。“階梯”現(xiàn)象的產(chǎn)生可認(rèn)為因單層圓柱殼前兩階模態(tài)與內(nèi)部水圓柱殼體縱向模態(tài)交叉耦合所致，各模式波在不同頻率的傳播特性差異較大。頻散曲線中出現(xiàn)α模態(tài)。α模態(tài)不存在截止頻率，僅圓柱殼結(jié)構(gòu)在充液情況下才有。α模態(tài)相速度曲線為先減少后增加，在整個(gè)頻段內(nèi)α模態(tài)的頻散特性變化較小，高頻段時(shí)主要為彎曲運(yùn)動(dòng)，一般認(rèn)為類Stoneley波[5]。

圖3 兩種方法計(jì)算圓柱殼頻散曲線Fig.3Dispersioncurvesofcylindricalshellwithtwomethods圖4 不同結(jié)構(gòu)的相速度縱向模態(tài)頻散曲線Fig.4Dispersioncurvesfortwocylindricalshells

5.3有阻尼負(fù)載的充水圓柱殼頻散特性

計(jì)算模型為有阻尼負(fù)載的充水圓柱殼，密度7 850 kg/m3，縱波速度5.73 km/s，橫波速度3.21 km/s，離散點(diǎn)個(gè)數(shù)N=20，圓柱殼厚徑比0.03，水密度1 000 kg/m3，縱波速度 1.5 km/s；阻尼材料密度1 300 kg/m3，縱波速度2.306~0.228i km/s，橫波速度為0.322~ 0.032i km/s，阻尼厚度與圓柱殼體厚度比為0.4，離散點(diǎn)個(gè)數(shù)N=20。

由k=Re(k)+iIm(k)可知

(41)

α=Im(k)=ωIm(1/C)

(42)

故

(43)

衰減量為

A=20log10(e-1 000α)

(44)

求解式(39)可得頻率波數(shù)k，進(jìn)而可分別獲得cph，A。

圖5　有阻尼負(fù)載充水圓柱殼縱向模態(tài)頻散曲線 Fig.5 Dispersion curves for a fluid-filled cylindrical shell with damping layer

由圖5相速度曲線看出，0~5 kHz時(shí)出現(xiàn)7個(gè)縱向模態(tài)，L(0,1~9)及α模態(tài)，后者與不充液圓柱殼中L(0,1)較相似。所有模態(tài)均趨近圓柱殼內(nèi)部水的縱波波速1.5 km/s。各階模態(tài)的衰減程度不同，主要由縱向模態(tài)向液體中泄露能量及阻尼負(fù)載損耗引起的能量損失。其中L(0,1)在 0.5 kHz以下衰減較小，隨頻率增加L(0,1)階波頻散及衰減特性均增加。L(0,2~7)隨縱向模態(tài)階數(shù)、頻率增加，衰減程度越嚴(yán)重。

6結(jié)論

(1)提出一種新的求解圓柱殼結(jié)構(gòu)頻散特性譜方法，并針對(duì)多層復(fù)合圓柱殼結(jié)構(gòu)計(jì)算模型，以Chebyshev多項(xiàng)式系為基函數(shù)，通過(guò)坐標(biāo)變換給出[-1,1]上廣義Chebyshev多項(xiàng)式，通過(guò)構(gòu)造柱坐標(biāo)下標(biāo)量、向量波動(dòng)方程，進(jìn)行空間離散，據(jù)交界面處邊界條件構(gòu)造復(fù)數(shù)特征值方程。求解獲得結(jié)構(gòu)頻散曲線。

(2)基于譜方法，求解充水與否、有阻尼負(fù)載圓柱殼比較典型的頻散特性情況。研究表明，譜方法在求解有阻尼、非均勻?qū)咏橘|(zhì)、多孔材料、各向異性等情況下復(fù)合圓柱殼具有良好的應(yīng)用前景。

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